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统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Topological characteristics of networks

In a network, the interconnection patterns among the nodes are termed as network topology. The varying topological properties of any complex networks make the task of network comparison and classification a challenging activity. Therefore a set of summary statistics or quantitative performance measures are important to describe and compare the complex networks. In the last few years, many quantities and measures are proposed and investigated for complex network analysis. However, among all, three measures, namely average path length ( L) [2], clustering coefficient (CC) [16,33], and degree distribution $\left(P_k\right)[1,3]$ play a key role in complex network analysis. Next, we discuss different topological characteristics considered for any complex networks.

Average path length $(\mathrm{L})$ is one of the most robust assessmentmeasures for network topology study. It quantifies how complex real-world networks are “wired” and evolving. Moreover, the average path length is a measure of network size, and it indicates the rate of (quick) transfer of information throughout the network. Average path length of a network $\mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, is the mean distance of all possible shortest path $\left(d_{i, j}\right)$ followed between any two nodes, $v_i$ and $v_j$. Mathematically, an average path length for a directed graph can be expressed as
$$
L=\frac{1}{|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)} \sum_{i=1}^{|\mathcal{V}|} \sum_{j=1}^{|\mathcal{V}|} d_{i, j}
$$
where, $d_{i, j}$ is the shortest path between any two nodes, $i$ and $j$, and $|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)$ is the total number of expected edges. In the case of an undirected graph, where $e(i, j)=e(j, i) \forall e(i, j) \in \mathcal{E}$, the average path length for an undirected graph can be represent as
$$
\mathrm{L}=\frac{2}{|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)} \sum_{i=1}^{|\mathcal{V}|} \sum_{j=1}^{|\mathcal{V}|} d_{i, j}
$$
Most of the real-world networks have a small average path length, where every node is connected through the shortest path to every other nodes. With the change in the number of nodes in a network, the average path length is also affected, but that change is not drastic.

统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Clustering coefficient

Clustering coefficient $(\mathrm{cc})$ is a measure of affinity (likelihood), to which nodes in a network tends to create tightly connected group with each others. The tendency of likelihood of adjacent nodes in a network is higher in comparison to the nonadjacent nodes. There exists several alternatives [20], [10], [30] for defining clustering coefficient. Clemente et al. [5] generalized clustering coefficient measure for weighted and directed networks. Latapy et al. [19] and Opsahl [24] defined a new clustering coefficient measure for bipartite graph. However, among all, Watts and Strogatz [33] definitions of clustering coefficient is widely accepted. Furthermore, they introduced the concept of local and global, or network average clustering coefficient in their proposed approach. Local clustering coefficient $\left(\mathrm{CC}{v_i}\right)$ is the ratio of total number of edges that are present among the neighbors of a node $v_i$ to the total number of possible edges that could exist among the neighbors of $v_i$. Thus $\mathrm{CC}{v_i}$ for a directed graph is given as
$$
C C_{v_i}=\frac{\sum_{j=1}^{\left|N_{v_i}\right|} \lambda\left(v_i, v_j\right)}{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)},
$$
where, $\lambda\left(v_i, v_j\right)= \begin{cases}1, & \text { if }\left(v_i, v_j\right) \text { is connected, } \forall v_j \in N_{v_i}, i \neq j \ 0, & \text { otherwise. }\end{cases}$

$N_{v_i}=\left{v_k \mid e(i, k) \in \mathcal{E} \vee e(k, i) \in \mathcal{E}\right}$ is the set of adjacent nodes of $v_i$ in $\mathcal{V}$, and $\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)$ is the total number of expected edges.
In the case of an undirected graph, the total number of expected edges will be $\frac{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)}{2}$, since $e(i, j)=e(j, i)$. Thus $\mathrm{CC}{v_i}$ for an undirected graph can be represent as $$ C C{v_i}=\frac{2 \times \sum_{j=1}^{\left|N_{v_i}\right|} \lambda\left(v_i, v_j\right)}{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)} .
$$
The average (global) clustering coefficient [33] is the mean of $K$ local clustering coefficient. Therefore the global clustering coefficient for a graph $\mathcal{G}$ can be defined as
$$
\overline{C C}=\frac{\sum_{i=1}^{\mathcal{V}} \mathrm{CC}_{v_i}}{\mathcal{V}}
$$
where the range of $\overline{C C}$ values lies within $0 \leq \overline{C C} \leq 1$.

网络分析代考

统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Topological characteristics of networks

在网络中，节点之间的互连模式称为网络拓扑。任何复杂网络的不同拓扑特性使得网络 比较和分类任务成为一项具有挑战性的活动。因此，一组汇总统计数据或定量性能度量 对于描述和比较复杂网络很重要。在过去的几年中，针对复杂网络分析提出并研究了许 多数量和措施。然而，在所有测度中，平均路径长度 (L) [2]、聚类系数 (CC) [16,33] 和 度分布这三个测度 $\left(P_k\right)[1,3]$ 在复杂网络分析中起着关键作用。接下来，我们讨论为任 何复杂网络考虑的不同拓扑特征。
平均路径长度 $(\mathrm{L})$ 是网络拓扑研究最稳健的评估措施之一。它量化了复杂的现实世界网 络是如何“连线”和发展的。此外，平均路径长度是衡量网络规模的指标，它表示信息在 整个网络中的 (快速) 传输速率。网络的平均路径长度 $\mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, 是所有可能的最短路 径的平均距离 $\left(d_{i, j}\right)$ 跟随在任意两个节点之间， $v_i$ 和 $v_j$. 在数学上，有向图的平均路径长 度可以表示为
$$
L=\frac{1}{|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)} \sum_{i=1}^{|\mathcal{V}|} \sum_{j=1}^{|\mathcal{V}|} d_{i, j}
$$
在哪里， $d_{i, j}$ 是任意两个节点之间的最短路径， $i$ 和 $j$ ，和 $|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)$ 是预期边的总 数。在无向图的情况下，其中 $e(i, j)=e(j, i) \forall e(i, j) \in \mathcal{E}$ ，无向图的平均路径长度可 以人表示为
$$
\mathrm{L}=\frac{2}{|\mathcal{V}|(|\mathcal{V}|-1)} \sum_{i=1}^{|\mathcal{V}|} \sum_{j=1}^{|\mathcal{V}|} d_{i, j}
$$
大多数现实世界的网络都有很短的平均路径长度，其中每个节点都通过最短路径连接到 所有其他节点。随着网络中节点数量的变化，平均路径长度也会受到影响，但这种变化 并不剧烈。

统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Clustering coefficient

聚类系数 (cc) 是亲和力 (可能性) 的度量，网络中的节点倾向于创建彼此紧密连接的 组。与非相邻节点相比，网络中相邻节点的可能性趋势更高。存在几种用于定义聚类系 数的替代方法 [20]、[10]、[30]。克莱门特等人。[5] 加权和定向网络的广义聚类系数度 量。拉塔皮等人。[19] 和 Opsahl [24] 为二分图定义了一种新的聚类系数度量。然而， 其中，Watts 和 Strogatz [33] 对聚类系数的定义被广泛接受。此外，他们在他们提出的 方法中引入了局部和全局或网络平均聚类系数的概念。局部聚类系数 $\left(\mathrm{CC} v_i\right)$ 是节点的 邻居中存在的边总数的比率 $v_i$ 到可能存在于邻居之间的可能边的总数 $v_i$. 因此CC $v_i$ 对 于有向图给出为
$$
C C_{v_i}=\frac{\sum_{j=1}^{\left|N_{r_i}\right|} \lambda\left(v_i, v_j\right)}{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)},
$$
在哪里，
$\lambda\left(v_i, v_j\right)=\left{1, \quad\right.$ if $\left(v_i, v_j\right)$ is connected, $\forall v_j \in N_{v_i}, i \neq j 0, \quad$ otherwise.
合 $v_i$ 在 $\mathcal{V} ，$ 和 $\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)$ 是预期边的总数。
在无向图的情况下，预期边的总数将是 $\frac{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{r_i}\right|-1\right)}{2}$ ，自从 $e(i, j)=e(j, i)$. 因此 $\mathrm{CC} v_i$ 对于无向图可以表示为
$$
C C v_i=\frac{2 \times \sum_{j=1}^{\left|N_{v_i}\right|} \lambda\left(v_i, v_j\right)}{\left|N_{v_i}\right|\left(\left|N_{v_i}\right|-1\right)} .
$$
平均 (全局) 聚类系数[33]是 $K$ 局部聚类系数。因此，图的全局聚类系数 $\mathcal{G}$ 可以定义为
$$
\overline{C C}=\frac{\sum_{i=1}^{\mathcal{V}} \mathrm{CC}_{v_i}}{\mathcal{V}}
$$其中的范围 $\overline{C C}$ 价值在于 $0 \leq \overline{C C} \leq 1$.

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