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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Unitary Operators
We start with the definition and some properties of unitary operators.
Definition 7.4 An operator $T \in \mathcal{L}(\mathfrak{G})$ is called a unitary operator if it satisfies $T T^=T^ T=I$ (identity operator).
The Fourier transform and the inverse Fourier transform are typical examples of this category. The set of unitary operators in $\mathcal{L}(\mathfrak{5})$ forms a group with respect to the composition of operators. It is called the unitary group.
Theorem 7.7 The following three statements are equivalent for an operator $T \in$ $\mathcal{L}(\mathfrak{S})$
(i) $T$ is a unitary operator:
(ii) $T(\mathfrak{5})=\mathfrak{5}$ and
$$
\langle T x, T y\rangle=\langle x, y\rangle
$$
for all $x, y \in \mathfrak{5}$.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Stochastic Processes of Second Order
Let $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ be a probability space, and $T$ a subset of $\mathbb{R} . T$ is usually interpreted as the space of time and, in this chapter, $T$ is assumed to be either $\mathbb{R}$ or $\mathbb{Z}$. A function $X: T \times \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ is said to be a stochastic process if the function $\omega \mapsto X(t, \omega)$ is $(\mathcal{E}, \mathcal{B}(\mathbb{C}))$-measurable for any fixed $t \in T$.
The trajectory of $X(t, \omega)$ for a fixed $\omega$, that is, the function $t \mapsto X(t, \omega)$, is called the sample function of this stochastic process.
Let $\mathcal{T}$ be the set of all the finite tuples of elements of $T$, that is
$$
\mathcal{T}=\left{\mathbf{t}=\left(t_1, t_2, \cdots, t_n\right) \mid t_j \in T, j=1,2, \cdots, n, n \in \mathbb{N}\right}
$$
$X_{\mathbf{t}}(\omega)$ denotes the vector
$$
X_{\mathbf{t}}(\omega)=\left(X\left(t_1, \omega\right), X\left(t_2, \omega\right), \cdots, X\left(t_n, \omega\right)\right), \quad \mathbf{t} \in \mathcal{T} .
$$
The set function $v_{X_{\mathrm{t}}}: \mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right) \rightarrow \mathbb{R}$ defined by
$$
v_{X_{\mathbf{t}}}(E)=P\left{\omega \in \Omega \mid X_{\mathbf{t}}(\omega) \in E\right}, \quad E \in \mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right)
$$
is a measure on $\mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right)$, called the distribution of $X_{\mathbf{t}}(\omega)$. The set of all the distributions $\left{v_{X_{\mathrm{t}}} \mid \mathbf{t} \in \mathcal{T}\right}$ is called the system of finite dimensional distributions determined by $X(t, \omega)$.
$\left{v_{X_{\mathbf{t}}} \mid \mathbf{t} \in \mathcal{T}\right}$ is determined by a given stochastic process $X(t, \omega)$. Conversely, assume now that a probability measure $v_{\mathbf{t}}$ on $\left(\mathbb{C}^n, \mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right)\right)$ is given for each $\mathbf{t}=$ $\left(t_1, t_2, \cdots, t_n\right) \in \mathcal{T}$. The set of all of them is $\left{v_{\mathbf{t}} \mid \mathbf{t} \in \mathcal{T}\right}$. Does there exist a stochastic process, the system of finite dimensional distributions of which is $\left{v_{\mathbf{t}} \mid \mathbf{t} \in \mathcal{T}\right}$ ? The positive answer to this question is given by the famous theorem due to A.N. Kolmogorov. $^4$
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Unitary Operators
我们从西算子的定义和一些性质开始。
定义 7.4 操作员 $T \in \mathcal{L}(\mathfrak{G})$ 如果满足 $\$ T T^{\wedge}=T^{\wedge} T=1 \$$ (恒等式算子)，则称为酉算子。
傅里叶变换和逆傅里叶变换是这一类的典型例子。酉算子集 $\mathcal{L}(5)$ 就运算符的组成形成 一个组。它被称为酉群。
定理 7.7 以下三个语句对于一个运算符是等价的 $T \in \mathcal{L}(\mathfrak{S})$
(我) $T$ 是酉算子:
(ii) $T(5)=5$ 和
$$
\langle T x, T y\rangle=\langle x, y\rangle
$$
对全部 $x, y \in 5$.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Stochastic Processes of Second Order
让 $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ 是一个概率空间，并且 $T$ 的一个子集 $\mathbb{R} . T$ 通常被解释为时间空间，在本章 中， $T$ 被假定为 $\mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{Z}$. 个函数 $X: T \times \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ 如果函数 $\omega \mapsto X(t, \omega)$ 是 $(\mathcal{E}, \mathcal{B}(\mathbb{C}))$ – 可测量任何固定 $t \in T$.
的轨迹 $X(t, \omega)$ 对于一个固定的 $\omega$ ，即函数 $t \mapsto X(t, \omega)$ ，称为该随机过程的样本函数。 让 $\mathcal{T}$ 是元素的所有有限元组的集合 $T$ ，那是
$\backslash$ mathcal ${T}=\backslash$ eft $\backslash$ mathbf ${t}=\backslash$ left(t_1, t_2, $\backslash$ cdots, t_n $\backslash$ right) $\backslash$ mid $t j j \backslash$ in $T, j=1,2, \backslash c d o t s, n, n \backslash$ in
$X_{\mathbf{t}}(\omega)$ 表示向量
$$
X_{\mathbf{t}}(\omega)=\left(X\left(t_1, \omega\right), X\left(t_2, \omega\right), \cdots, X\left(t_n, \omega\right)\right), \quad \mathbf{t} \in \mathcal{T}
$$
设定函数 $v_{X_{\mathrm{t}}}: \mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为
是衡量 $\mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right)$ ，称为分布 $X_{\mathrm{t}}(\omega)$. 所有分布的集合 统 $X(t, \omega)$. 相反，现在假设概率测度 $v_{\mathrm{t}}$ 在 $\left(\mathbb{C}^n, \mathcal{B}\left(\mathbb{C}^n\right)\right)$ 给每个 $\mathbf{t}=\left(t_1, t_2, \cdots, t_n\right) \in \mathcal{T}$. 所有这 Kolmogorov 的著名定理给出了这个问题的肯定答案。 ${ }^4$
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