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物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Euler Angles
In a Lagrangian formulation of rigid body dynamics, the nine direction cosines $a_{i j}$ are not the most convenient coordinates for describing the instantaneous orientation of a rigid body because they are not mutually independent. The nine equations (3.8) impose only six conditions on the direction cosines, so they can be expressed in terms of three independent parameters. Indeed, there are three distinct conditions corresponding to the diagonal part of Eqs. (3.8), but the six conditions corresponding to the off-diagonal part $(i \neq j)$ are pairwise identical. For example, Eq. (3.8) for $j=1, k=2$ is the same as the one for $j=2, k=1$.
From the practical point of view, a convenient way to parameterise the rotation matrix is by means of the Euler angles. The transformation from the Cartesian system $\Sigma(x, y, z)$ to the $\Sigma^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ system is accomplished in three successive stages, each serving to define one of the Euler angles (Fig. 3.4).
(a) Rotation of axes $(x, y, z)$ about the $z$-axis by angle $\phi:(x, y, z) \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}(\xi, \eta, \zeta)$.
The transformation equations are the same as equations (3.20) with $x_1^{\prime}=\xi$ and $x_2^{\prime}=\eta$ supplemented by equation $x_3^{\prime}=\zeta=z$. Therefore, the rotation matrix $\mathcal{D}$ is written
$$
\mathcal{D}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \phi & \sin \phi & 0 \
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
(b) Rotation of axes $(\xi, \eta, \zeta)$ about the $\xi$-axis by angle $\theta:(\xi, \eta, \zeta) \stackrel{\mathcal{C}}{\longrightarrow}\left(\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)$.
物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Commutativity of Infinitesimal Rotations
Let $g$ be an arbitrary vector submitted to a counterclockwise infinitesimal rotation by an angle $d \Phi$ about an axis defined by the unit vector $\hat{\boldsymbol{n}}$ (active point of view). According to $(2.136)$ we have $$
g^{\prime}=g+d \Omega \times g,
$$
where
$$
d \Omega=d \Phi \hat{\boldsymbol{n}}
$$
The symbols $d \Phi$ and $d \Omega$ are to be understood as mere names for infinitesimal quantities, not as differentials of a scalar $\Phi$ or of a vector $\boldsymbol{\Omega}$. In fact, generally speaking, there is no vector $\boldsymbol{\Omega}$ whose differential is equal to $\boldsymbol{d} \boldsymbol{\Omega}$ (Problem 3.6).
For successive rotations, with associated vectors $d \boldsymbol{\Omega}1$ and $d \Omega_2$, we write $$ \begin{aligned} g^{\prime} & =g+d \boldsymbol{\Omega}_1 \times g, \ g^{\prime \prime} & =g^{\prime}+d \Omega_2 \times g^{\prime}, \end{aligned} $$ whence, neglecting second-order infinitesimals, $$ g^{\prime \prime}=g+d \Omega{12} \times g
$$
with
$$
d \boldsymbol{\Omega}{12}=d \boldsymbol{\Omega}_1+d \boldsymbol{\Omega}_2 $$ This last result shows that successive infinitesimal rotations commute $\left(\boldsymbol{d} \boldsymbol{\Omega}{12}=\boldsymbol{d} \boldsymbol{\Omega}_{21}\right)$ as a consequence of the commutativity of vector addition. Furthermore, the vector associated with successive infinitesimal rotations is the sum of the vectors associated with the individual infinitesimal rotations, a property which will be of great value for the forthcoming developments.
It is rewarding to describe infinitesimal rotations in matrix language. Adopting the active point of view, Eq. (3.53) can be written in the form
$$
g_{\Sigma}^{\prime}=\mathcal{A} g_{\Sigma}=(I+\varepsilon) g_{\Sigma}
$$
where $\varepsilon$ is an infinitesimal matrix. The commutativity of infinitesimal rotations is easily checked, since neglecting second-order infinitesimals and taking into account that matrix sum is commutative,
$$
\mathcal{A}_1 \mathcal{A}_2=\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_1\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_2\right)=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_1+\boldsymbol{\varepsilon}_2=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_2+\boldsymbol{\varepsilon}_1=\mathcal{A}_2 \mathcal{A}_1
$$
分析力学代考
物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Euler Angles
在刚体动力学的拉格朗日公式中，九个方向余弦 $a_{i j}$ 不是描述刚体瞬时方向的最方便的 坐标，因为它们不是相互独立的。九个方程 (3.8) 只对方向余弦施加了六个条件，所 以它们可以用三个独立的参数来表示。实际上，存在三个不同的条件对应于方程式的对 角线部分。(3.8)，但非对角线部分对应的六个条件 $(i \neq j)$ 成对相同。例如，方程式。
(3.8) 对于 $j=1, k=2$ 和那个一样 $j=2, k=1$.
从实用的角度来看，一种方便的参数化旋转矩阵的方法是通过欧拉角。笛卡尔系统的转 变 $\Sigma(x, y, z)$ 到 $\Sigma^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ 系统分三个连续阶段完成，每个阶段用于定义一个欧拉角 (图 3.4)。
(a) 轴的旋转 $(x, y, z)$ 有关 $z$-按角度轴 $\phi:(x, y, z) \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}(\xi, \eta, \zeta)$.
变换方程与方程 (3.20) 相同，其中 $x_1^{\prime}=\xi$ 和 $x_2^{\prime}=\eta$ 辅以方程 $x_3^{\prime}=\zeta=z$. 因此，旋转 矩阵 $\mathcal{D}$ 写的
$$
\mathcal{D}=\left(\begin{array}{llllllll}
\cos \phi & \sin \phi & 0-\sin \phi & \cos \phi & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
(b) 轴的旋转 $(\xi, \eta, \zeta)$ 有关 $\xi$-按角度轴 $\theta:(\xi, \eta, \zeta) \stackrel{\mathcal{C}}{\longrightarrow}\left(\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)$.
物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Commutativity of Infinitesimal Rotations
让 $g$ 是按角度逆时针无限小旋转的任意向量 $d \Phi$ 关于由单位向量定义的轴 $\hat{\boldsymbol{n}}$ (积极的观 点)。根据(2.136)我们有
$$
g^{\prime}=g+d \Omega \times g
$$
在哪里
$$
d \Omega=d \Phi \hat{\boldsymbol{n}}
$$
符号 $d \Phi$ 和 $d \Omega$ 应理解为无穷小量的名称，而不是标量的微分 $\Phi$ 或矢量 $\Omega$. 其实一般来 说，没有向量 $\boldsymbol{\Omega}$ 其微分等于 $\boldsymbol{d} \boldsymbol{\Omega}$ (习题 3.6）。
对于连续旋转，具有相关向量 $d \Omega 1$ 和 $d \Omega_2$ ，我们写
$$
g^{\prime}=g+d \boldsymbol{\Omega}1 \times g, g^{\prime \prime}=g^{\prime}+d \Omega_2 \times g^{\prime}, $$ 从那里，忽略二阶无穷小， $$ g^{\prime \prime}=g+d \Omega 12 \times g $$ 和 $$ d \boldsymbol{\Omega} 12=d \boldsymbol{\Omega}_1+d \boldsymbol{\Omega}_2 $$最后的结果表明连续的无穷小旋转通勤 $\left(\boldsymbol{d} \Omega 12=\boldsymbol{d} \boldsymbol{\Omega}{21}\right)$ 作为矢量加法的交换性的结 果。此外，与连续无穷小旋转相关的矢量是与各个无穷小旋转相关的矢量的总和，这一 特性对于即将到来的发展具有重要价值。
用矩阵语言描述无穷小的旋转是有益的。采用积极的观点，Eq。(3.53) 可以写成如下形 式
$$
g_{\Sigma}^{\prime}=\mathcal{A} g_{\Sigma}=(I+\varepsilon) g_{\Sigma}
$$
在哪里 $\varepsilon$ 是无穷小矩阵。无穷小旋转的交换性很容易检查，因为忽略二阶无穷小并考虑 到矩阵和是可交换的，
$$
\mathcal{A}_1 \mathcal{A}_2=\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_1\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_2\right)=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_1+\boldsymbol{\varepsilon}_2=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\varepsilon}_2+\boldsymbol{\varepsilon}_1=\mathcal{A}_2 \mathcal{A}_1
$$
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