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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Dust Model
For dust-filled universe, $p=0$. Eq. (11.53) yields
$$
\frac{8 \pi G \rho}{3}=\frac{A}{a^3}
$$
$[A=$ integration constant $]$
Equation (11.51) implies
$$
\dot{a}^2=-k+\frac{A}{a}
$$
Now we consider three different cases for different values of curvature parameter $k$.
(i) Einstein-de Sitter model: $(k=0)$
$k=0$ corresponds to the flat universe with zero curvature. The model with $k=0$ is often called the Einstein-de Sitter flat model.
Equation (11.63) yields
$$
\dot{a}^2=\frac{A}{a} \Longrightarrow a=a_0\left(\frac{3 H_0 t}{2}\right)^{2 / 3}
$$
Here $A=a_0^3 H_0^2$ and $a_0$ and $H_0$ are the present values of scale factor and Hubble constant, respectively,
$$
a_0=a\left(t_0\right), \quad\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)_{t=t_0}=H_0 .
$$
Now, we can find the present epoch, which is given by
$$
t=t_0=\frac{2}{3} H_0^{-1}
$$
This present epoch $t_0$ is the age of the universe.
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Cosmology with
In 1915, Einstein formulated the general theory of relativity. At that time he, as well as people, believed that the universe was static. Since at that time expansion of the universe had not been discovered, so Einstein wanted to get static solutions of the universe from his field equation. Einstein field equations for $\mathrm{R}-\mathrm{W}$ metric indicate that the scale factor $a(t)$ can only be constant if
$$
\begin{gathered}
\rho=-3 p=\frac{3 k}{8 \pi G a^2} . \
\text { [field equations } \Rightarrow \ddot{a}=\frac{-4 \pi G}{3}(\rho+3 p) a ; 2 \frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2+k}{a^2}=-8 \pi G p ; \
\text { and put } a(t)=a=\text { constant] }
\end{gathered}
$$
It is well known that energy density $\rho>0$, so Eq. (11.87) indicates that the pressure $p$ must be negative. Definitely this is not a realistic solution. Also if one considers $p=0$, then, $\rho=0$. This is also not possible. In order to avoid this unrealistic situation, in 1917, Einstein introduced a constant term $\Lambda$ in his field equation. In the modified field equation, the adding term is known as the cosmological constant. The modified field equation is written as
$$
R_{a b}-\frac{1}{2} g_{a b} R-\Lambda g_{a b}=8 \pi G T_{a b}
$$
Then the field equations for $\mathrm{R}-\mathrm{W}$ metric can be written explicitly as
$$
\begin{aligned}
3\left(\dot{a}^2+k\right) & =8 \pi G \rho a^2+\Lambda a^2, \
2 a \ddot{a}+\dot{a}^2+k & =-8 \pi G p a^2+\Lambda a^2 .
\end{aligned}
$$
[Note that $\left.[\Lambda]=L^{-2}\right]$
广义相对论代考
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Dust Model
对于布满尘埃的宇宙， $p=0$. 当量。(11.53) 收益率
$$
\frac{8 \pi G \rho}{3}=\frac{A}{a^3}
$$
$[A=$ 积分常数 $]$
等式 (11.51) 意味着
$$
\dot{a}^2=-k+\frac{A}{a}
$$
现在我们考虑三种不同曲率参数值的不同情况 $k$.
(i) 爱因斯坦-德西特模型: $(k=0)$
$k=0$ 对应于零曲率的平坦宇宙。该模型与 $k=0$ 通常称为 Einstein-de Sitter 平面模型。 方程 (11.63) 产生
$$
\dot{a}^2=\frac{A}{a} \Longrightarrow a=a_0\left(\frac{3 H_0 t}{2}\right)^{2 / 3}
$$
这里 $A=a_0^3 H_0^2$ 和 $a_0$ 和 $H_0$ 分别是比例因子和哈勃常数的现值，
$$
a_0=a\left(t_0\right), \quad\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)_{t=t_0}=H_0 .
$$
现在，我们可以找到当前纪元，它由下式给出
$$
t=t_0=\frac{2}{3} H_0^{-1}
$$
这个时代 $t_0$ 是宇宙的年龄。
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Cosmology with
1915年，爱因斯坦提出了广义相对论。那时他和人们一样相信宇宙是静止的。由于那时还 没有发现宇宙膨胀，所以爱因斯坦想从他的场方程中得到宇宙的静态解。爱因斯坦场方程 $\mathrm{R}-$ Wmetric 表示比例因子 $a(t)$ 只有当
$$
\rho=-3 p=\frac{3 k}{8 \pi G a^2} . \quad\left[\text { field equations } \Rightarrow \ddot{a}=\frac{-4 \pi G}{3}(\rho+3 p) a ; 2 \frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2+k}{a^2}=-8 \pi G p ;\right.
$$
众所周知，能量密度 $\rho>0$ ，所以方程式。(11.87) 表示压力 $p$ 必须为负。这绝对不是一个现 实的解决方案。另外，如果有人考虑 $p=0$ ，然后， $\rho=0$. 这也是不可能的。为了避免这 种不切实际的情况，1917年，爱因斯坦引入了一个常数项 $\Lambda$ 在他的场方程中。在修改后的 场方程中，相加项称为宇宙学常数。修改后的场方程写为
$$
R_{a b}-\frac{1}{2} g_{a b} R-\Lambda g_{a b}=8 \pi G T_{a b}
$$
那么场方程为 $\mathrm{R}-\mathrm{W}$ 度量可以明确地写成
$$
3\left(\dot{a}^2+k\right)=8 \pi G \rho a^2+\Lambda a^2, 2 a \ddot{a}+\dot{a}^2+k=-8 \pi G p a^2+\Lambda a^2 .
$$
[注意 $\left.[\Lambda]=L^{-2}\right]$
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