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数学代写|拓扑学代写Topology代考|ORTHONORMAL SETS
An orthonormal set in a Hilbert space $H$ is a non-empty subset of $H$ which consists of mutually orthogonal unit vectors; that is, it is a nonempty subset $\left{e_i\right}$ of $H$ with the following properties:
(1) $i \neq j \Rightarrow e_i \perp e_j$
(2) $\left|e_i\right|=1$ for every $i$.
If $H$ contains only the zero vector, then it has no orthonormal sets. If $H$ contains a non-zero vector $x$, and if we normalize $x$ by considering $e=x /|x|$, then the single-element set ${e}$ is clearly an orthonormal set. More generally, if $\left{x_i\right}$ is a non-empty set of mutually orthogonal non-zero vectors in $H$, and if the $x_i$ ‘s are normalized by replacing each of them by $e_i=x_i /\left|x_i\right|$, then the resulting set $\left{e_i\right}$ is an orthonormal set.
Example 1. The subset $\left{e_1, e_2, \ldots, e_n\right}$ of $l_2^n$, where $e_i$ is the $n$-tuple with 1 in the $i$ th place and 0 ‘s elsewhere, is evidently an orthonormal set in this space.
Example 2. Similarly, if $e_n$ is the sequence with 1 in the $n$th place and 0 ‘s elsewhere, then $\left{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\right}$ is an orthonormal set in $l_2$.
At the end of this section, we give some additional examples taken from the field of analysis.
Every aspect of the theory of orthonormal sets depends in one way or another on our first theorem.
Theorem A. Let $\left{e_1, e_2, \ldots, e_n\right}$ be a finite orthonormal set in a Hilbert space $H$. If $x$ is any vector in $H$, then
$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^n\left|\left(x, e_i\right)\right|^2 \leq|x|^2 \
& x-\sum_{i=1}^n\left(x, e_i\right) e_i \perp e_j
\end{aligned}
$$
further,
for each $j$.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE CONJUGATE SPACE H
We pointed out in the introduction to this chapter that one of the fundamental properties of a Hilbert space $H$ is the fact that there is a natural correspondence between the vectors in $H$ and the functionals in $H^*$. Our purpose in this section is to develop the features of this correspondence which are relevant to our work with operators in the rest of the chapter.
Let $y$ be a fixed vector in $H$, and consider the function $f_v$ defined on $H$ by $f_y(x)=(x, y)$. It is easy to see that $f_y$ is linear, for
and
$$
\begin{aligned}
f_v\left(x_1+x_2\right) & =\left(x_1+x_2, y\right) \
& =\left(x_1, y\right)+\left(x_2, y\right) \
& =f_v\left(x_1\right)+f_y\left(x_2\right) \
f_y(\alpha x) & =(\alpha x, y) \
& =\alpha(x, y) \
& =\alpha f_y(x) .
\end{aligned}
$$
Further, $f_y$ is continuous and is therefore a functional, for Schwarz’s inequality gives
$$
\begin{aligned}
\left|f_y(x)\right| & =|(x, y)| \
& \leq|x||y|,
\end{aligned}
$$
which shows that $\left|f_y\right| \leq|y|$. Even more, equality is attained here, that is, $\left|f_y\right|=|y|$. This is clear if $y=0$; and if $y \neq 0$, it follows from
$$
\begin{aligned}
\left|f_y\right| & =\sup \left{\left|f_y(x)\right|:|x|=1\right} \
& \geq\left|f_v\left(\frac{y}{|y|}\right)\right| \
& =\left|\left(\frac{y}{|y|}, y\right)\right|=|y| .
\end{aligned}
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|ORTHONORMAL SETS
希尔伯特空间中的正交集 $H$ 是的非空子集 $H$ 由相互正交的单位向量组成；也就是说，
它是一个非空子集 $\mid$ 左{e_i右 $}$ 的 $H$ 具有以下属性:
(1) $i \neq j \Rightarrow e_i \perp e_j$
(2) $\left|e_i\right|=1$ 每一个 $i$.
如果 $H$ 仅包含零向量，则它没有正交集。如果 $H$ 包含一个非零向量 $x$ ，如果我们归一化 $x$ 通过考虑 $e=x /|x|$ ，那么单元素集 $e$ 显然是正交集。更一般地，如果 $\backslash$ 左{X_i右 $}$ 是一组 非空的相互正交的非零向量 $H$ ，如果 $x_i$ 通过将它们中的每一个替换为归一化 $e_i=x_i /\left|x_i\right|$ ，那么结果集 $\backslash$ 左{__i右 $}$ 是正交集。 其他地方的 0 显然是这个空间中的正交集。
示例 2. 同样，如果 $e_n$ 是序列中有 $1 n$ 第 th 地方和 0 在别处，然后
$\backslash$ \eft{e_1, e_2, \dots, e_n, \Idots \right } } \text { 是一个正交集 } l _ { 2 } \text { . }
在本节末尾，我们给出了一些来自分析领域的额外示例。
正交集理论的每个方面都以某种方式依赖于我们的第一个定理。
定理 A. 让 $\backslash$ left{e_1, e_2, \Idots, e_n\right } } \text { 是 Hilbert 空间中的有限正交集 } H \text { . 如果 } x \text { 是任何 } 向量 $H$ ，然后
$$
\sum_{i=1}^n\left|\left(x, e_i\right)\right|^2 \leq|x|^2 \quad x-\sum_{i=1}^n\left(x, e_i\right) e_i \perp e_j
$$
进一趼，
对于每个 $j$.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE CONJUGATE SPACE H
我们在本章的介绍中指出，希尔伯特空间的基本性质之一 $H$ 是向量之间存在自然对应 的事实 $H$ 和泛函 $H^*$. 我们在本节中的目的是开发这种对应关系的特征，这些特征与我 们在本章其余部分中与运算符的工作相关。
让 $y$ 是固定向量 $H$ ，并考虑函数 $f_v$ 定义于 $H$ 经过 $f_y(x)=(x, y)$. 很容易看出 $f_y$ 是线性 的，对于 和
$$
f_v\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1+x_2, y\right) \quad=\left(x_1, y\right)+\left(x_2, y\right)=f_v\left(x_1\right)+f_y\left(x_2\right) f_y(\alpha x)
$$
更远， $f_y$ 是连续的，因此是函数，因为 Schwarz 不等式给出
$$
\left|f_y(x)\right|=|(x, y)| \quad \leq|x||y|,
$$
这表明 $\left|f_y\right| \leq|y|$. 更重要的是，这里实现了平等，即 $\left|f_y\right|=|y|$. 这很清楚，如果 $y=0$; 而如果 $y \neq 0$ ，它遵循
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