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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Almost-sure vs in Probability
Theorem 4.5.1
A. If the sequence $\left{Z_n\right}_{n \geq 1}$ of complex random variables converges almost surely to some complex random variable $Z$, it also converges in probability to the same random variable $Z$.
B. If the sequence of complex random variables $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ converges in probability to the complex random variable $X$, one can find a sequence of integers $\left{n_k\right}_{k \geq 1}$, strictly increasing, such that $\left{X_{n_k}\right}_{k \geq 1}$ converges almost surely to $X$.
(B says, in other words: From a sequence converging in probability, one can extract a subsequence converging almost surely.)
Proof. A. Suppose almost-sure convergence. By Theorem 4.1.3, for all $\varepsilon>0$,
$$
P\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \varepsilon \text { i.o. }\right)=0
$$
that is
$$
P\left(\cap_{n \geq 1} \cup_{k=n}^{\infty}\left(\left|Z_k-Z\right| \geq \varepsilon\right)\right)=0
$$
or (sequential continuity of probability)
$$
\lim {n \uparrow \infty} P\left(\cup{k=n}^{\infty}\left(\left|Z_k-Z\right| \geq \varepsilon\right)\right)=0
$$
which in turn implies that
$$
\lim {n \uparrow \infty} P\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \varepsilon\right)=0 $$ B. By definition of convergence in probability, for all $\varepsilon>0$, $$ \lim {n \uparrow \infty} P\left(\left|X_n-X\right| \geq \varepsilon\right)=0
$$
Therefore one can find $n_1$ such that $P\left(\left|X_{n_1}-X\right| \geq \frac{1}{1}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)$. Then, one can find $n_2>$ $n_1$ such that $P\left(\left|X_{n_2}-X\right| \geq \frac{1}{2}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)^2$, and so on, until we have a strictly increasing sequence of integers $n_k(k \geq 1)$ such that
$$
P\left(\left|X_{n_k}-X\right| \geq \frac{1}{k}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)^k
$$
It then follows from Theorem 4.1 .2 that
$$
\lim {k \uparrow \infty} X{n_k}=X \quad \text { a.s. }
$$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Rank of Convergence in Distribution
We now compare convergence in distribution to the other types of convergence. Convergence in distribution is weaker than almost-sure convergence:
Theorem 4.5.4 If the sequence $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ of random vectors of $\mathbb{R}^d$ converges almost surely to some random vector $X$, it also converges in distribution to the same vector $X$.
Proof. By dominated convergence, for all $u \in \mathbb{R}$,
$$
\lim {n \uparrow \infty} \mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{i\left\langle u, X_n\right\rangle}\right]=\mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{i\langle u, X\rangle}\right] $$ which implies, by Theorem 4.4.6 that $\left{X_n\right}{n \geq 1}$ converges in distribution to $X$.
In fact, convergence in distribution is even weaker than convergence in probability.
Theorem 4.5.5 If the sequence $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ of random vectors of $\mathbb{R}^d$ converges in probability to some random vector $X$, it also converges in distribution to $X$.
Proof. If this were not the case, one could find a function $f \in C_b\left(\mathbb{R}^d\right)$ such that $\mathrm{E}\left[f\left(X_n\right)\right]$ does not converge to $\mathrm{E}[f(X)]$. In particular, there would exist a subsequence $n_k$ and some $\varepsilon>0$ such that $\left|\mathrm{E}\left[f\left(X_{n_k}\right)\right]-\mathrm{E}[f(X)]\right| \geq \varepsilon$ for all $k$. As $\left{X_{n_k}\right}_{k \geq 1}$ converges in probability to $X$, one can extract from it a subsequence $\left{X_{n_{k_{\ell}}}\right}_{\ell \geq 1}$ converging almost surely to $X$. In particular, since $f$ is bounded and continuous, $\lim {\ell} \mathrm{E}\left[f\left(X{n_{k_{\ell}}}\right]=\mathrm{E}[f(X)]\right.$ by dominated convergence, a contradiction.
Combining Theorems 4.5 .3 and 4.5 .5 , we have that convergence in distribution is weaker than convergence in the quadratic mean:
Theorem 4.5.6 If the sequence of real random variables $\left{Z_n\right}_{n \geq 1}$ converges in quadratic mean to some random variable $Z$, it also converges in distribution to the same random variable $Z$.
随机过程代考
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Almost-sure vs in Probability
定理 4.5.1 变量 $Z$ ，它也以概率收敛到相同的随机变量 $Z$.
B. 如果复杂随机变量的序列 $\backslash$ \eft{X_n $\backslash$ right}_{n $\backslash g e q$ 1} 在概率上收敛于复杂的随机变量 $X$, 可以找到一个整数序列 $\backslash$ left{n_k right}_{k \geq 1}，严格递增，使得
( $B$ 说，换句话说：从概率收敛的序列，可以提取几乎肯定收敛的子序列。)
证明。A. 假设几乎肯定收敛。根据定理 4.1.3，对于所有 $\varepsilon>0$ ，
$$
P\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \varepsilon \text { i.o. }\right)=0
$$
那是
$$
P\left(\cap_{n \geq 1} \cup_{k=n}^{\infty}\left(\left|Z_k-Z\right| \geq \varepsilon\right)\right)=0
$$
或（概率的顺序连续性）
$$
\lim n \uparrow \infty P\left(\cup k=n^{\infty}\left(\left|Z_k-Z\right| \geq \varepsilon\right)\right)=0
$$
这反过来意味着
$$
\lim n \uparrow \infty P\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \varepsilon\right)=0
$$
B. 根据概率收敛的定义，对于所有 $\varepsilon>0$ ，
$$
\lim n \uparrow \infty P\left(\left|X_n-X\right| \geq \varepsilon\right)=0
$$
因此可以发现 $n_1$ 这样 $P\left(\left|X_{n_1}-X\right| \geq \frac{1}{1}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)$. 然后，可以找到 $n_2>n_1$ 这样 $P\left(\left|X_{n_2}-X\right| \geq \frac{1}{2}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ，依此类推，直到我们有一个严格递增的整数序列 $n_k(k \geq 1)$ 这样
$$
P\left(\left|X_{n_k}-X\right| \geq \frac{1}{k}\right) \leq\left(\frac{1}{2}\right)^k
$$
然后根据定理 4.1.2 得出
$$
\lim k \uparrow \infty X n_k=X \quad \text { a.s. }
$$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Rank of Convergence in Distribution
我们现在将分布中的收敛与其他类型的收敛进行比较。分布收敛弱于几乎肯定收敛: 向量 $X$, 它也在分布上收敛到同一个向量 $X$.
证明。通过支配收敛，对于所有 $u \in \mathbb{R}$ ，
$$
\lim n \uparrow \infty \mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{i\left\langle u, X_n\right\rangle}\right]=\mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{i\langle u, X\rangle}\right]
$$
事实上，分布上的收敛甚至比概率上的收敛更弱。 $X ，$ 它也在分布上收敛到 $X$.
证明。如果不是这种情况，可以找到一个函数 $f \in C_b\left(\mathbb{R}^d\right)$ 这样 $\mathrm{E}\left[f\left(X_n\right)\right]$ 不收敛于 $\mathrm{E}[f(X)]$. 特别地，将存在一个子序列 $n_k$ 还有一些 $\varepsilon>0$ 这样
$\left|\mathrm{E}\left[f\left(X_{n_k}\right)\right]-\mathrm{E}[f(X)]\right| \geq \varepsilon$ 对全部 $k$. 作为 $\backslash$ left{X_{n_k}|right}_{k \geq 1} 1$}$ 收敛于概率 $X$ 可以从中提取一个子序列 $\$ left{X_{n_{k_{ell}}})、ight}_nell $\backslash g e q$ 1}几乎肯定收敛于 $X$. 特别 是，因为 $f$ 是有界且连续的， $\lim \ell \mathrm{E}\left[f\left(X n_{k_{\ell}}\right]=\mathrm{E}[f(X)]\right.$ 受支配趋同，矛盾。
结合定理 4.5 .3 和 4.5 .5，我们得到分布收敛弱于二次均值收敛:
定理 4.5.6 如果实数随机变量序列 \eft{Z_n \right}_{n $\backslash g e q$ 1} 收敛于某个随机变量的二次 均值 $Z$ ，它也收敛于同一个随机变量的分布 $Z$.
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