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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|General Modeling Tricks
In this section, we discuss a number of generally applicable modeling tricks to model “almost-linear” programming problems as (mixed) ILP problems. Some of these tricks have already been used in the examples in Section 2.2. Other tricks will come back in the exercises.
Almost-Linear Objective Function
Suppose that a production-stock problem is given, with aim to minimize the costs, and the objective function contains an almost-linear term $P(x)$, where $P(x)$ represents the production costs of $x$ units. The following three cases are of interest for applications:
(a) variable production costs plus fixed setup cost:
$$
P(x)=\left{\begin{array}{cc}
K+c x & \text { for } x>0 \
0 & \text { for } x=0
\end{array}\right.
$$
where $K$ and $c$ are constants with $K>0$ and $x$ is a variable;
(b) piecewise-linear production costs:
$$
P(x)=\left{\begin{array}{cl}
c_1 x & \text { for } 0 \leq x \leq a_1, \
c_1 a_1+c_2\left(x-a_1\right) & \text { for } x>a_1,
\end{array}\right.
$$
where $c_1$ and $c_2$ are constants with $0a
\end{array}\right.
$$
where $c, d$, and $a$ are constants with $c>0$ and $0<d<1$ and $x$ is an integer variable.
Case (a). The idea is to introduce a 0-1 variable $\delta$ and use suitably selected linear constraints to ensure that
$$
\delta_1=\left{\begin{array}{l}
1 \text { if } x>0 \
0 \text { if } x=0
\end{array}\right.
$$
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Branch-and-Bound Method
Branch-and-bound is a flexible approach that is generally applicable to solving discrete optimization problems, including integer programming problems. The branchand-bound approach is not a method with a set procedure; rather, it consists of a few simple basic ideas, the details of which depend on the problem and leave room for personal input. The basic idea is to split the total collection of feasible solutions into ever smaller subsets and, during this process, try to eliminate certain subsets that do not need to be searched. The elimination is carried out using upper and lower bounds. To further explain this, we assume, for the sake of simplicity, that the optimization problem is a maximization problem. The following holds for the upper and lower bounds:
- An upper bound is associated with every subset of solutions created during the splitting (branching) process. The upper bound for a given subset of solutions is a number such that the objective value of every feasible solution in the subset is less than or equal to that number.
- The lower bound is the objective value of the best feasible solution known so far.
Every subset therefore has its own upper bound. The lower bound, however, is not directly linked to a particular subset. The initial value of the lower bound is often the objective value of a feasible solution found using a heuristic method. What is the point of the upper and lower bounds? Suppose that for a subset of solutions, the upper bound for that subset is less than the best lower bound known so far. Then this subset can be eliminated. After all, the objective value of every feasible solution in the subset is less than the objective value of the best feasible solution known so far.
What do the branching rule and the calculation of the upper bound look like? This depends strongly on the application in question. If the discrete optimization problem is an ILP problem, then one can find an upper bound for a given subset of solutions by solving the LP relaxation of the ILP problem associated with the subset. If a subset is not eliminated, then it is split further by choosing one variable that should have been integer valued but assumes a fractional value in the solution to the LP relaxation. Suppose, for example, that the variable $x_5$ with value 7.47 is chosen; then the subset under consideration is split into two smaller subsets. One smaller subset consists of all solutions with $x_5 \leq 7$, while the other subset consists of all solutions with $x_5 \geq 8$.
A typical phenomenon in the branch-and-bound method is that during the branching process, other feasible solutions to the original maximization problem are found. The lower bound is then tightened if the objective value of a newly found feasible solution is better than the best objective value known so far. An improved lower bound can then lead to the elimination of certain subsets. It should also be clear that a tight upper bound for a subset is extremely important. The tighter the upper bound, the sooner a subset will be eliminated. In practice, however, the calculation of a tighter upper bound requires more computation time. In the implementation of a branch-and-bound method, these two aspects must therefore be weighed against each other.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|General Modeling Tricks
在本节中，我们将讨论一些普遍适用的建模技巧，以将”几乎线性”编程问题建模为（混 合) ILP 问题。其中一些技功在第 2.2 节的示例中使用。其他技将在练习中回归。 几乎线性的目标函数
假设给定一个生产库存问题，目标是最小化成本，并且目标函数包含一个几乎线性的项 $P(x)$ ， 在哪里 $P(x)$ 代表生产成本 $x$ 单位。以下三种情况是应用感兴趣的:
(a) 可变生产成本加上固定设置成本:
$\$ \$$
$P(x)=\backslash$ left {
$$
K+c x \quad \text { for } x>00 \quad \text { for } x=0
$$
、正确的。
where $\$ K \$$ and $\$ c \$$ areconstantswith $\$ K>0 \$ a n d \$ x \$$ isavariable; (b) piecewise
$$
P(x)=\sqrt{ }{
$$
$$
c_1 x \text { for } 0 \leq x \leq a_1, c_1 a_1+c_2\left(x-a_1\right) \text { for } x>a_1,
$$
正确的。
其中 $\$ c _1 \$$ 和 \$c_2\$ 是 \$0a \end{array}\right 的常量。 }
在哪里 $c, d$ ，和 $a$ 是常数 $c>0$ 和 $000$ if $x=0$
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Branch-and-Bound Method
分支定界是一种灵活的方法，通常适用于解决离散优化问题，包括整数规划问题。分支限界方法不是一种具有固定过程的方法；相反，它包含一些简单的基本思想，其细节取决于问题并为个人输入留有余地。基本思想是将可行解的总集合拆分成更小的子集，并在此过程中尝试消除某些不需要搜索的子集。消除是使用上限和下限进行的。为了进一步解释这一点，为了简单起见，我们假设优化问题是一个最大化问题。以下适用于上限和下限：
- 上限与拆分（分支）过程中创建的每个解决方案子集相关联。给定解决方案子集的上限是一个数字，使得子集中每个可行解决方案的目标值都小于或等于该数字。
- 下界是目前已知的最佳可行解的目标值。
因此，每个子集都有自己的上限。然而，下界并不直接与特定子集相关联。下界的初始值通常是使用启发式方法找到的可行解的目标值。上界和下界的意义何在？假设对于解的一个子集，该子集的上限小于目前已知的最佳下限。然后可以消除这个子集。毕竟，子集中每个可行解的目标值都小于目前已知的最佳可行解的目标值。
分支规则和上限的计算是什么样的？这在很大程度上取决于所讨论的应用程序。如果离散优化问题是 ILP 问题，则可以通过求解与该子集关联的 ILP 问题的 LP 松弛来找到给定解子集的上限。如果未消除子集，则通过选择一个变量进一步拆分它应该是整数值但在 LP 松弛的解决方案中假定为分数值。例如，假设变量X5选择值为 7.47；然后将所考虑的子集分成两个较小的子集。一个较小的子集包含所有解决方案X5≤7，而另一个子集由所有解决方案组成X5≥8.
分支定界法的一个典型现象是在分支过程中，找到原最大化问题的其他可行解。如果新发现的可行解的目标值优于目前已知的最佳目标值，则下限会收紧。改进的下界可以导致某些子集的消除。还应该清楚的是，子集的严格上限非常重要。上限越紧，子集被淘汰得越快。然而，在实践中，计算更严格的上限需要更多的计算时间。因此，在实施分支定界法时，必须权衡这两个方面。
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