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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Lax–Milgram Theorem

An inner product $\langle\cdot, \cdot\rangle$ on a Hilbert space is clearly a skew-symmetric sesquilinear functional. ${ }^1$

Remark 7.1 $\Phi(x, x)$ is not necessarily real for a sesquilinear functional $\Phi$. However, if $\Phi$ is skew-symmetric, in addition, $\Phi(x, x)$ must be real.

This concept permits us to generalize the Riesz theorem (Theorem 1.1) to represent duals of Hilbert spaces. ${ }^2$

Theorem 7.1 (Lax-Milgram) Let $\mathfrak{5}$ be a Hilbert space. Suppose that a function $B: \mathfrak{F} \times \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{C}$ is a sesquilinear functional which satisfies the following two conditions:
(i) There exists a constant $\alpha>0$ such that
$$
|B(x, y)| \leqq \alpha|x| \cdot|y| \quad \text { for all } \quad x, y \in \mathfrak{S} .
$$
(ii) There exists a constant $\beta>0$ such that
$$
|B(y, y)| \geqq \beta|y|^2 \quad \text { for all } \quad y \in \mathfrak{S}
$$
Then there exists a unique $y_{\Lambda} \in \mathfrak{S}$ for each $\Lambda \in \mathfrak{S}^{\prime}$ which satisfies
$$
\Lambda(x)=B\left(x, y_{\Lambda}\right) \text { for all } \quad x \in \mathfrak{5} .
$$
Proof For a fixed $y \in \mathfrak{5}$, the function $x \mapsto B(x, y)$ is a bounded linear functional on $\mathfrak{5}$. By Riesz’s theorem, there exists some unique $z \in \mathfrak{S}$ such that
$$
B(x, y)=\langle x, z\rangle \text { for all } x \in \mathfrak{5} .
$$
If we write
$$
A y=z
$$
(7.1) can be rewritten as
$$
B(x, y)=\langle x, A y\rangle, \quad x, y \in \mathfrak{S} .
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Conjugate Operators and Projections

We denote by $\mathcal{L}(\mathfrak{5})$ the space of bounded linear operators $(\mathfrak{5} \rightarrow \mathfrak{5})$ on a complex Hilbert space $\mathfrak{5}$.
Fixing $T \in \mathcal{L}(\mathfrak{G})$, we define a function $\Phi: \mathfrak{S} \times \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{C}$ by
$$
\Phi(x, y)=\langle T x, y\rangle
$$
Then $\Phi$ is clearly a sesquilinear functional on $\mathfrak{5}$ and it satisfies
$$
|\Phi(x, y)| \leqq|T| \cdot|x| \cdot|y|
$$
and so $|\Phi| \leqq|T|$. On the other hand, since
$$
|T x|^2=\langle T x, T x\rangle=\Phi(x, T x) \leqq|\Phi| \cdot|x| \cdot|T x|,
$$
$|T x| \leqq|\Phi| \cdot|x|$ if $T x \neq 0$. Hence $|T| \leqq|\Phi|$. Thus we prove that
$$
|T|=|\Phi|
$$
It should be observed that any bounded sesquilinear functional on $\mathfrak{5}$ can be represented in the form (7.6). It is easily shown by appealing to the Riesz theorem.

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Lax–Milgram Theorem

内积 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 在 Hilbert 空间上显然是一个斜对称的半双线性泛函。 1
备注 $7.1 \Phi(x, x)$ 对于半双线性函数不一定是真实的 $\Phi$. 然而，如果 $\Phi$ 是斜对称的，此 外， $\Phi(x, x)$ 必须是真实的。
这个概念允许我们推广 Riesz 定理（定理 1.1）来表示希尔伯特空间的对偶。 ${ }^2$
定理 7.1 (Lax-Milgram) 让5成为希尔伯特空间。假设一个函数 $B: \mathfrak{F} \times \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{C}$ 是满足 以下两个条件的双线性泛函:
(i) 存在常数 $\alpha>0$ 这样
$$
|B(x, y)| \leqq \alpha|x| \cdot|y| \quad \text { for all } \quad x, y \in \mathfrak{S}
$$
(ii) 存在常数 $\beta>0$ 这样
$$
|B(y, y)| \geqq \beta|y|^2 \quad \text { for all } \quad y \in \mathfrak{S}
$$
那么存在唯一性 $y_{\Lambda} \in \mathfrak{S}$ 每个 $\Lambda \in \mathfrak{S}^{\prime}$ 满足
$$
\Lambda(x)=B\left(x, y_{\Lambda}\right) \text { for all } \quad x \in 5
$$
固定的证明 $y \in 5$ ，功能 $x \mapsto B(x, y)$ 是上的有界线性泛函5. 根据 Riesz 定理，存在一 些独特的 $z \in \mathfrak{S}$ 这样
$$
B(x, y)=\langle x, z\rangle \text { for all } x \in 5 .
$$
如果我们写
$$
A y=z
$$
(7.1) 可以改写为
$$
B(x, y)=\langle x, A y\rangle, \quad x, y \in \mathfrak{S}
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Conjugate Operators and Projections

我们用 $\mathcal{L}(5)$ 有界线性算子的空间 $(5 \rightarrow 5)$ 在复杂的 Hilbert 空间上5.
定影 $T \in \mathcal{L}(\mathfrak{G})$, 我们定义一个函数 $\Phi: \mathfrak{S} \times \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{C}$ 经过
$$
\Phi(x, y)=\langle T x, y\rangle
$$
然后 $\Phi$ 显然是一个双线性泛函5它满足
$$
|\Phi(x, y)| \leqq|T| \cdot|x| \cdot|y|
$$
所以 $|\Phi| \leqq|T|$. 另一方面，由于
$$
|T x|^2=\langle T x, T x\rangle=\Phi(x, T x) \leqq|\Phi| \cdot|x| \cdot|T x|,
$$
$|T x| \leqq|\Phi| \cdot|x|$ 如果 $T x \neq 0$. 因此 $|T| \leqq|\Phi|$. 因此我们证明
$$
|T|=|\Phi|
$$
应该观察到，任何有界的半双线性泛函5可以用 (7.6) 式表示。求助于 Riesz 定理很容 易证明这一点。

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