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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Useful Formulas for the Normal Distribution
This appendix lists some useful facts for the standard normal distribution. The formulas for the standard normal density function and the standard normal distribution function are
$$
\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2} \quad \text { and } \quad \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} y^2} d y .
$$
The calculation of $\Phi(x)$ seems complicated but does not give any problems in practice. The function can be calculated to every desired degree of accuracy using a rational approximation (a rational function is the quotient of two polynomials). An approximation that is sufficiently accurate for practical purposes is the following:
$$
\Phi(x) \approx 1-\frac{1}{2}\left(1+d_1 x+d_2 x^2+d_3 x^3+d_4 x^4+d_5 x^5+d_6 x^6\right)^{-16}, \quad x \geq 0,
$$
where
$$
\begin{array}{ll}
d_1=0.0498673470 & d_4=0.0000380036 \
d_2=0.0211410061 & d_5=0.0000488906 \
d_3=0.0032776263 \quad d_6=0.0000053830
\end{array}
$$
The symbol $a \approx b$ means that $a$ is approximately equal to $b$. The absolute error of the approximation is less than $1.5 \times 10^{-7}$. The formula above can be applied directly only for $x \geq 0$. It can also be applied to calculate $\Phi(x)$ for $x<0$ by using the relation $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ for $x<0$.
A common problem is that of solving the equation
$$
\Phi(k)=\alpha
$$
with $\alpha$ a given number between 0 and 1. The percentile $k$ can be found through a straightforward calculation by using a rational approximation for the inverse function $\Phi^{-1}(\alpha)$. An approximation that is useful in practice is
$$
k \approx w-\frac{c_0+c_1 w+c_2 w^2}{1+d_1 w+d_2 w^2+d_3 w^3}, \quad 0.5 \leq \alpha<1
$$
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Poisson Process
A stochastic process that is inextricably connected with the Poisson distribution is the Poisson process. This is a counting process that counts the number of occurrences of a particular event over time. The event can be of all kinds: the arrival of customers at a bank, the occurrence of severe earthquakes, the receipt of calls at a telephone exchange, the occurrence of outages at a power plant, the receipt of phone calls at a general emergency number, and so on. In the remainder of this section, we use the terminology of customer arrivals for the occurrence of events over time. When is a counting process a Poisson process? For this, we must assume that the population of potential customers is infinitely large and that customers behave independently of one another.
Definition C.1 (Poisson process). Let the random variable $N(t)$ be the number of customers arriving at a service station up to time $t$. The counting process ${N(t), t \geq 0}$ is called a Poisson process with rate $\lambda, \lambda>0$, if it has the following properties:
(a) $N(0)=0$.
(b) The process has independent increments, that is, the numbers of arrivals in disjoint time intervals are independent of each other.
(c) The number of arrivals in any interval of length $t$ is Poisson distributed with mean $\lambda t$. That is, for all $s, t \geq 0$
$$
\mathbb{P}(N(t+s)-N(s)=n)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n !}, \quad n=0,1, \ldots
$$
Property (c) implies that
$\lambda=$ expected value of the number of arrivals
during a time interval of unit length.
The number $\lambda$ is called the arrival rate of the Poisson process.
The Poisson process provides a good model description in many real-world situations. The explanation for this lies in the following, roughly formulated, result. Suppose that at the micro level, there are numerous stochastic processes that are independent of one another and that each generate arrivals sparsely. Then one can show that at the macro level, the resultant of all these processes is approximately a Poisson process. This explains, for example, why the arrival process of customers at a post office can often be described by a Poisson process. The population of potential customers is very large: every individual behaves according to a specific pattern, but the combination of all these typically independent patterns leads to an unpredictable whole that can be described by a Poisson process.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Useful Formulas for the Normal Distribution
本附录列出了标准正态分布的一些有用事实。标准正态密度函数和标准正态分布函数的 公式为
$$
\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2} \quad \text { and } \quad \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} y^2} d y
$$
的计算 $\Phi(x)$ 看起来很复杂，但在实践中没有任何问题。可以使用有理逼近法 (有理函 数是两个多项式的商) 将函数计算到每个所需的准确度。对于实际目的足够准确的近似 值如下:
$$
\Phi(x) \approx 1-\frac{1}{2}\left(1+d_1 x+d_2 x^2+d_3 x^3+d_4 x^4+d_5 x^5+d_6 x^6\right)^{-16}, \quad x \geq 0
$$
在哪里
$$
d_1=0.0498673470 \quad d_4=0.0000380036 d_2=0.0211410061 \quad d_5=0.0000488906 d_3
$$
符号 $a \approx b$ 意思是 $a$ 约等于 $b$. 近似的绝对误差小于 $1.5 \times 10^{-7}$. 上面的公式只能直接应用 于 $x \geq 0$. 也可以用来计算 $\Phi(x)$ 为了 $x<0$ 通过使用关系 $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ 为了 $x<0$.
一个常见的问题是求解方程
$$
\Phi(k)=\alpha
$$
和 $\alpha 0$ 到 1 之间的给定数字。百分位数 $k$ 可以通过对反函数使用有理逼近的直接计算找 到 $\Phi^{-1}(\alpha)$. 在实践中有用的近似值是
$$
k \approx w-\frac{c_0+c_1 w+c_2 w^2}{1+d_1 w+d_2 w^2+d_3 w^3}, \quad 0.5 \leq \alpha<1
$$
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Poisson Process
与泊松分布有着干丝万缕联系的随机过程就是泊松过程。这是一个计算特定事件随时间 发生的次数的计数过程。事件可以是各种各样的：客户到达银行、发生严重地震、电话 交换机接到电话、发电厂停电、普通紧急电话接到电话，等等。在本节的其余部分， 我们使用客户到达这一术语来表示随时间推移发生的事件。什么时候计数过程是泊松过 程? 为此，我们必须假设潜在客户的数量无限大，并且客户的行为彼此独立。
定义 C.1 (泊松过程) 。让随机变量 $N(t)$ 是到达服务站的客户数量 $t$. 计数过程 $N(t), t \geq 0$ 称为具有速率的泊松过程 $\lambda, \lambda>0$ ，如果它具有以下属性:
(a) $N(0)=0$.
(b) 过程具有独立增量，即在不相交的时间间隔内到达的次数相互独立。
(c) 任何长度间隔内的到达次数 $t$ 服从均值的泊松分布 $\lambda t$. 也就是说，对于所有 $s, t \geq 0$
$$
\mathbb{P}(N(t+s)-N(s)=n)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n !}, \quad n=0,1, \ldots
$$
性质 (c) 意味着
$\lambda=$
单位长度时间间隔内到达人数的期望值。
号码 $\lambda$ 称为泊松过程的到达率。
泊松过程在许多现实世界的情况下提供了很好的模型描述。对此的解释在于以下粗略表 述的结果。假设在微观层面上，存在许多相互独立的随机过程，并且每个随机过程都稀 疏地产生到达。那么可以证明，在宏观层面上，所有这些过程的结果近似为泊松过程。 例如，这解释了为什么客户到达邮局的过程通常可以用泊松过程来描述。潜在客户的数 量非常大：每个人都按照特定模式行事，但所有这些典型的独立模式的组合会导致不可 预测的整体，可以用泊松过程来描述。
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