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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Perfect Cosmological Principle
The perfect cosmological principle states that the universe appears to be the same not only at all points and in all directions but in all epochs. This hypothesis leads to a steady state model of the universe. According to the perfect cosmological principle, the observable parameter, Hubble constant, $\frac{a}{a}$ must be independent of the present time $t_0$, i.e., its value remains constant throughout the evolution of the universe. Let us represent the fixed value, $H$ of the Hubble constant. Then we have,
$$
\frac{\dot{a}}{a}=H, \forall t
$$
This implies
$$
a(t)=a\left(t_0\right) \exp [H t]
$$
In this model the deceleration parameter assumes the fixed value as
$$
q=-\frac{a \ddot{a}}{\dot{a}^2}=-1
$$
Thus, the perfect cosmological principle provides the model of the universe with the following line element
$$
d s^2=d t^2-a^2\left(t_0\right) e^{2 H t}\left[d r^2+r^2\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)\right]
$$
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Particle and Event Horizon
Consider a galaxy $G_1$ at $\left(r_1, \theta_1, \phi_1\right)$ emitting light waves towards us at time $t_1$. Let the light wave arrive at $r=0$ at time $t=t_0$. Then null geodesic equation $(d s=0)$ for $\mathrm{R}-\mathrm{W}$ metric
$$
\int_{t_1}^{t_0} \frac{d t}{a(t)}=\int_0^{r_1} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}}
$$
Then redshift as well as luminosity distance are given by
$$
z=\frac{a\left(t_0\right)}{a\left(t_1\right)}-1, \quad D_1=r_1 a\left(t_0\right)(1+z)
$$
Also one can write the proper distance from $r=0$ to $r=r_1$ as
$$
d_p(t)=\int_0^{r_1} \sqrt{g_{r r}} d r=a(t) \int_0^{r_1} \frac{d r}{\sqrt{1-k r^2}}=a(t) \int_{t_1}^{t_0} \frac{d t}{a(t)} .
$$
The limit on the proper distance up to which we can observe is called the particle horizon. Note that if the $t$-integral converges, then our vision is restricted by the particle horizon. Let the limiting value of $r_1$ as $z \rightarrow \infty$, be $r_l$. Hence the limiting proper distance is
$$
R_l=a(t) \int_0^{r_l} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}}
$$
If one gets a finite value of $R_l$, then we say that the universe has a particle horizon. It is not possible to see the particles at present with $r_1>r_l$. Note that the particle horizon creates a barricade to communication from the past.
As above let a galaxy at $r=r_1, t=t_0$ send light signal to an observer at $r=0$. Suppose $t_1$ is the time of arrival. Then, we have
$$
\int_{t_0}^{t_1} \frac{d t}{a(t)}=\int_0^{r_1} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}} .
$$
Suppose the left-hand side of the above integral converges to a finite value as $t_1 \rightarrow \infty$. This finite value is achieved by the right-hand side integral for $r_1=r_H$ (say). Hence it is obvious that for $r_1>r_H$ the above relation does not hold good. As a result, no signal from $r_1>r_H$ will come to the observer at $r_0$. Hence no light from a distant galaxy beyond a proper distance
$$
R_H=a(t) \int_{t_0}^{\infty} \frac{d t}{a(t)}
$$
will reach the observer at $r_0$. This limit is known as the event horizon. Friedmann models do not possess an event horizon. However, the de Sitter model contains an event horizon at $\frac{1}{H_0^2}$. Note that the event horizon creates a barricade to communication from the future.
广义相对论代考
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Perfect Cosmological Principle
完美宇宙学原理诣出，宇宙不仅在所有点和所有方向，而且在所有时期似乎都是相同的。 这个假设导致宇宙的稳态模型。根据完美宇宙学原理，可观测参数哈勃常数， $\frac{a}{a}$ 必须独立 于现在 $t_0$ ，即它的值在整个宇宙演化过程中保持不变。让我们代表固定值， $H$ 的哈勃常 数。然后我们有，
$$
\frac{\dot{a}}{a}=H, \forall t
$$
这意味着
$$
a(t)=a\left(t_0\right) \exp [H t]
$$
在这个模型中， 减速参数假定为固定值
$$
q=-\frac{a \ddot{a}}{\dot{a}^2}=-1
$$
因此，完美的宇宙学原理提供了具有以下线元素的宇宙模型
$$
d s^2=d t^2-a^2\left(t_0\right) e^{2 H t}\left[d r^2+r^2\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)\right]
$$
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Particle and Event Horizon
考虑一个星系 $G_1$ 在 $\left(r_1, \theta_1, \phi_1\right)$ 时时向我们发射光波 $t_1$. 让光波到达 $r=0$ 在时间 $t=t_0$. 那 么零测地线方程 $(d s=0)$ 为了 $\mathrm{R}-\mathrm{W}$ 公制
$$
\int_{t_1}^{t_0} \frac{d t}{a(t)}=\int_0^{r_1} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}}
$$
然向红移以及光度距离由下式给出
$$
z=\frac{a\left(t_0\right)}{a\left(t_1\right)}-1, \quad D_1=r_1 a\left(t_0\right)(1+z)
$$
也可以写出适当的距离 $r=0$ 到 $r=r_1$ 作为
$$
d_p(t)=\int_0^{r_1} \sqrt{g_{r r}} d r=a(t) \int_0^{r_1} \frac{d r}{\sqrt{1-k r^2}}=a(t) \int_{t_1}^{t_0} \frac{d t}{a(t)} .
$$
我们可以观察到的适当距离的极限称为粒子视界。请注意，如果 $t$-积分收敛，那么我们的视 野就受到粒子视界的限制。让极限值 $r_1$ 作为 $z \rightarrow \infty$ ，是 $r_l$. 因此极限本征距离为
$$
R_l=a(t) \int_0^{r_l} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}}
$$
如果一个人得到一个有限的价值 $R_l$ ，那么我们就说宇宙有一个粒子视界。目前无法看到粒 子 $r_1>r_l$. 请注意，粒子视界对来自过去的通信造成了障碍。
如上所述，让一个星系位于 $r=r_1, t=t_0$ 向观察者发送光信号 $r=0$. 认为 $t_1$ 是到达时间。 然后，我们有
$$
\int_{t_0}^{t_1} \frac{d t}{a(t)}=\int_0^{r_1} \frac{d r}{\left(1-k r^2\right)^{1 / 2}} .
$$
假设上述积分的左侧收敛到一个有限值作为 $t_1 \rightarrow \infty$. 这个有限值是通过右侧积分实现的 $r_1=r_H$ (说) 。因此很明显，对于 $r_1>r_H$ 上述关系不成立。结果没有信号 $r_1>r_H$ 将 在 $r_0$. 因此，没有来自遥远星系的光超过适当的距离
$$
R_H=a(t) \int_{t_0}^{\infty} \frac{d t}{a(t)}
$$
将到达观察者 $r_0$. 这个限制被称为事件视界。弗里德曼模型没有事件视界。然而，德西特模 型包含一个事件视界 $\frac{1}{H_0^2}$. 请注意，事件视界为来自末来的通信设置了障棏。
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