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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Ensemble average and entanglement fidelities
For the finite-dimensional case, ensemble average fidelity and entanglement fidelity are two kinds of important fidelities connected to a quantum channel. In this subsection, we give the definitions of ensemble average fidelity and entanglement fidelity connected to a quantum channel for an infinite- dimensional system, and discuss their relationship.
The presentation in this subsection is largely based on results obtained by Hou and Qi $[90]$
Let $\mathbb{H}$ be an infinite-dimensional separable complex Hilbert space and let a quantum channel $\Phi: \mathcal{S}(\mathrm{H}) \rightarrow \mathcal{S}(\mathbb{H})$ be a quantum channel. As in the finite-dimensional case (see, e. g., Wilde [178]), for such quantum channel $\Phi$ and a given ensemble $\left{p_j, \rho_j\right}_{j=1}^{+\infty}$, one can define ensemble average fidelity $\bar{F}\left(\left{p_i, \rho_i\right}, \Phi\right)$ by
$$
\bar{F}\left(\left{p_i, \rho_i\right}, \Phi\right)=\sum_i p_i F\left(\rho_i, \Phi\left(\rho_i\right)\right)^2
$$
where $F\left(\rho_i, \Phi\left(\rho_i\right)\right)$ denotes the fidelity between the input state $\rho_i$ and its channel output state $\Phi\left(\rho_i\right)$, which are both on the same Hilbert space $\mathbb{H}$.
Similarly, for a state $\rho$, one can define the entanglement fidelity $F_{\text {ef }}(\cdot, \cdot): \mathcal{S}(\mathbb{H}) \times$ $\mathfrak{Q C}(\mathbb{H}) \rightarrow[0,1]$ by
$$
\begin{aligned}
F_{\mathrm{ef}}(\rho, \Phi) & =F\left(|\psi\rangle_{\mathbb{H} \otimes \mathrm{H}},(\Phi \otimes \mathfrak{I})\left(|\psi\rangle_{\mathbb{H} \otimes \mathrm{H}}\langle\psi|\right)\right)^2 \
& =\left\langle\psi\left|(\Phi \otimes \mathfrak{I})\left(|\psi\rangle_{\mathrm{H} \Perp \mathrm{H}}\langle\psi|\right)\right| \psi\right\rangle_{\mathrm{H} \otimes \mathrm{H}}
\end{aligned}
$$
where $|\psi\rangle \in \mathbb{H} \otimes \mathbb{H}$ is a purification of $\rho$. Note that the definition of $F_{\mathrm{ef}}(\rho, \Phi)$ does not depend on the choices of purifications. To see this, let $|\psi\rangle_{\mathrm{H} \otimes H}=\sum_j \sqrt{p_j}|j\rangle_{\mathbb{H}} \otimes\left|\mu_j\right\rangle_{\mathbf{H}}$ be any purification, where $\left{|j\rangle_{\mathbb{H}}\right}$ is an orthonormal basis and $\left{\left|\mu_j\right\rangle_{\mathcal{H}}\right}$ is an orthonormal set of $\mathbb{H}$. By Kraus representation (4.12), there exists a sequence of operators $\left(\mathbf{E}i\right){i=1}^{+\infty} \subset$ $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ with $\sum_i \mathbf{E}i^* \mathbf{E}_i=\mathbf{I}{\mathbb{H}}$ such that
$$
\Phi(\sigma)=\sum_i \mathbf{E}_i \sigma \mathbf{E}_i^*, \quad \forall \sigma \in \mathcal{S}(\mathrm{H})
$$
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Complete boundedness norm
Recall from Proposition 4.1.5 that a linear map $Y$ from $C^$-algebra $\mathcal{A}$ to another $C^$ algebra $\mathcal{B}$ is completely positive if and only if $\Upsilon: \mathcal{A} \otimes \mathcal{M}_n \rightarrow \mathcal{B} \otimes \mathcal{M}_n$ is positive for each $n \in \mathbb{N}$.
The concept of complete boundedness to be defined below is closely related to completely positivity characterized in Proposition 4.1.5. The norm of complete boundedness for a linear map between two $C^*$-algebras $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ is defined as follows.
Definition 6.3.1. Let $Y: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ be a linear map between $C^*$-algebras $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$. The norm of complete boundedness $|Y|_{\text {cb }}$ of $Y$ is defined as
$$
|Y|_{\mathrm{cb}}=\sup {n \in \mathbb{N}}\left|Y \otimes \mathbf{I}{(n \times n)}\right|_{\infty}
$$ where $\mathbf{I}{(n \times n)}$ is the identity map of $n \times n$ complex matrices (i. e., $\mathbf{I}{(n \times n)}$ is an $n \times n$ identity matrix). The map $Y$ is called a completely bounded map if $|Y|_{c b}<\infty$.
Equivalently, $Y: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ is completely bounded if and only if the linear map $Y_n$ that maps $n \times n$ matrices in $\mathcal{A} \otimes \mathcal{M}n$ to $n \times n$ matrices in $\mathcal{B} \otimes \mathcal{M}_n$ defined by $$ \left(\begin{array}{cccc} \mathbf{a}{11} & \mathbf{a}{12} & \ldots & \mathbf{a}{1 n} \
\mathbf{a}{21} & \mathbf{a}{22} & \ldots & \mathbf{a}{2 n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \mathbf{a}{n 1} & \mathbf{a}{n 2} & \ldots & \mathbf{a}{n n}
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{cccc}
\Upsilon\left(\mathbf{a}{11}\right) & Y\left(\mathbf{a}{12}\right) & \ldots & Y\left(\mathbf{a}{1 n}\right) \ \Upsilon\left(\mathbf{a}{21}\right) & Y\left(\mathbf{a}{22}\right) & \ldots & Y\left(\mathbf{a}{2 n}\right) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
Y\left(\mathbf{a}{n 1}\right) & Y\left(\mathbf{a}{n 2}\right) & \ldots & Y\left(\mathbf{a}{n n}\right) \end{array}\right) $$ is uniformly bounded for all $n \in \mathbb{N}$. That is, $\sup {n \in \mathbb{N}}\left|\mathrm{Y}n\right|{\infty}<+\infty$.
信息论代考
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Ensemble average and entanglement fidelities
对于有限维情况，系综平均保真度和纠缠保真度是连接到量子信道的两种重要保真度。
在本小节中，我们给出了与无限维系统的量子通道相连的系综平均保真度和纠缠保真度 的定义，并讨论了它们的关系。
本小节中的介绍主要基于 Hou 和 Qi 获得的结果 $[90]$ 子通道。正如在有限维情况下（参见，例如，Wilde [178])，对于这样的量子信道 $\Phi$ 和
在哪里 $F\left(\rho_i, \Phi\left(\rho_i\right)\right)$ 表示输入状态之间的保真度 $\rho_i$ 及其通道输出状态 $\Phi\left(\rho_i\right)$ ，它们都在 同一个希尔伯特空间猬.
同样，对于一个状态 $\rho$, 可以定义纠缠保真度 $F_{\text {ef }}(\cdot, \cdot): \mathcal{S}(\mathbb{H}) \times \mathfrak{Q} \mathfrak{C}(\mathbb{H}) \rightarrow[0,1]$ 经过
$$
F_{\text {ef }}(\rho, \Phi)=F\left(|\psi\rangle_{\mathrm{H} \otimes \mathrm{H}},(\Phi \otimes \mathfrak{I})\left(|\psi\rangle_{\mathrm{H} \otimes \mathrm{H}}\langle\psi|\right)\right)^2 \quad=\left\langle\psi\left|(\Phi \otimes \mathfrak{I})\left(|\psi\rangle_{\mathrm{H} \backslash \operatorname{PerpH}}\langle\psi|\right)\right| \psi\right\rangle
$$
在哪里 $|\psi\rangle \in \mathbb{H} \otimes \mathbb{H}$ 是一种净化 $\rho$. 注意的定义 $F_{\mathrm{ef}}(\rho, \Phi)$ 不依赖于纯化的选择。为了看 到这一点，让 $|\psi\rangle_{\mathrm{H} \otimes H}=\sum_j \sqrt{p_j}|j\rangle_{\mathbb{H}} \otimes\left|\mu_j\right\rangle_{\mathrm{H}}$ 是任何净化，在哪里 个操作符序列 $(\mathbf{E} i) i=1^{+\infty} \subset \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 和 $\sum_i \mathbf{E} i^* \mathbf{E}_i=\mathbf{I H}$ 这样
$$
\Phi(\sigma)=\sum_i \mathbf{E}_i \sigma \mathbf{E}_i^*, \quad \forall \sigma \in \mathcal{S}(\mathrm{H})
$$
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Complete boundedness norm
回忆命题 4.1.5 中的线性映射 $Y$ 从 $C^{\wedge}$ 代数 $\mathcal{A}$ 给另一个斧代数 $\mathcal{B}$ 是完全正的当且仅当 $\Upsilon: \mathcal{A} \otimes \mathcal{M}n \rightarrow \mathcal{B} \otimes \mathcal{M}_n$ 对每个都是积极的 $n \in \mathbb{N}$. 下面定义的完全有界概念与命题 4.1.5 中描述的完全正性密切相关。两个之间的线性映 射的完全有界范数 $C^$-代数 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 定义如下。 定义 6.3.1。让 $Y: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ 之间的线性映射 $C^$-代数 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$. 完全有界范数 $|Y|{\mathrm{cb}}$ 的 $Y$ 定 义为
$$
|Y|{\mathrm{cb}}=\sup n \in \mathbb{N}|Y \otimes \mathbf{I}(n \times n)|{\infty}
$$
在哪里 $\mathbf{I}(n \times n)$ 是身份映射 $n \times n$ 复杂的矩阵 (即 $\mathbf{I}(n \times n)$ 是一个 $n \times n$ 单位矩阵) 。 地图 $Y$ 称为完全有界映射，如果 $|Y|_{c b}<\infty$.
等价地， $Y: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ 完全有界当且仅当线性映射 $Y_n$ 那张地图 $n \times n$ 中的矩阵 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{M} n$ 到 $n \times n$ 中的矩阵 $\mathcal{B} \otimes \mathcal{M}_n$ 被定义为
对所有人都有一致的界限 $n \in \mathbb{N}$. 那是， $\sup n \in \mathbb{N}|\mathrm{Y} n| \infty<+\infty$.
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