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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Decision Processes
This chapter considers probabilistic sequential decision problems with an infinite planning horizon. Problems with a stochastic state have already been discussed in Section 5.8. Examples are the investment problem (see Section 5.8.4) and dice games (see Sections 5.8.2 and 5.8.5). However, these were problems with a finite horizon. In this chapter, we assume that the horizon is infinite. The associated theory is called Markov decision theory, and the decision problem is called a Markov decision problem.
A Markov decision problem involves a system whose state $X_t$ at time $t \in T=$ ${0,1,2, \ldots}$ is a random variable. The values $X_t$ can take form the state space $S$. We will always assume that $S$ is a countable set, so that we can speak of the state $i \in S={0,1,2, \ldots}$. The process $\left{X_t, t \geq 0\right}$ is observed at every time $t \in T$, these moments are called decision epochs. If $X_t=i$, then decision $a \in D(i)$ is made. The decision space or action space $D(i)$ is assumed to be finite.
If $X_t=i$ and a decision $a_t \in D(i)$ is made, then we receive an immediate reward $r_t(i, a)$, and the process makes a transition to a new state $X_{t+1}=j$ according to the transition probabilities
$$
\begin{aligned}
& \mathbb{P}\left(X_{t+1}=j \mid X_0=x_0, B_0=a_0 ; X_1=x_1, B_1=a_1 ; \ldots ; X_t=i, B_t=a_t\right) \
& =\mathbb{P}\left(X_{t+1}=j \mid X_t=i, B_t=a_t\right)
\end{aligned}
$$
where $B_t$ is the decision taken at time $t$. This assumption makes that the decision process does not depend on the past of the decision process before time $t$. This process is called a Markov decision process. We make the following assumptions:
(i) we receive an expected immediate reward $r(i, a)$;
(ii) a transition to state $X_{t+1}$ at time $t+1$ occurs according to the transition probabilities
$$
p(j \mid i, a)=\mathbb{P}\left(X_{t+1}=j \mid X_t=i, B_t=a\right)
$$
It follows from (i) and (ii) that we assume stationarity as both $r(i, a)$ and $p(j \mid i, a)$ do not depend on $t$. This brings us to the following definition.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Decision Processes: Discounted Rewards
In this section, we consider the general Markov decision problem with criterion the maximization of the rewards’ expected present value. The discount factor is again denoted by $\beta$ (with $0<\beta<1$ ). If $C$ is the class of all possible policies, then the optimality criterion reads
$$
\max {\pi \in C} V\pi(i) \text { for all } i \in S
$$
The value of the objective function after maximization over all possible policies is called the optimal value function and is denoted by $V(i), i \in S$, where $i$ denotes the initial state of the decision process, so
$$
V(i)=\max {\pi \in C} V\pi(i), \quad i \in S
$$
Example 10.1 (A network model). In this first example, we consider the special case with deterministic state transitions. In this case, a decision $\delta_t(i)$ leads to a known state, so we can also characterize the decision $\delta_t(i)$ by $\delta_t(i)=j \in S$. Then, the Markov decision model description with discounted rewards (present value) is equivalent to the following network description. The states in $S$ correspond to the nodes of a directed graph $G=(S, E)$. In this graph, a decision $\delta_t(i)=j$ is represented by an $\operatorname{arc}(i, j) \in E$. The set of arcs leaving $i$ therefore represents all possible decisions in $i$. With every arc (that is, directed edge) $(i, j) \in E$ in $G$ is associated a reward $r(i, j)$; this completes the network description. In this network, for every initial node (that is, initial state), a policy generates a path of infinite length (the length of a path is the number of arcs in the path) with corresponding sequence of rewards.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Decision Processes
本章考虑具有无限规划范围的概率顺序决策问题。随机状态的问题已经在 5.8 节中讨论 过了。例如投资问题（见 5.8.4 节) 和骰子游戏（见 5.8.2 节和 5.8 .5 节) 。然而，这些 问题的范围有限。在本章中，我们假设地平线是无限的。相关理论称为马尔可夫决策理 论，决策问题称为马尔可夫决策问题。
马尔可夫决策问题涉及一个系统，其状态 $X_t$ 在时间 $t \in T=0,1,2, \ldots$. 是一个随机变 量。价值 $X_t$ 可以形成状态空间 $S$. 我们总是会假设 $S$ 是一个可数集，所以我们可以说状 态 $i \in S=0,1,2, \ldots$ 过程 \left{X_t, $\backslash \backslash g e q$ 0 \right } } \text { 每时每刻都被观察到 } t \in T ， \text { 这些时 } 刻称为决策时期。如果 $X_t=i$ ，然后决定 $a \in D(i)$ 制成。决策空间或行动空间 $D(i)$ 被 假定为有限的。
如果 $X_t=i$ 和一个决定 $a_t \in D(i)$ 完成后，我们会立即收到奖励 $r_t(i, a)$ ，并且该过程 过渡到新状态 $X_{t+1}=j$ 根据转移概率
$$
\mathbb{P}\left(X_{t+1}=j \mid X_0=x_0, B_0=a_0 ; X_1=x_1, B_1=a_1 ; \ldots ; X_t=i, B_t=a_t\right)
$$
在哪里 $B_t$ 是当时做出的决定 $t$. 这个假设使得决策过程不依赖于过去的决策过程之前的 时间 $t$. 这个过程称为马尔可夫决策过程。我们做出以下假设:
(i) 我们收到预期的即时奖励 $r(i, a)$;
(ii) 过渡到状态 $X_{t+1}$ 在时间 $t+1$ 根据转移概率发生
$$
p(j \mid i, a)=\mathbb{P}\left(X_{t+1}=j \mid X_t=i, B_t=a\right)
$$
从 (i) 和 (ii) 可以得出，我们假设平稳性既 $r(i, a)$ 和 $p(j \mid i, a)$ 不依赖 $t$. 这使我们得出以 下定义。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Decision Processes: Discounted Rewards
在本节中，我们考虑以奖励的预期现值最大化为准则的一般马尔可夫决策问题。贴现因 子再次表示为 $\beta$ (和 $0<\beta<1$ ). 如果 $C$ 是所有可能策略的类别，那么最优性标准为
$$
\max \pi \in C V \pi(i) \text { for all } i \in S
$$
最大化所有可能策略后的目标函数的值称为最优值函数，表示为 $V(i), i \in S$ ，在哪里 $i$ 表示决策过程的初始状态，所以
$$
V(i)=\max \pi \in C V \pi(i), \quad i \in S
$$
示例 10.1 (网络模型) 。在第一个示例中，我们考虑具有确定性状态转换的特殊情 况。在这种情况下，决定 $\delta_t(i)$ 导致已知状态，因此我们还可以表征决策 $\delta_t(i)$ 经过 $\delta_t(i)=j \in S$. 那么，具有折扣奖励 (现值) 的马尔可夫决策模型描述等价于以下网络 描述。各州在 $S$ 对应有向图的节点 $G=(S, E)$. 在这张图中，一个决定 $\delta_t(i)=j$ 由一 个代表 $\operatorname{arc}(i, j) \in E$. 离开的弧集 $i$ 因此代表所有可能的决定 $i$. 每条弧线 (即有向边) $(i, j) \in E$ 在 $G$ 与奖励相关联 $r(i, j)$; 这样就完成了网络描述。在这个网络中，对于每个 初始节点 (即初始状态)，策略都会生成一条无限长的路径 (路径的长度是路径中弧的 数量) 以及相应的奖励序列。
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