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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Constrained diamond norms and Bures distances
Let $\mathbf{H}$ be any $\mathfrak{H}$-operator. The energy-constrained diamond norm of quantum channel $\Phi: \mathcal{S}\left(\mathrm{H}A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathrm{H}_B\right)$ is defined by $$ |\Phi|{\diamond}^E=\sup {\rho \in \mathcal{S}\left(\mathrm{H}{A R}\right), \mathrm{tr}\left[\mathrm{H} \rho_A\right] \leq E}\left|\left(\Phi \otimes \mathfrak{I}R\right) \rho\right|_1, \quad E>E_0, $$ where $R$ is any quantum system and $\rho_A=\operatorname{tr}_R\left[\rho{A R}\right]$.
We define the energy-constrained Bures distance between the quantum channels $\Phi$ and $\Psi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ as $$ \beta_E(\Phi, \Psi)=\sup {\rho \in \mathcal{S}\left(\mathrm{H}{A R}\right), \mathrm{tr}\left[\mathrm{H} \rho_A\right] \leq E} \beta\left(\left(\Phi \otimes \mathfrak{I}_R\right) \rho,\left(\Psi \otimes \mathfrak{I}_R\right) \rho\right), \quad E>E_0 $$ where $\beta(\cdot, \cdot)$ is the Bures distance defined in equation (6.34). Proposition 6.4.3. The following inequalities hold: $$ \frac{1}{2}|\Phi-\Psi|{\diamond}^E \leq \beta_E(\Phi, \Psi) \leq \sqrt{|\Phi-\Psi|_{\diamond}^E}
$$
Proof. The inequality follows easily from the definition energy-constrained diamond norm $|\cdot|_{\diamond}^E$ (see equation (6.40)), the definition of energy-constrained Bures distance $\beta_E(\cdot, \cdot)$ (see equation (6.41)) and inequality (6.35). This proves the proposition.
Lemma 6.4.4. Let $\mathbf{H}$ be an $\mathfrak{H}$-operator on $\mathrm{H}A$ and let $E>E_0$, where $E_0:=$ $\inf {|\varphi|_{H_A}=1}\langle\varphi|\mathbf{H}| \varphi\rangle_A$ is the smallest eigenvalue of $\mathbf{H}$. For any arbitrary quantum channel $\Phi$ from $A$ to $B$, there exist a separable Hilbert space $\mathbb{H}E$ and a Stinespring isometry $\mathbf{V}{\Phi}: \mathrm{H}A \rightarrow \mathbb{H}{B E}$ of the channel $\Phi$ with the following property: for any quantum channel $\Psi$ from $A$ to $B$, there is a Stinespring isometry $\mathbf{V}{\Psi}: \mathbb{H}_A \rightarrow \mathbb{H}{B E}$ of $\Psi$ such that
$$
\left|\mathbf{V}{\Psi}-\mathbf{V}{\Phi}\right|_E=\beta_E(\Psi, \Phi) .
$$
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Approximations of quantum channels
In the following, we have an approximation result of the infinite-dimensional quantum channel via finite-dimensional projections. The result is due originally to Shirokov and Holevo [158].
Proposition 6.5.1. Let $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}B\right)$ be an extended quantum channel from input system $A$ to output system $B$, and let $\left(\mathbf{P}_n\right){n=1}^{+\infty}$ be an increasing sequence of finitedimensional projections on $\mathrm{H}A$ that converges strongly to the identity operator $\mathbf{I}_A$. Then there is a family $\left(\Phi_n\right){n=1}^{+\infty}$ of completely positive maps such that $\Phi_n$ is trace preserving on $\mathbf{P}n\left(\mathbb{H}_A\right)$ and $\Phi_n(\mathbf{A}) \rightarrow \Phi(\mathbf{A})$ uniformly for all $\mathbf{A} \in \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right)$
Proof. First note that, for each $\mathbf{A} \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}A\right), \mathbf{A}_n \equiv \mathbf{P}_n \mathbf{A P}_n^* \rightarrow \mathbf{A}$ in operator norm $|\cdot|{\infty}$, when $n \rightarrow+\infty$. We can write $\mathbf{A}-\mathbf{A}n=\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){+}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}$, where $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){+}$and $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}$are in $\tau_{+}\left(\mathbb{H}A\right)$ and $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){+}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){+}=\mathbf{0}$. Note that $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){+}$and $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}$are, respectively, the positive and negative part of $\mathbf{A}-\mathbf{A}n$. Obviously $$ \Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){+}\right), \Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){-}\right) \in \mathfrak{T}{+}\left(\mathrm{H}_B\right) $$ and $$ \lim {n \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right){+}\right)\right]=\lim {n \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){-}\right)\right]=0 .
$$
Consequently,
$$
\lim {n \rightarrow+\infty}\left|\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){+}\right)\right|_1=\lim {n \rightarrow+\infty}\left|\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right){-}\right)\right|_1=0
$$
and
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\Phi\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)\right|_1=0
$$
信息论代考
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Constrained diamond norms and Bures distances
让 $\mathbf{H}$ 是任何 $\mathfrak{H}$-操作员。量子通道的能量约束钻石范数 $\Phi: \mathcal{S}(\mathrm{H} A) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathrm{H}B\right)$ 由定义 $$ |\Phi| \diamond^E=\sup \rho \in \mathcal{S}(\mathrm{H} A R), \operatorname{tr}\left[\mathrm{H} \rho_A\right] \leq E|(\Phi \otimes \Im R) \rho|_1, \quad E>E_0, $$ 在哪里 $R$ 是任何量子系统并且 $\rho_A=\operatorname{tr}_R[\rho A R]$. 我们定义了量子通道之间的能量约束 Bures 距离 $\Phi$ 和 $\Psi: \mathcal{S}(\mathbb{H} A) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 作为 $$ \beta_E(\Phi, \Psi)=\sup \rho \in \mathcal{S}(\mathrm{H} A R), \operatorname{tr}\left[\mathrm{H} \rho_A\right] \leq E \beta\left(\left(\Phi \otimes \mathfrak{I}_R\right) \rho,\left(\Psi \otimes \mathfrak{I}_R\right) \rho\right), \quad E>E_0 $$ 在哪里 $\beta(\cdot, \cdot)$ 是等式 (6.34) 中定义的 Bures 距离。提案 6.4.3。以下不等式成立: $$ \frac{1}{2}|\Phi-\Psi|{\diamond}^E \leq \beta_E(\Phi, \Psi) \leq \sqrt{|\Phi-\Psi|{\diamond}^E} $$ 证明。不等式很容易从能量约束钻石范数的定义中推导出来 $|\cdot|{\diamond}^E$ (见式 (6.40))，能 量约束Bures距离的定义 $\beta_E(\cdot, \cdot)$ (见等式 (6.41) ) 和不等式 (6.35) 。这证明了命 题。
引理 6.4.4。让 $\mathbf{H}$ 豆 $\mathfrak{H}$ – 操作员 $\mathrm{H} A$ 然后让 $E>E_0$ ，在哪里 $E_0:=$
$\inf |\varphi|_{H_A}=1\langle\varphi|\mathbf{H}| \varphi\rangle_A$ 是的最小特征值H. 对于任意任意量子通道 $\Phi$ 从 $A$ 到 $B$ ，存在一
个可分离的希尔伯特空间 $\mathbb{H} E E$ 和 Stinespring 等距 $V \Phi: \mathrm{H} A \rightarrow \mathbb{H} B E$ 频道的 $\Phi$ 具有以下
性质：对于任何量子通道 $\Psi$ 从 $A$ 到 $B$, 有一个 Stinespring 等距 $V \Psi: \mathbb{H}_A \rightarrow \mathbb{H} B E$ 的 $\Psi$ 这样
$$
|\mathbf{V} \Psi-\mathbf{V} \Phi|_E=\beta_E(\Psi, \Phi) .
$$
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Approximations of quantum channels
下面，我们通过有限维投影得到无限维量子通道的近似结果。结果最初应归功于 Shirokov 和 Holevo [158]。
提案 6.5.1。让 $\Phi: \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}A\right) \rightarrow \mathfrak{T}+(\mathbb{H} B)$ 是来自输入系统的扩展量子通道 $A$ 输出系统 $B$ ，然后让 $\left(\mathbf{P}_n\right) n=1^{+\infty}$ 是一个递增的有限维投影序列 $\mathrm{H} A$ 强烈收敛于恒等算子 $\mathbf{I}_A$. 然后有一个家庭 $\left(\Phi_n\right) n=1^{+\infty}$ 完全正映射使得 $\Phi_n$ 是跟踪保留 $\mathbf{P} n\left(\mathbb{H}_A\right)$ 和 $\Phi_n(\mathbf{A}) \rightarrow \Phi(\mathbf{A})$ 统一为所有人 $\mathbf{A} \in \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right)$ 证明。首先要注意的是，对于每个 $\mathbf{A} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H} A), \mathbf{A}_n \equiv \mathbf{P}_n \mathbf{A P}_n^* \rightarrow \mathbf{A}$ 在运营商规范 $|\cdot| \infty$, 什么时候 $n \rightarrow+\infty$. 我们可以写 $\mathbf{A}-\mathbf{A} n=\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)+-(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)-$ ， 在哪里 $(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)+$ 和 $(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)-$ 在 $\tau{+}(\mathbb{H} A)$ 和 $\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}n\right)+(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)-=(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)-(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)+=\mathbf{0}$. 注意 $(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)+$ 和 $(\mathbf{A}-\mathbf{A} n)$-分别是正负部分 $\mathbf{A}-\mathbf{A} n$. 明显地 $$ \Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)+\right), \Phi((\mathbf{A}-\mathbf{A} n)-) \in \mathfrak{T}+\left(\mathrm{H}_B\right) $$ 和 $$ \lim n \rightarrow+\infty \operatorname{tr}[\Phi((\mathbf{A}-\mathbf{A} n)+)]=\lim n \rightarrow+\infty \operatorname{tr}\left[\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)-\right)\right]=0 $$ 最后， $$ \lim n \rightarrow+\infty\left|\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)+\right)\right|_1=\lim n \rightarrow+\infty\left|\Phi\left(\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)-\right)\right|_1=0 $$ 和 $$ \lim {n \rightarrow+\infty}\left|\Phi\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}_n\right)\right|_1=0
$$
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