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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|LU Factorization
The process of Gaussian elimination for the entries of the matrix $A$ does not depend on $\boldsymbol{b}$, although the changes to $\boldsymbol{b}$ do depend on the entries in $A$. We can separate the two parts of this process. This leads us to the LU factorization, the most common method for solving small-to-moderate systems of linear equations. The main difference between Gaussian elimination and LU factorization is just saving the multipliers $m_{i k}$. We can put the multipliers into a matrix
$$
L=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & & & & \
m_{21} & 1 & & & \
m_{31} & m_{32} & 1 & & \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \
m_{n 1} & m_{n 2} & m_{n 3} & \cdots & 1
\end{array}\right] .
$$
The remarkable property of this matrix is that $L U=A$ where $U$ is the upper triangular matrix remaining after $A$ is overwritten in Gaussian elimination, that is, storing the multipliers enables us to reconstruct the matrix $A$. While it can be somewhat difficult to see this directly, there is a recursive version of the LU factorization that makes this easier to see.
Write
$$
L=\left[\begin{array}{cc}
1 & \tilde{L} \
m & \tilde{L}
\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{ll}
\alpha & \boldsymbol{r}^T \
\boldsymbol{c} & \tilde{A}
\end{array}\right] \quad(n \times n) .
$$
Note that $\tilde{L}$ is also lower triangular (that is, all non-zeros occur on or below the main diagonal). Note that the first row of $A$ is not changed by Gaussian elimination. The remaining upper triangular matrix after elimination is
$$
U=\left[\begin{array}{r}
\alpha \boldsymbol{r}^T \
\widetilde{U}
\end{array}\right]
$$
where $\tilde{U}$ is also upper triangular. Note that the multipliers in Gaussian elimination are obtained by setting $\boldsymbol{m}$ to $\boldsymbol{c} / \alpha$ (since $\alpha=a_{11}$ and $m_{i 1} \leftarrow a_{i 1} / a_{11}$ ). The effect of the first stage of Gaussian elimination (for $k=1$ ) is to replace $a_{i j} \leftarrow a_{i j}-m_{i 1} a_{1, j}$ for $i, j>1$. This corresponds to replacing $\tilde{A}$ with $\widetilde{A}^{\prime}=\widetilde{A}-m r^T$. Under our implicit induction hypothesis, Gaussian elimination to $\widetilde{A}^{\prime}$ is equivalent to factoring $\widetilde{A}^{\prime}=\widetilde{L} \widetilde{U}$.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Permutation Matrices
A permutation matrix is the identity matrix with the rows shuffled. As a result, every entry is either zero or one; every column has exactly one entry that is one; and every row has exactly one entry that is one. Examples include the following:
$$
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$
Permutation matrices can be represented efficiently in memory using simple arrays of integers. The above examples would be represented by
$$
[1,2], \quad[2,1,3], \quad[3,1,2,4]
$$
An array $[\pi(1), \pi(2), \ldots, \pi(n)]$ represents the permutation matrix $P$ where $P \boldsymbol{e}j=$ $\boldsymbol{e}{\pi(j)}, j=1,2, \ldots, n$. Note that every integer from one to $n$ is listed in the array exactly once, so that $\pi$ is a permutation of ${1,2, \ldots, n}$.
Permutation matrices $P$ shuffle the entries of a vector, so that $P x$ has the same entries as $\boldsymbol{x}$, but in a different order. This means that $|P \boldsymbol{x}|_p=|x|_p$ for any $1 \leq$ $p \leq \infty$. In particular, we can take $p=2$, so that $|P \boldsymbol{x}|_2^2=|\boldsymbol{x}|_2^2$ and $\boldsymbol{x}^T P^T P \boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}$ for all $\boldsymbol{x}$. Thus $P^T P=I$ and $P^T=P^{-1}$. That is, permutation matrices are orthogonal.
The vector array subscripting features of MATLAB, Julia, and R enable us to apply permutation matrices without forming an actual permutation matrix. Array comprehensions in Python can achieve the same effect.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|LU Factorization
矩阵项的高斯消元过程 $A$ 不依赖于 $b$, 尽管改变为 $b$ 确实取决于条目 $A$. 我们可以将这个过 程的两个部分分开。这使我们想到了LU 分解，这是求解中小型线性方程组的最常用方 法。高斯消去法和 LU 分解之间的主要区别只是保存了乘数 $m_{i k}$. 我们可以将乘数放入 矩阵
这个矩阵的显着特性是 $L U=A$ 在哪里 $U$ 是之后剩下的上三角矩阵 $A$ 在高斯消元法中被 覆盖，也就是说，存储乘数使我们能够重建矩阵 $A$. 虽然直接看到这一点可能有些困 难，但有一个递归版本的 LU 分解可以使这一点更容易看到。
$$
L=\left[\begin{array}{lll}
1 & \tilde{L} m & \tilde{L}
\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{llll}
\alpha & \boldsymbol{r}^T & \boldsymbol{c} & \tilde{A}
\end{array}\right] \quad(n \times n) .
$$
注意 $\tilde{L}$ 也是下三角 (即所有非零都出现在主对角线上或下方)。请注意，第一行 $A$ 不会 因高斯消去法而改变。消去后剩下的上三角矩阵为
$$
U=\left[\alpha \boldsymbol{r}^T \widetilde{U}\right]
$$
在哪里 $U$ 也是上三角。请注意，高斯消除中的乘数是通过设置获得的 $\boldsymbol{m}$ 到 $\boldsymbol{c} / \alpha($ 自从 $\alpha=a_{11}$ 和 $m_{i 1} \leftarrow a_{i 1} / a_{11}$ ). 第一阶段高斯哨元的效果 (对于 $k=1$ ) 是为了取代 $a_{i j} \leftarrow a_{i j}-m_{i 1} a_{1, j}$ 为了 $i, j>1$. 这对应于替换 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{A}^{\prime}=\widetilde{A}-m r^T$. 根据我们的隐 式归纳假设，高斯消去 $\widetilde{A}^{\prime}$ 相当于保理 $\widetilde{A}^{\prime}=\widetilde{L} \widetilde{U}$.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Permutation Matrices
置换矩阵是行被打乱的单位矩阵。结果，每个条目要么为零，要么为一；每列都有一个 条目，即一个条目；每一行都有一个条目是一个。示例包括以下内容:
可以使用简单的整数数组在内存中有效地表示置换矩阵。上面的例子将由
$$
[1,2], \quad[2,1,3], \quad[3,1,2,4]
$$
数组 $[\pi(1), \pi(2), \ldots, \pi(n)]$ 表示置换矩阵 $P$ 在哪里 $P e j=e \pi(j), j=1,2, \ldots, n$. 请 注意，从 1 到 $n$ 在数组中只列出一次，因此 $\pi$ 是一个排列 $1,2, \ldots, n$.
置换矩阵 $P$ 打乱向量的条目，以便 $P x$ 具有与相同的条目 $\boldsymbol{x}$, 但顺序不同。这意味着 $|P \boldsymbol{x}|_p=|x|_p$ 对于任何 $1 \leq p \leq \infty$. 特别地，我们可以采取 $p=2$ ，以便
$|P \boldsymbol{x}|_2^2=|\boldsymbol{x}|_2^2$ 和 $\boldsymbol{x}^T P^T P \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}$ 对全部 $\boldsymbol{x}$. 因此 $P^T P=I$ 和 $P^T=P^{-1}$. 也就是 说，置换矩阵是正交的。
MATLAB、Julia 和 R 的向量数组下标特性使我们能够在不形成实际置换矩阵的情况下 应用置换矩阵。Python 中的数组理解可以达到相同的效果。
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