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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measure of Open Sets: Compact Sets
We begin our discussion of measure theory by first defining the measure of open and compact subsets of $\mathbb{R}$.
DEFINITION 10.2.1 If $J$ is an interval, we define the measure of $J$, denoted $m(J)$, to be the length of $J$.
Thus if $J$ is $(a, b),(a, b],[a, b)$, or $[a, b], a, b \in \mathbb{R}$, then
$$
m(J)=b-a .
$$
If $J$ is $\mathbb{R},(a, \infty),[a, \infty),(-\infty, b)$ or $(-\infty, b]$, we set $m(J)=\infty$. In dealing with the symbols $\infty$ and $-\infty$, it is customary to adopt the following conventions:
(a) If $x$ is real, then $x+\infty=\infty, \quad x-\infty=-\infty$.
(b) If $x>0$ then $x \cdot \infty=\infty, x \cdot(-\infty)=-\infty$.
(c) If $x<0$ then $x \cdot \infty=-\infty, x \cdot(-\infty)=\infty$.
(d) Also, $\infty+\infty=\infty,-\infty-\infty=-\infty, \infty \cdot( \pm \infty)= \pm \infty,-\infty \cdot( \pm \infty)=$ $\mp \infty$
The symbols $\infty-\infty$ and $-\infty+\infty$ are undefined, but we shall adopt the arbitrary convention that $0 \cdot \infty=0$.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measure of Open Sets
Therefore equality holds in (1). The other two cases follow similarly.
Suppose $m\left(I_n\right)<\infty$ for all $n$. Since $U$ is unbounded, the collection $\left{I_n\right}$ must be infinite. If the collection were finite, then since each interval has finite length, each interval is bounded, and as a consequence $U$ must also be bounded. Let $\alpha \in \mathbb{R}$ with $\alpha\alpha
$$
there exists a positive integer $N$ such that
$$
\sum_{n=1}^N m\left(I_n\right)>\alpha
$$
Let $V=\bigcup_{n=1}^N I_n$. Then $V$ is a bounded open set, and thus by the above,
$$
m(V)=\lim {k \rightarrow \infty} m(V \cap(-k, k)) $$ Since $m(V)>\alpha$, there exists $k_o \in \mathbb{N}$ such that $$ m(V \cap(-k, k))>\alpha \quad \text { for all } k \geq k_o $$ But $V \cap(-k, k) \subset U_k$ for all $k \in \mathbb{N}$. Hence by Theorem 10.2.4, $m(V \cap(-k, k)) \leq$ $m\left(U_k\right)$ and as a consequence $$ m\left(U_k\right)>\alpha \quad \text { for all } k \geq k_o $$ If $m(U)=\infty$, then since $\alpha0$, take $\alpha=m(U)-\epsilon$. By the above, there exists $k_o \in \mathbb{N}$ such that $$ m(U)-\epsilon{k \rightarrow \infty} m\left(U_k\right)=m(U)$.
Remark. In proving results about open sets, the previous theorem allows us to first prove the result for the case where $U$ is a bounded open set, and then to use the limit process to extend the result to the unbounded case.
实分析代考
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measure of Open Sets: Compact Sets
我们通过首先定义的开放和紧凑子集的测度来开始我们对测度论的讨论。 $\mathbb{R}$.
定义 10.2.1 如果 $J$ 是一个区间，我们定义 $J$, 表示 $m(J)$ ，是的长度 $J$. 因此，如果 $J$ 是 $(a, b),(a, b],[a, b)$ ，或者 $[a, b], a, b \in \mathbb{R}$ ，然后
$$
m(J)=b-a
$$
如果 $J$ 是 $\mathbb{R},(a, \infty),[a, \infty),(-\infty, b)$ 或者 $(-\infty, b]$ ，我们设置 $m(J)=\infty$. 在处理符 号时 $\infty$ 和 $-\infty$ ，习惯上采用以下约定:
(a) 如果 $x$ 是真实的，那么 $x+\infty=\infty, \quad x-\infty=-\infty$.
(b) 如果 $x>0$ 然后 $x \cdot \infty=\infty, x \cdot(-\infty)=-\infty$.
(c) 如果 $x<0$ 然后 $x \cdot \infty=-\infty, x \cdot(-\infty)=\infty$.
(d) 此外， $\infty+\infty=\infty,-\infty-\infty=-\infty, \infty \cdot( \pm \infty)= \pm \infty,-\infty \cdot( \pm \infty)=$ $\mp \infty$
符号 $\infty-\infty$ 和 $-\infty+\infty$ 是末定义的，但我们将采用任意约定 $0 \cdot \infty=0$.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measure of Open Sets
因此等式在 (1) 中成立。其他两个案例类似。
集合是有限的，那么由于每个区间的长度都是有限的，因此每个区间都是有界的，因此
$U$ 也必须有界。让 $\alpha \in \mathbb{R}$ 和 $\alpha \alpha$ thereexistsapositiveinteger 否suchthat
$\sum_{n=1}^N m\left(I_n\right)>\alpha$ Let $\mathrm{V}=\backslash$ bigcup_ ${\mathrm{n}=1}^{\wedge} \mathrm{N}$ In. Then 在
isaboundedopenset, andthusbytheabove, $m(V)=\lim k \rightarrow \infty m(V \cap(-k, k))$
Sincem $(\mathrm{V})>\backslash$ alpha, thereexistsk_o $\backslash$ in $\backslash m a t h b b{N}$ suchthat
$m(V \cap(-k, k))>\alpha \quad$ for all $k \geq k_o$ But $\bigvee \backslash c a p(-\mathrm{k}, \mathrm{k}) \backslash$ 子集 $U _\mathrm{k}$ forall $\backslash \backslash$ in
$\backslash m a t h b b{N}$. HencebyTheorem $10.2 .4, \mathrm{~m}(\vee \backslash c a p(-k, k)) \backslash$ leqm $\backslash$ left(U_k $\backslash$ right)
andasaconsequencem $\left(U_k\right)>\alpha$ for all $k \geq k_o I f \mathrm{~m}(\mathrm{U})=$ linfty, thensince
$\backslash a l p h a 0$, take \alpha $=\mathrm{m}(\mathrm{U})$-\epsilon. Bytheabove, thereexistsk_o $\backslash$ in $\backslash m a t h b b{\mathrm{~N}}$
$\operatorname{suchthatm}(U)-\epsilon k \rightarrow \infty m\left(U_k\right)=m(U)$
评论。在证明关于开集的结果时，前面的定理允许我们首先证明以下情况的结果 $U$ 是有 界开集，然后用极限过程将结果推广到无界情况。
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