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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|A more mathematical approach
Suppose we want to model:
$$
D_i=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}+u_i
$$
where $D_i$ is a dichotomous dummy variable as in the problem of labour force participation discussed earlier. To motivate the probit model, assume that the decision to join the work force or not depends on an unobserved variable (also known as a latent variable) $Z_i$ that is determined by other observable variables (say, level of family income as in our previous example) such as:
$$
Z_i=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}
$$
and
$$
P_i=F\left(Z_i\right)
$$
If we assume normal distribution, then the $F\left(Z_i\right)$ comes from the normal cumulative density function given by:
$$
F\left(Z_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{Z_i} e^{-\frac{Z^2}{2}} d Z
$$
Expressing $Z$ as the inverse of the normal cumulative density function we have:
$$
Z_i=F^{-1}\left(P_i\right)=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}
$$
which is the expression for the probit model.
The model is estimated by applying the maximum-likelihood method to Equation (12.36), but the results obtained from the use of any statistical software are given in the form of Equation (12.37).
The interpretation of the marginal effect is obtained by differentiation in order to calculate $\partial P / \partial X_i$ which in this case is:
$$
\frac{\partial P}{\partial X_i}=\frac{\partial P}{\partial Z} \frac{\partial Z}{\partial X_i}=F^{\prime}(Z) \beta_i
$$
Since $F\left(Z_i\right)$ is the standard normal cumulative distribution, $F^{\prime}\left(Z_i\right)$ is just the standard normal distribution itself given by:
$$
F^{\prime}\left(Z_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{Z^2}{2}}
$$
In order to obtain a statistic for the marginal effect, we first calculate $Z$ for the mean values of the explanatory variables, then calculate $F^{\prime}\left(Z_i\right)$ from Equation (12.37) and then multiply this result by $\beta_i$ to get the final result, as in Equation (12.38).
The overall goodness of fit is examined as for the logit model.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Multinomial logit and probit models
Multinomial logit and probit models are multi-equation models. A dummy dependent variable with $k$ categories will create $k-1$ equations (and cases to examine). This is easy to see if we consider that for the dichotomous dummy $D=(1,0)$ we have only one logit/probit equation to capture the probability that the one or the other will be chosen. Therefore, if we have a trichotomous (with three different choices) variable we shall need two equations, and for a $k$ categories variable, $k-1$ equations.
Consider the example given before. We have a firm that is planning to make a takeover bid by means of (a) cash, (b) shares or (c) a mixture. Therefore, we have a response variable with three levels. We can define these variable levels as follows:
$$
\begin{aligned}
D_S & = \begin{cases}1 & \text { if the takeover is by shares } \
0 & \text { if otherwise }\end{cases} \
D_C & = \begin{cases}1 & \text { if the takeover is by cash } \
0 & \text { if otherwise }\end{cases} \
D_M & = \begin{cases}1 & \text { if the takeover is by a mixture } \
0 & \text { if otherwise }\end{cases}
\end{aligned}
$$
Note that we need only two of the three dummies presented here, because one dummy will be reserved as the reference point. Therefore, we have two equations:
$$
\begin{aligned}
& D_S=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}+u_i \
& D_C=a_1+a_2 X_{2 i}+a_3 X_{3 i}+\cdots+a_k X_{k i}+v_i
\end{aligned}
$$
which can be estimated by either the logit or the probit method, based on the assumption to be made for the distribution of the disturbances.
The fitted values of the two equations can be interpreted as the probabilities of using the method of takeover described by each equation. Since all three alternatives should add to one, by subtracting the two obtained probabilities from unity we can derive the probability for the takeover by using a mixed strategy.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|A more mathematical approach
假设我们要建模:
$$
D_i=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}+u_i
$$
在哪里 $D_i$ 与前面讨论的劳动力参与问题一样，是一个二分虚拟变量。为了激励 probit 模型，假设加入或不加入劳动力的决定取决于一个末观察到的变量 (也称为潜在变量) $Z_i$ 这由其他可观察变量决定（例如，我们之前示例中的家庭收入水平)，例如:
$$
Z_i=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}
$$
和
$$
P_i=F\left(Z_i\right)
$$
如果我们假设正态分布，那么 $F\left(Z_i\right)$ 来自由下式给出的正态累积密度函数:
$$
F\left(Z_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{Z_i} e^{-\frac{Z^2}{2}} d Z
$$
表达 $Z$ 作为正常累积密度函数的反函数，我们有:
$$
Z_i=F^{-1}\left(P_i\right)=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}
$$
这是概率模型的表达式。
该模型是通过将最大似然法应用于等式 (12.36) 来估计的，但是使用任何统计软件获 得的结果以等式 (12.37) 的形式给出。
边际效应的解释是通过微分得到的，以便计算 $\partial P / \partial X_i$ 在这种情况下是:
$$
\frac{\partial P}{\partial X_i}=\frac{\partial P}{\partial Z} \frac{\partial Z}{\partial X_i}=F^{\prime}(Z) \beta_i
$$
自从 $F\left(Z_i\right)$ 是标准正态累积分布， $F^{\prime}\left(Z_i\right)$ 只是标准正态分布本身:
$$
F^{\prime}\left(Z_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{Z^2}{2}}
$$
为了获得边际效应的统计量，我们首先计算 $Z$ 对于解释变量的平均值，然后计算 $F^{\prime}\left(Z_i\right)$ 从等式 (12.37)，然后将此结果乘以 $\beta_i$ 得到最终结果，如等式 (12.38) 所示。 对于 Logit 模型，检查总体拟合优度。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Multinomial logit and probit models
多项式 Logit 和 Probit 模型是多方程模型。一个虚拟因变量 $k$ 类别将创建 $k-1$ 方程式 (和要检查的案例) 。如果我们考虑二分虚拟变量，这很容易看出 $D=(1,0)$ 我们只 有一个 logit/probit 方程来捕捉其中一个或另一个被选中的概率。因此，如果我们有一 个三分法 (具有三个不同的选择) 变量，我们将需要两个方程，并且对于 $k$ 类别变量， $k-1$ 方程式。
考虑之前给出的示例。我们有一家公司计划通过 (a) 现金、(b) 股票或 (c) 混合方式进行 收购要约。因此，我们有一个具有三个水平的响应变量。我们可以定义这些变量级别如 下:
$D_S=\left{\begin{array}{ll}1 & \text { if the takeover is by shares } 0\end{array}\right.$ if otherwise $D_C= \begin{cases}1 & \text { if the }\end{cases}$
请注意，我们只需要此处提供的三个假人中的两个，因为将保留一个假人作为参考点。 因此，我们有两个等式:
$$
D_S=\beta_1+\beta_2 X_{2 i}+\beta_3 X_{3 i}+\cdots+\beta_k X_{k i}+u_i \quad D_C=a_1+a_2 X_{2 i}+a_3 X_{3 i}+
$$
可以根据对扰动分布所做的假设，通过 logit 或 probit 方法进行估计。
两个方程的拟合值可以解释为使用每个方程描述的接管方法的概率。由于所有三个备选 方案应该加起来为一个，通过从统一中减去两个获得的概率，我们可以使用混合策略得 出接管的概率。
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