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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Generalized Additive Models
There are many alternatives to the binomial and Poisson regression GLMs. Alternatives to the binomial GLM of Definition 13.6 include the discriminant function model of Definition 13.7, the quasi-binomial model, the binomial generalized additive model (GAM), and the beta-binomial model of Definition 13.2 .
Alternatives to the Poisson GLM of Definition 13.11 include the quasiPoisson model, the Poisson GAM, and the negative binomial regression model of Definition 13.3. Other alternatives include the zero truncated Poisson model, the zero truncated negative binomial model, the hurdle or zero inflated Poisson model, the hurdle or zero inflated negative binomial model, the hurdle or zero inflated additive Poisson model, and the hurdle or zero inflated additive negative binomial model. See Zuur et al. (2009), Simonoff (2003), and Hilbe (2011).
Many of these models can be visualized with response plots. An interesting research project would be to make response plots for these models, adding the conditional mean function and lowess to the plot. Also make OD plots to check whether the model handled overdispersion. This section will examine several of the above models, especially GAMs.
Definition 13.18. In a $1 D$ regression, $Y$ is independent of $\boldsymbol{x}$ given the sufficient predictor $S P=h(\boldsymbol{x})$ where $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$ for a GLM. In a generalized additive model, $Y$ is independent of $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$ given the additive predictor $A P=\alpha+\sum_{j=1}^p S_j\left(x_j\right)$ for some (usually unknown) functions $S_j$. The estimated sufficient predictor $\mathrm{ESP}=\hat{h}(\boldsymbol{x})$ and $\mathrm{ESP}=\hat{\alpha}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^T \boldsymbol{x}$ for a GLM. The estimated additive predictor $\mathrm{EAP}=\hat{\alpha}+\sum_{j=1}^p \hat{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)$. An ESPresponse plot is a plot of ESP versus $Y$ while an EAP-response plot is a plot of EAP versus $Y$.
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Response Plots
It is well known that the residual plot of $E S P$ or $E A P$ versus the residuals (on the vertical axis) is useful for checking the model, but there are several other plots using the ESP that can be generalized to a GAM by replacing the $E S P$ by the $E A P$. The response plots are used to visualize the $1 \mathrm{D}$ regression model or GAM in the background of the data. For 1D regression, a response plot is the plot of the $E S P$ versus the response $Y$ with the estimated model conditional mean function and a scatterplot smoother often added as visual aids. Note that the response plot is used to visualize $Y \mid S P$ while for the additive error regression model, a residual plot of the ESP versus the residual is used to visualize $e \mid S P$. For a GAM, these two plots replace the ESP by the EAP . Assume that the ESP or EAP takes on many values.
Suppose the zero mean constant variance errors $e_1, \ldots, e_n$ are iid from a unimodal distribution that is not highly skewed. For additive error regression, see Definition 13.1i), the estimated mean function is the identity line with unit slope and zero intercept. If the sample size $n$ is large, then the plotted points should scatter about the identity line and the residual $=0$ line in an evenly populated band for the response and residual plots, with no other pattern. To avoid overfitting, assume $n \geq 10 d$ where $d$ is the model degrees of freedom. Hence $d=p$ for multiple linear regression with OLS.
If $Z_i=Y_i / m_i$, then the conditional distribution $Z_i \mid \boldsymbol{x}_i$ of the binomial GAM can be visualized with a response plot of the EAP versus $Z_i$ with the estimated mean function of the $Z_i, \hat{E}(Z \mid A P)=\frac{\exp (E A P)}{1+\exp (E A P)}$, and a scatterplot smoother added to the plot as a visual aids. Instead of adding a lowess curve to the plot, consider the following alternative. Divide the EAP into $J$ slices with approximately the same number of cases in each slice. Then compute $\hat{\rho}_s=\sum_s Y_i / \sum_s m_i$ where the sum is over the cases in slice $s$. Then plot the resulting step function. For binary data the step function is simply the sample proportion in each slice. The response plot for the beta-binomial GAM is similar.
线性回归代考
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二项式和泊松回归 GLM 有很多替代方案。定义 13.6 的二项式 GLM 的替代方案包括定 义 13.7 的判别函数模型、拟二项式模型、二项式广义加性模型 (GAM) 和定义 13.2 的 beta-二项式模型。
定义 13.11 的泊松 GLM 的替代方案包括准泊松模型、泊松 GAM 和定义 13.3 的负二项 式回归模型。其他替代方案包括零截断泊松模型、零截断负二项式模型、障碍或零膨胀 泊松模型、障碍或零膨胀负二项式模型、障碍或零膨胀加性泊松模型以及障碍或零膨胀 加性负二项式模型。参见 Zuur 等人。(2009)、西蒙诺夫 (2003) 和希尔贝 (2011)。
许多这些模型都可以用响应图可视化。一个有趣的研究项目是为这些模型制作响应图， 将条件均值函数和 lowess 添加到图中。还制作 OD 图以检查模型是否处理了过度分 散。本节将研究上述几种模型，尤其是 GAM。
定义 13.18。在一个 $1 D$ 回归， $Y$ 独立于 $\boldsymbol{x}$ 给定足够的预测变量 $S P=h(\boldsymbol{x})$ 在哪里 $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$ 对于 GLM。在广义加性模型中， $Y$ 独立于 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$ 给定加 法预测器 $A P=\alpha+\sum_{j=1}^p S_j\left(x_j\right)$ 对于某些 (通常是末知的) 功能 $S_j$. 估计足够的预 测 $\mathrm{ESP}=\hat{h}(\boldsymbol{x})$ 和 $\mathrm{ESP}=\hat{\alpha}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^T \boldsymbol{x}$ 对于 GLM。估计的附加预测器
$\mathrm{EAP}=\hat{\alpha}+\sum_{j=1}^p \hat{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)$. ESPresponse 图是 ESP 与 $Y$ 而 EAP 响应图是 EAP 与 $Y$.
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众所周知，残差图 $E S P$ 或者 $E A P$ 与残差 (在垂直轴上) 对于检查模型很有用，但是 还有其他几个使用 ESP 的图可以通过替换 $E S P$ 由 $E A P$. 响应图用于可视化 $1 \mathrm{D}$ 数据背 景中的回归模型或 $\mathrm{GAM}$ 。对于一维回归，响应图是 $E S P$ 与响应 $Y$ 估计模型条件均值函 数和散点图平滑器通常添加为视觉辅助工具。请注意，响应图用于可视化 $Y \mid S P$ 而对 于加性误差回归模型，ESP 与残差的残差图用于可视化e $\mid S P$. 对于 GAM，这两个图用 EAP 替换了ESP。假设 ESP 或 EAP 具有多个值。
假设零均值常数方差误差 $e_1, \ldots, e_n$ 来自没有高度偏斜的单峰分布。对于加性误差回 归，参见定义 13.1i)，估计的均值函数是具有单位斜率和零截距的恒等线。如果样本量 $n$ 很大，那么绘制的点应该散布在身份线和残差附近 $=0$ 响应和残差图的分布均匀的带 中的线，没有其他模式。为避免过度拟合，假设 $n \geq 10 d$ 在哪里 $d$ 是模型的自由度。因 此 $d=p$ 使用 OLS 进行多元线性回归。
如果 $Z_i=Y_i / m_i$, 那么条件分布 $Z_i \mid \boldsymbol{x}_i$ 可以使用 EAP 与 EAP 的响应图来可视化二项 式 $G A M$ 的 $Z_i$ 与估计的均值函数 $Z_i, \hat{E}(Z \mid A P)=\frac{\exp (E A P)}{1+\exp (E A P)}$ ，并且散点图更平滑地 添加到绘图中作为视觉辅助工具。考虑以下替代方案，而不是向图中添加低曲线。将 EAP 划分为 $J$ 每个切片中的案例数大致相同的切片。然后计算 $\hat{\rho}_s=\sum_s Y_i / \sum_s m_i$ 总 和超过切片中的案例 $s$. 然后绘制生成的阶跃函数。对于二进制数据，阶跃函数只是每 个切片中的样本比例。beta-binomial GAM 的响应图是相似的。
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