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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Optimal Gate Protection
The protection of a given quantum operation from decoherence is most effective under bath-optimized task-oriented control (BOTOC), expounded in Chapter 12. Here, we consider the implementation of a quantum-gate unitary operation within a given “gate time” $t$ for a pure input state $|\Psi\rangle$. In the interaction picture with respect to the desired gate operation, the projector $\hat{P}=\hat{\varrho}(0)=|\Psi\rangle\langle\Psi|$ is then used as the gradient operator, so that (12.22) is satisfied. Then, (12.24) yields the fidelity change as the score
$$
P=\langle\Psi|\Delta \hat{\varrho}| \Psi\rangle=-t^2\left\langle\left\langle\Psi\left|\hat{H}^2\right| \Psi\right\rangle-\langle\Psi|\hat{H}| \Psi\rangle^2\right\rangle_{\mathrm{B}}
$$
To eliminate the dependence on $|\Psi\rangle$, we uniformly average over all $|\Psi\rangle$, whereby for any two operators $\hat{A}$ and $\hat{B}$ :
$$
\overline{\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle\langle\Psi|\hat{B}| \Psi\rangle}=\frac{\operatorname{Tr} \hat{A} \hat{B}+\operatorname{Tr} \hat{A} \operatorname{Tr} \hat{B}}{d(d+1)},
$$
$d$ being the Hilbert-space dimensionality of the system. The average score is then
$$
\bar{P}=-t^2 \frac{d}{d+1}\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}}
$$
where [in the notation of (12.6)] $\langle\ldots\rangle_{\text {id }}=\operatorname{Tr}\left(d^{-1} \hat{I} \otimes \hat{\varrho}B \ldots\right)$. Here we have used $\operatorname{Tr}{\mathrm{S}} \hat{H}=0$, corresponding to $\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$. On account of $(12.21),\langle\hat{H}\rangle{\mathrm{B}}=\left\langle\hat{H}{\mathrm{I}}\right\rangle{\mathrm{B}}=0$, $\langle\hat{H}\rangle_{\text {id }}=0$, so that (13.21) is proportional to the variance of the Hamiltonian: $\operatorname{Var}(\hat{H})=\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\text {id }}-\langle\hat{H}\rangle_{\text {id }}^2$. The gate error $\mathcal{E}$, which is the average fidelity decline (or the infidelity), then satisfies
$$
\mathcal{E} \equiv-\bar{P}=t^2 \frac{d}{d+1} \operatorname{Var}(\hat{H})
$$
The average over the initial states in the matrix $\Xi$, defined in (12.31), yields $\bar{\Xi}=$ $-\frac{d}{d+1} \boldsymbol{I}$, upon using $\operatorname{Tr}\left(\hat{S}j \hat{S}_k\right)=d \delta{j k}$ and $\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$. Hence $$ \mathcal{E}=\frac{d}{d+1} \int{-\infty}^{\infty} d \omega \operatorname{Tr}\left[\boldsymbol{\epsilon}t(\omega) \boldsymbol{\epsilon}_t^{\dagger}(\omega) \boldsymbol{G}(\omega)\right] $$ where $\boldsymbol{G}(\omega)$ and $\boldsymbol{\epsilon}_t(\omega)$ are given by (12.32) and (12.33), respectively. Because of the requirement that $\mathcal{E} \geq 0, \boldsymbol{G}(\omega)$ must be a positive semidefinite matrix for any $\omega$. BOTOC then aims at finding the evolution operator of the system, $\hat{U}(t)$ (as in the control examples in Sec. 12.2), that minimizes $\mathcal{E}$, subject to the condition that the desired gate is executed over time interval $t{\mathrm{f}}$.
We may therefore conclude that, whereas each gate operation should be as fast as possible, the optimal overall pulse sequence may take longer than the gate time because of the storage control duration. This general principle is unparalleled by other approaches.
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Implementation in Trapped-Ion Systems
A possible implementation of this approach may involve a string of ions in a linear trap. The qubits, encoded by two internal states of each ion $\left[|g(e)\rangle_j\right]$, are manipulated by laser beams. An additional qubit, encoded by the ground and first excited common vibrational levels $\left(|0(1)\rangle_N\right)$, acts as the “bus mode.” The qubit gates are executed by applying laser pulses on the “carrier” $\left[\Omega_j^{(1)}(t),|g\rangle \leftrightarrow|e\rangle\right]$, the “blue sideband” $\left[\Omega_{j N}^{(2) \Phi}(t),|g\rangle|0\rangle \leftrightarrow|e\rangle|1\rangle\right]$, and the “red sideband” $\left[\Omega_{j N}^{(2) \omega}(t),|g\rangle|1\rangle \leftrightarrow\right.$ $|e\rangle|0\rangle]$ of the electronic quadrupole transition [Fig. 13.1(a)]. In a harmonic trap, the blue sideband also couples to higher levels, for example, $|g\rangle|1\rangle \leftrightarrow|e\rangle|2\rangle$, and the red one to $|e\rangle|1\rangle \leftrightarrow|g\rangle|2\rangle$. Such unwarranted excitations complicate and hamper the fidelity of the concurrent application of both two-qubit gates. These excitations may be suppressed by resorting to trap anharmonicity. Dephasing in the trapped-ion system arises due to magnetic-field fluctuations that give rise to random Zeeman shifts of the qubit levels. Simulations of a SWAP gate involving the lowest two common vibrational levels (in an anharmonic trap) in the presence of dephasing [Fig. 13.1(b)] show that the gate fidelity may be raised by means of the optimized pulse sequence compared to its standard counterpart, despite the longer duration of the former.
热力学代考
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Optimal Gate Protection
在第 12 章中阐述的㳂优化面向任务控制 (BOTOC) 下，保护给定的量子操作免于退相干 是最有效的。在这里，我们考虑在给定的”门时间”内实现量子门酉操作垨于纯输入状 态 $|\Psi\rangle$. 在与所需门操作相关的交互图片中，投影仪 $\hat{P}=\hat{\varrho}(0)=|\Psi\rangle\langle\Psi|$ 然后用作䏲度 算子，从而满足 (12.22)。然后，(12.24) 产生保真度变化作为分数
$$
P=\langle\Psi|\Delta \hat{\varrho}| \Psi\rangle=-t^2\left\langle\left\langle\Psi\left|\hat{H}^2\right| \Psi\right\rangle-\langle\Psi|\hat{H}| \Psi\rangle^2\right\rangle_{\mathrm{B}}
$$
为了消除对 $|\Psi\rangle$ ，我们统一平均所有 $|\Psi\rangle$, 由此对于任意两个运营商 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ :
$$
\overline{\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle\langle\Psi|\hat{B}| \Psi\rangle}=\frac{\operatorname{Tr} \hat{A} \hat{B}+\operatorname{Tr} \hat{A} \operatorname{Tr} \hat{B}}{d(d+1)},
$$
$d$ 是系统的希尔伯特空间维数。那么平均分就是
$$
\bar{P}=-t^2 \frac{d}{d+1}\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\text {id }}
$$
其中 [在 (12.6) 的符号中 $\langle\ldots\rangle_{\mathrm{id}}=\operatorname{Tr}\left(d^{-1} \hat{I} \otimes \hat{\varrho} B \ldots\right)$. 这里我们使用了 $\operatorname{Tr} S \hat{H}=0 ，$ 对应于 $\operatorname{Tr} \hat{S} j=0$. 由于 $(12.21),\langle\hat{H}\rangle \mathrm{B}=\langle\hat{H} \mathrm{I}\rangle \mathrm{B}=0,\langle\hat{H}\rangle_{\mathrm{id}}=0$ ， 因此 (13.21) 与哈密顿量的方差成正比: $\operatorname{Var}(\hat{H})=\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}}-\langle\hat{H}\rangle_{\mathrm{id}}^2$. 门错误 $\mathcal{E}$ ，这 是平均保真度下降 (或不忠)，然后满足
$$
\mathcal{E} \equiv-\bar{P}=t^2 \frac{d}{d+1} \operatorname{Var}(\hat{H})
$$
矩阵中初始状态的平均值 $\Xi$ ，在 (12.31) 中定义，产生言 $=-\frac{d}{d+1} \boldsymbol{I}$, 在使用 $\operatorname{Tr}\left(\hat{S} j \hat{S}_k\right)=d \delta j k$ 和 $\operatorname{Tr} \hat{S} j=0$. 因此
$$
\mathcal{E}=\frac{d}{d+1} \int-\infty^{\infty} d \omega \operatorname{Tr}\left[\boldsymbol{\epsilon t}(\omega) \boldsymbol{\epsilon}_t^{\dagger}(\omega) \boldsymbol{G}(\omega)\right]
$$
在哪里 $\boldsymbol{G}(\omega)$ 和 $\epsilon_t(\omega)$ 分别由 (12.32) 和 (12.33) 给出。因为要求 $\mathcal{E} \geq 0, \boldsymbol{G}(\omega)$ 必须是任 何正半定矩阵 $\omega$. BOTOC则旨在寻找系统的演化算子， $\hat{U}(t)$ (如第 12.2 节中的控制示 例），最小化E，条件是所需的门在时间间隔内执行 $t f$.
因此我们可以得出结论，虽然每个门操作应该尽可能快，但由于存储控制持续时间，最 佳整体脉冲序列可能需要比门时间更长的时间。这个一般原则是其他方法所无法比拟 的。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Implementation in Trapped-Ion Systems
这种方法的可能实现可能涉及线性陷阱中的一串离子。由每个离子的两个内部状态编码 的量子位 $\left[|g(e)\rangle_j\right]$, 由激光束操纵。一个额外的量子比特，由地面和第一次激发的共同 振动水平编码 $\left(|0(1)\rangle_N\right)$ ，作为”总线模式”。量子位门是通过在”载体”上施加激光脉冲来 执行的 $\left[\Omega_j^{(1)}(t),|g\rangle \leftrightarrow|e\rangle\right]$, “蓝色边带” $\left[\Omega_{j N}^{(2) \Phi}(t),|g\rangle|0\rangle \leftrightarrow|e\rangle|1\rangle\right]$ 和”红色边带” $\left[\Omega_{j N}^{(2) \omega}(t),|g\rangle|1\rangle \leftrightarrow|e\rangle|0\rangle\right]$ 电子四极跃迁[图。13.1(a)]。在谐波陷阱中，蓝色边带也耦 合到更高的水平，例如， $|g\rangle|1\rangle \leftrightarrow|e\rangle|2\rangle$, 而红色的 $|e\rangle|1\rangle \leftrightarrow|g\rangle|2\rangle$. 这种无根据的激 发使两个双量子位门的同时应用的保真度变得复杂并妨碍了保真度。这些激发可以通过 诉诸陷阨非谐性来抑制。由于磁场波动会导致量子比特能级的随机塞曼位移，因此离子 俘获系统会出现相移。在存在去相位的情况下，SWAP 门的模拟涉及最低的两个常见振 动水平 (在非谐波陷阱中) [图。13.1(b)] 表明，与其标准对应物相比，优化脉冲序列可 以提高门保真度，尽管前者的持续时间更长。
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