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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|The EE Plot for Variable Selection
Variable selection is the search for a subset of variables that can be deleted without important loss of information. Olive and Hawkins (2005) make an EE plot of $E S P(I)$ versus $E S P$ where $E S P(I)$ is for a submodel $I$ and $E S P$ is for the full model. This plot can also be used to complement the hypothesis test that the reduced model $I$ (which is selected before gathering data) can be used instead of the full model. The obvious extension to GAMs is to make the EE plot of $E A P(I)$ versus $E A P$. If the fitted full model and submodel $I$ are good, then the plotted points should follow the identity line with high correlation (use correlation $\geq 0.95$ as a benchmark).
To justify this claim, assume that there exists a subset $S$ of predictor variables such that if $\boldsymbol{x}S$ is in the model, then none of the other predictors is needed in the model. Write $E$ for these (“extraneous”) variables not in $S$, partitioning $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$. Then $$ A P=\alpha+\sum{j=1}^p S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum_{j \in S} S_j\left(x_j\right)+\sum_{k \in E} S_k\left(x_k\right)=\alpha+\sum_{j \in S} S_j\left(x_j\right)
$$
The extraneous terms that can be eliminated given that the subset $S$ is in the model have $S_k\left(x_k\right)=0$ for $k \in E$.
Now suppose that $I$ is a candidate subset of predictors and that $S \subseteq I$. Then
$$
A P=\alpha+\sum_{j=1}^p S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum_{j \in S} S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum_{k \in I} S_k\left(x_k\right)=A P(I),
$$
(if $I$ includes predictors from $E$, these will have $S_k\left(x_k\right)=0$ ). For any subset $I$ that includes all relevant predictors, the correlation $\operatorname{corr}(\mathrm{AP}, \mathrm{AP}(\mathrm{I}))=1$. Hence if the full model and submodel are reasonable and if EAP and EAP(I) are good estimators of AP and AP(I), then the plotted points in the EE plot of $\operatorname{EAP}(\mathrm{I})$ versus EAP will follow the identity line with high correlation.
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Overdispersion
Definition 13.23. Overdispersion occurs when the actual conditional variance function $V(Y \mid \boldsymbol{x})$ is larger than the model conditional variance function $V_M(Y \mid \boldsymbol{x})$
Overdispersion can occur if the model is missing factors, if the response variables are correlated, if the population follows a mixture distribution, or if outliers are present. Typically it is assumed that the model is correct so $V(Y \mid \boldsymbol{x})=V_M(Y \mid \boldsymbol{x})$. Hence the subscript $M$ is usually suppressed. A GAM has conditional mean and variance functions $E_M(Y \mid A P)$ and $V_M(Y \mid A P)$ where the subscript $M$ indicates that the function depends on the model. Then overdispersion occurs if $V(Y \mid \boldsymbol{x})>V_M(Y \mid A P)$ where $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ and $V(Y \mid \boldsymbol{x})$ denote the actual conditional mean and variance functions. Then the assumptions that $E(Y \mid \boldsymbol{x})=E_M(Y \mid \boldsymbol{x}) \equiv m(A P)$ and $V(Y \mid \boldsymbol{x})=$ $V_M(Y \mid A P) \equiv v(A P)$ need to be checked.
First check that the assumption $E(Y \mid \boldsymbol{x})=m(S P)$ is a reasonable approximation to the data using the response plot with lowess and the estimated conditional mean function $\hat{E}_M(Y \mid \boldsymbol{x})=\hat{m}(S P)$ added as visual aids. Overdispersion can occur even if the model conditional mean function $E(Y \mid S P)$ is a good approximation to the data. For example, for many data sets where $E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}_i\right)=m_i \rho\left(S P_i\right)$, the binomial regression model is inappropriate since $V\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}_i\right)>m_i \rho\left(S P_i\right)\left(1-\rho\left(S P_i\right)\right)$. Similarly, for many data sets where $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\mu(\boldsymbol{x})=\exp (S P)$, the Poisson regression model is inappropriate since $V(Y \mid \boldsymbol{x})>\exp (S P)$. If the conditional mean function is adequate, then we suggest checking for overdispersion using the $O D$ plot.
线性回归代考
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|The EE Plot for Variable Selection
变量选择是搜索可以删除而不会丢失重要信息的变量子集。Olive 和 Hawkins (2005) 制 作了一个 EE 图 $E S P(I)$ 相对 $E S P$ 在哪里 $E S P(I)$ 用于子模型 $I$ 和 $E S P$ 适用于完整模 型。该图也可用于补充简化模型的假设检验 $I$ (在收集数据之前选择) 可以用来代替完 整模型。GAM 的明显扩展是制作 EE 图 $E A P(I)$ 相对 $E A P$. 如果拟合完整模型和子模 型 $I$ 很好，那么绘制的点应该遵循具有高相关性的身份线（使用相关性 $\geq 0.95$ 作为基 准)。
为了证明这一说法的合理性，假设存在一个子集 $S$ 的预测变量，如果 $x S$ 在模型中，则 模型中不需要任何其他预测变量。写 $E$ 对于这些 (“无关的”) 变量不在 $S$ ，分区 $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$ 然后 $$ A P=\alpha+\sum j=1^p S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum{j \in S} S_j\left(x_j\right)+\sum_{k \in E} S_k\left(x_k\right)=\alpha+\sum_{j \in S} S_j\left(x_j\right)
$$
给定子集可以消除的无关项 $S$ 在模型中有 $S_k\left(x_k\right)=0$ 为了 $k \in E$.
现在假设 $I$ 是预测变量的候选子集，并且 $S \subseteq I$. 然后
$$
A P=\alpha+\sum_{j=1}^p S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum_{j \in S} S_j\left(x_j\right)=\alpha+\sum_{k \in I} S_k\left(x_k\right)=A P(I)
$$
(如果 $I$ 包括来自 $E$ ，这些将有 $S_k\left(x_k\right)=0$ ). 对于任何子集 $I$ 包括所有相关的预测变 量，相关性 $\operatorname{corr}(\mathrm{AP}, \mathrm{AP}(\mathrm{I}))=1$. 因此，如果完整模型和子模型是合理的，并且如果 $E A P$ 和 $\operatorname{EAP}(\mathrm{I})$ 是 $A P$ 和 $A P(I)$ 的良好估计量，则 EE 图中的标绘点EAP $E(I)$ 与 $\operatorname{EAP}$ 将遵 循具有高相关性的身份线。
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Overdispersion
定义 13.23。当实际条件方差函数 $V(Y \mid \boldsymbol{x})$ 大于模型条件方差函数 $V_M(Y \mid \boldsymbol{x})$
如果模型缺少因子、响应变量相关、总体服从混合分布或存在异常值，则可能会出现过 度分散。通常假设模型是正确的，因此 $V(Y \mid \boldsymbol{x})=V_M(Y \mid \boldsymbol{x})$. 因此下标 $M$ 通常被压 制。 GAM 具有条件均值和方差函数 $E_M(Y \mid A P)$ 和 $V_M(Y \mid A P)$ 下标在哪里 $M$ 表示 函数取决于模型。如果发生过度分散 $V(Y \mid \boldsymbol{x})>V_M(Y \mid A P)$ 在哪里 $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ 和 $V(Y \mid \boldsymbol{x})$ 表示实际条件均值和方差函数。然后假设
$E(Y \mid \boldsymbol{x})=E_M(Y \mid \boldsymbol{x}) \equiv m(A P)$ 和 $V(Y \mid \boldsymbol{x})=V_M(Y \mid A P) \equiv v(A P)$ 需要检 查。
首先检查假设 $E(Y \mid \boldsymbol{x})=m(S P)$ 是使用具有 lowess 的响应图和估计的条件均值函数 对数据的合理近似 $\hat{E}_M(Y \mid \boldsymbol{x})=\hat{m}(S P)$ 添加为视觉辅助。即使模型条件均值函数也 可能发生过度离散 $E(Y \mid S P)$ 是对数据的良好近似。例如，对于许多数据集，其中 $E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}_i\right)=m_i \rho\left(S P_i\right)$ ，二项式回归模型是不合适的，因为
$V\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}_i\right)>m_i \rho\left(S P_i\right)\left(1-\rho\left(S P_i\right)\right)$. 同样，对于许多数据集，其中 $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\mu(\boldsymbol{x})=\exp (S P)$ ，泊松回归模型是不合适的，因为
$V(Y \mid \boldsymbol{x})>\exp (S P)$. 如果条件均值函数足够，那么我们建议使用 $O D$ 阴谋。
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