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金融代写|利率理论代写portfolio theory代考|AN INTRODUCTION TO PREFERENCE FUNCTIONS
We start our formal discussion of the choice between risky assets with a simple example. Consider the two alternatives shown in Table 11.2. Investment $\mathrm{A}$ and investment $\mathrm{B}$ each have three possible outcomes, each equally likely. Investment A has less variability in its outcomes but has a lower average outcome.
One approach to choosing between them is to specify how much more valuable the large outcomes are relative to the small outcomes and then to weight the outcomes by their value and find the expected value of these weighted outcomes. The idea of adding up or averaging weighted outcomes is very common. Consider, for example, how the winning team is selected in hockey. Table 11.3 shows the hypothetical records for two hockey teams.
Current practice weights wins by two, ties by one, and losses by zero. With this weighting scheme, the Islanders would be leading the Flyers 100 to 95 . But there is nothing special about this weighting scheme. A league interested in deemphasizing the incentive for ties might weight wins by four, ties by one, and losses by zero. In this case, the Flyers would be considered the dominant team, 185 to 180 . If we denote $W$ as the result (win, tie, lose), $U(W)$ as the value of this result, and $N(W)$ as the number of times (games) that $W$ occurs, then to determine the better team, we calculate
$$
\sum_W U(W) N(W)
$$
The team with the higher $U$ is considered the better team. For example, utilizing current practice, $U$ (win) $=2, U$ (tie) $=1$, and $U$ (loss) $=0$. Applying the formula to the Islanders yields
$$
U=2(40)+1(20)+0(10)=100
$$
This is the 100 we referred to earlier. While the particular function $U(W)$ differs between situations, the principle is the same. Traditionally, instead of using the number of outcomes of a particular type, the proportion is used. There were 70 hockey games in our example. If $P(W)$ is the proportion of the total games that resulted in outcome $W$, then $P(W)=$ $N(W) / 70$. Dividing through by 70 will not affect the ordering of teams. Weighting a function by the proportion of each outcome is equivalent to calculating an average or expected value. Letting $E(U)$ designate the expected value of $U$ yields $^1$
$$
E(U)=\sum_W U(W) P(W)
$$
When we apply this principle to the decision problem shown in Table 11.2, we have special names for the principle. The weighting function is called a utility function and the principle is called the expected utility theorem. Consider the example shown in Table 11.2 and a set of weights as shown in Table 11.4.
金融代写|利率理论代写portfolio theory代考|RISK TOLERANCE FUNCTIONS
Note that the portfolio problem is expressed as a choice between mean returns and standard deviation of return. Thus any utility function can alternately be expressed the same way. This has resulted in a proposal to express expected utility maximization as maximizing
$$
f=\bar{R}-\frac{\sigma^2}{T}
$$
where $T$ is referred to as risk tolerance and expresses the investor’s trade-off between expected return and variance of return. The higher $T$, the “more tolerant” the investor is of risk and the higher the risk of the portfolio selected. Table 11.7 shows the choice for two investors: investor $\mathrm{A}$, with a risk tolerance of 100 , and investor $\mathrm{B}$, with a risk tolerance of 150. Their choices are applied to the investment problem shown in Table 11.1.
With these choices and risk tolerances, investor A would select investment 2 and investor B would select investment 3. One way to apply the risk tolerance idea is to simply use it to evaluate the investments being considered. When we assume riskless lending and borrowing, the optimum proportion to invest in the Tangency Portfolio $\left(X_T\right)$ and the
amount to lend or borrow $\left(1-X_T\right.$ ) can be determined directly. Using the preceding equation and substituting in the formula for the expected return and variance of the portfolio of debt and stock, finding the value of $X_T$ that maximizes the function yields ${ }^2$
$$
x_T=\frac{T}{2}\left(\frac{\bar{R}_T-R_F}{\sigma_T^2}\right)
$$
For the example discussed in Table 11.1, the Tangency Portfolio had a mean return of 10 and a standard deviation of 20 , and the riskless rate was $4 \%$. Thus, for investor $\mathrm{A}$, with a risk tolerance of 100 , we have
$$
x_T=\frac{100}{2}\left[\frac{10-4}{400}\right]=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}
$$
And for investor $\mathrm{B}$, with a risk tolerance of 150 , we have
$$
x_T=\frac{150}{2}\left[\frac{10-4}{400}\right]=1 \frac{1}{8}
$$
Once again, to implement this, one needs to estimate an investor’s risk tolerance. Risk tolerance is easier to obtain from an investor because it is a single number. In implementing utility functions, one has to determine both the functional form of the investor’s utility function and the parameters. Although we can specify some general characteristics of utility functions.
利率理论代考
金融代写|利率理论代写portfolio theory代考|AN INTRODUCTION TO PREFERENCE FUNCTIONS
我们以一个简单的例子开始正式讨论风险资产之间的选择。考虑表 11.2 中显示的两个 备选方案。投资 $A$ 和投资 $B$ 每个都有三种可能的结果，每种结果的可能性均等。投资 $A$ 的结果可变性较小，但平均结果较低。
在它们之间进行选择的一种方法是指定大结果相对于小结果有多有价值，然后根据它们 的价值对结果进行加权，并找到这些加权结果的期望值。将加权结果相加或平均的想法 非常普遍。例如，想一想曲棍球比赛中获胜的队伍是如何选出的。表 11.3 显示了两个 曲棍球队的假设记录。
目前的做法权重是赢二、平一、输零。有了这个加权方案，岛民将领先传单 100 到 95。但是这个加权方案没有什么特别之处。一个有意淡化对平局的激励的联盟可能会 以 4 胜、 1 平、 0 负负为权重。在这种情况下，飞人队将被视为占主导地位的球队， 185 比 180。如果我们表示 $W$ 结果 (赢，平，输)， $U(W)$ 作为这个结果的值，并且 $N(W)$ 作为次数 (游戏) $W$ 发生，然后确定更好的团队，我们计算
$$
\sum_W U(W) N(W)
$$
较高的团队 $U$ 被认为是更好的球队。例如，利用当前的做法， $U$ (赢) $=2, U$ (领带) $=1$ ，和 $U$ (损失) $=0$. 将公式应用于岛民收益率
$$
U=2(40)+1(20)+0(10)=100
$$
较高的团队 $U$ 被认为是更好的球队。例如，利用当前的做法， $U$ (赢) $=2, U$ (领带) $=1$ ，和 $U$ (损失 $)=0$. 将公式应用于岛民收益率
$$
U=2(40)+1(20)+0(10)=100
$$
这就是我们之前提到的 100。而特定功能 $U(W)$ 情况不同，原理是一样的。传统上，不 使用特定类型的结果数量，而是使用比例。在我们的示例中有 70 场曲棍球比赛。如果 $P(W)$ 是导致结果的游戏总数的比例 $W$ ，然后 $P(W)=N(W) / 70$. 除以 70 不会影响 团队的顺序。按每个结果的比例对函数进行加权等同于计算平均值或期望值。出租 $E(U)$ 指定期望值 $U_{\text {产量 }}{ }^1$
$$
E(U)=\sum_W U(W) P(W)
$$
当我们将此原则应用于表 11.2 中所示的决策问题时，我们为该原则指定了特殊名称。 加权函数称为效用函数，其原理称为预期效用定理。考虑表 11.2 中所示的示例和表 11.4 中所示的一组权重。
金融代写|利率理论代写portfolio theory代考|RISK TOLERANCE FUNCTIONS
请注意，投资组合问题表示为平均收益和收益标准差之间的选择。因此，任何效用函数 都可以用相同的方式交替表示。这导致了将预期效用最大化表示为最大化的提议
$$
f=\bar{R}-\frac{\sigma^2}{T}
$$
在哪里 $T$ 被称为风险承受能力，表示投资者在预期收益和收益方差之间的权衡。越高 $T$ ，投资者对风险的“容忍度”越高，所选投资组合的风险就越高。表 11.7 显示了两个投 资者的选择：投资者 $\mathrm{A}$ ，风险承受能力为 100 ，投资者 $\mathrm{B}$ ，风险承受能力为 150 。他们的 选择应用于表 11.1 所示的投资问题。
有了这些选择和风险承受能力，投资者 $A$ 会选择投资 2，投资者 $B$ 会选择投资 3。应用 风险承受能力思想的一种方法是简单地用它来评估正在考虑的投资。当我们假设无风险 借贷时，投资于 Tangency Portfolio 的最佳比例 $\left(X_T\right)$ 和
借贷金额 $\left(1-X_T\right)$ 可以直接确定。使用前面的等式并代入债务和股票投资组合的预期 收益和方差的公式，找到价值 $X_T$ 最大化函数收益 2
$$
x_T=\frac{T}{2}\left(\frac{\bar{R}_T-R_F}{\sigma_T^2}\right)
$$
对于表 11.1 中讨论的示例，Tangency Portfolio 的平均回报率为 10 ，标准差为 20 ， 无风险利率为 $4 \%$. 因此，对于投资者 $\mathrm{A}$ ，风险承受能力为 100 ，我们有
$$
x_T=\frac{100}{2}\left[\frac{10-4}{400}\right]=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}
$$
而对于投资者 $B ， 风$ 险承受能力为 150 ，我们有
$$
x_T=\frac{150}{2}\left[\frac{10-4}{400}\right]=1 \frac{1}{8}
$$
再一次，要实现这一点，需要估计投资者的风险承受能力。风险承受能力更容易从投资 者那里获得，因为它是一个单一的数字。在实现效用函数时，必项确定投资者效用函数 的函数形式和参数。虽然我们可以指定效用函数的一些一般特征。
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