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经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Static Approach
Let us use the following notation:
$p>0$ – a price of a product manufactured by a firm, $\mathbf{c}=\left(c_1, c_2\right)>(0,0)-\mathrm{a}$ vector of prices of production factors, $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right) \geq(0,0)$-a vector of inputs of production factors, $y=f\left(x_1, x_2\right)$-an output level, $r(y)=p y$-revenue (turnover) from sales of a manufactured product as a function of output level, $r\left(x_1, x_2\right)=p f\left(x_1, x_2\right)$-revenue (turnover) from sales of a manufactured product as a function of inputs of production factors, $c^{t o t}\left(x_1, x_2\right)=c_1 x_1+c_2 x_2+d$-total cost of production, $c^v\left(x_1, x_2\right)=c_1 x_1+c_2 x_2$-variable cost of production, $c^f\left(x_1, x_2\right)=d$-fixed cost of production, $c(y)$-minimum cost of producing $y$ output units, derived as an objective function corresponding to an optimal solution to problem (P2c), $\pi(y)=r(y)-c(y)=p y-c(y)$-firm’s profit as a function of output level, $\pi\left(x_1, x_2\right)=r\left(x_1, x_2\right)-c^{t o t}\left(x_1, x_2\right)$-firm’s profit as a function of inputs of production factors.
Problem of profit maximization with regard to inputs of production factors (P1c)
The aim of a firm is to maximize its profit expressed as a function of inputs of production factors, which can be written as a problem to solve in the following way:
$$
\begin{aligned}
\pi\left(x_1, x_2\right)= & r\left(x_1, x_2\right)-c^{t o t}\left(x_1, x_2\right) \
= & \left{p f\left(x_1, x_2\right)-\left(c_1 x_1+c_2 x_2+d\right)\right} \rightarrow \max \
& x_1, x_2 \geq 0 .
\end{aligned}
$$
Since a production function from assumption (F2) is strictly concave while a production total cost is linear, then a profit function is strictly concave. Moreover, we are interested in an optimal solution $\overline{\mathbf{x}}=\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2\right)>(0,0)$.
Necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal solution to problem (P1c) are given in the following theorem.
经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Dynamic Approach
When we use the dynamic approach to present the profit maximization and the cost minimization problems we assume that part of quantities and levels taken into account by a producer changes over time. In the time horizon considered, the production technology described by a production function is assumed to be invariant. The price of a product, prices of production factors and the fixed cost of production (independent of the output level) can change over time due to different reasons. Still a firm acting in the perfect competition has no impact on the price of a product and prices of production factors in any period or at any moment of time. Let us introduce the following notation:
$t$-time as discrete $(t=0,1,2, \ldots, T)$ or as continuous ${ }^{13}$ variable $(t \in[0 ; T])$, $T$-end of the time horizon,
$p(t)>0$-a time-variant price of a product manufactured by a firm,
$\mathbf{x}(t)=\left(x_1(t), x_2(t)\right) \geq \mathbf{0}$-a vector of inputs of production factors that a producer uses in the production process in period/at moment $t$,
$\mathbf{c}(t)=\left(c_1(t), c_2(t)\right)>\mathbf{0}$-a vector of time-variant prices of production factors, $y=f(\mathbf{x}(t))$-a production function, ${ }^{14}$
$d(t) \geq 0$-time-variant fixed cost of production, that is, the cost not depending on the output level nor on inputs of production factors.
A producer, who aims to maximize the firm’s profit, in every period/at any moment $t$ determines what the optimal inputs of production factors are. When deciding about the vector $\mathbf{x}(t)$ of production factors’ inputs he/she relies on the relation between the revenue from sales of a product and the production total cost by given time variant: prices of production factors, price of a product and fixed production cost. The profit maximization problem with regard to inputs of production factors has a form:
$\begin{aligned} \pi(\mathbf{x}(t)) & =r(\mathbf{x}(t))-c^{t o t}(\mathbf{x}(t)) \ & =\left{p(t) f(\mathbf{x}(t))-\left(c_1(t) x_1(t)+c_2(t) x_2(t)+d(t)\right)\right} \mapsto \max \end{aligned}$
(4.105)
$$
\mathbf{x}(t) \geq \mathbf{0} .
$$
微观经济学代考
经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Static Approach
让我们使用以下符号:
$p>0$ – 公司生产的产品的价格， $\mathbf{c}=\left(c_1, c_2\right)>(0,0)-\mathrm{a}$ 生产要素价格的矢量，
$\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right) \geq(0,0)$ – 生产要素投入向量， $y=f\left(x_1, x_2\right)$-输出电平， $r(y)=p y$ –
作为产出水平函数的制成品销售收入 (营业额)， $r\left(x_1, x_2\right)=p f\left(x_1, x_2\right)$ – 制成品销
售收入 (营业额) 作为生产要素投入的函数， $c^{t o t}\left(x_1, x_2\right)=c_1 x_1+c_2 x_2+d$-总生
产成本， $c^v\left(x_1, x_2\right)=c_1 x_1+c_2 x_2$-可变生产成本， $c^f\left(x_1, x_2\right)=d$ – 固定生产成
本， $c(y)$ – 最低生产成本 $y$ 输出单元，导出为对应于问题 (P2c) 最优解的目标函数，
$\pi(y)=r(y)-c(y)=p y-c(y)-$ 公司的利润作为产出水平的函数，
$\pi\left(x_1, x_2\right)=r\left(x_1, x_2\right)-c^{t o t}\left(x_1, x_2\right)$ – 公司的利润作为生产要素投入的函数。
关于生产要素投入的利润最大化问题 (P1c)
公司的目标是最大化其利润，该利润表示为生产要素投入的函数，这可以写成一个要解 决的问题，方法如下:
由于假设 (F2) 的生产函数是严格凹的，而生产总成本是线性的，那么利润函数是严格 凹的。此外，我们对最佳解决方案感兴趣 $\overline{\mathbf{x}}=\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2\right)>(0,0)$.
以下定理给出了问题 (P1c) 存在最优解的充分必要条件。
经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Dynamic Approach
当我们使用动态方法来呈现利润最大化和成本最小化问题时，我们假设生产者考虑的部 分数量和水平随时间变化。在所考虑的时间范围内，假定生产函数所描述的生产技术是 不变的。产品价格、生产要素价格和固定生产成本 (与产出水平无关) 会因不同原因随 时间变化。仍然处于完全竞争中的企业在任何时期或任何时刻对产品价格和生产要素价 格没有影响。让我们引入以下符号:
$t$-离散的时间 $(t=0,1,2, \ldots, T)$ 或连续 ${ }^{13}$ 多变的 $(t \in[0 ; T]), T$ – 时间范围的尽头， $p(t)>0$-公司生产的产品的时变价格，
$\mathbf{x}(t)=\left(x_1(t), x_2(t)\right) \geq \mathbf{0}$-生产者在生产过程中在期间/时刻使用的生产要素投入向 量 $t$
$\mathbf{c}(t)=\left(c_1(t), c_2(t)\right)>\mathbf{0}$ – 生产要素的时变价格向量, $y=f(\mathbf{x}(t))$-生产函数， ${ }^{14}$
$d(t) \geq 0$ – 随时间变化的固定生产成本，即不依赖于产出水平，也不依赖于生产要素投 入的成本。
以最大化公司利润为目标的生产者，在每个时期/任何时刻 $t$ 决定了生产要素的最优投入 是多少。在决定向量时 $\mathbf{x}(t)$ 生产要素的投入取决于给定时间变量下产品销售收入与生
产总成本之间的关系：生产要素价格、产品价格和固定生产成本。关于生产要素投入的 利润最大化问题有以下形式:
$(4.105)$
$$
\mathbf{x}(t) \geq \mathbf{0}
$$
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