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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Sequence of Numbers and Limiting Values
By a sequence of numbers we will understand a sequence of (indexed) real numbers:
$$
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots \quad a_n \in \mathbb{R}
$$
We have finite and infinite sequences of numbers. In case of a finite sequence the index $n$ is restricted to a finite subset of $\mathbb{N}$. The sequence is formally denoted by the symbol
$$
\left{a_n\right}
$$
and represents a mapping of the natural numbers $\mathbb{N}$ on the body of real numbers $\mathbb{R}$ :
$$
f: n \in \mathbb{N} \longrightarrow a_n \in \mathbb{R} \quad\left(n \longrightarrow a_n\right)
$$
Examples
1.
$$
a_n=\frac{1}{n} \quad \longrightarrow a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}, a_4=\frac{1}{4} \cdots
$$
2.
$$
a_n=\frac{1}{n(n+1)} \quad \longrightarrow a_1=\frac{1}{1 \cdot 2}, a_2=\frac{1}{2 \cdot 3}, a_3=\frac{1}{3 \cdot 4}, \cdots
$$
3.
$$
a_n=1+\frac{1}{n} \quad \longrightarrow a_1=2, a_2=\frac{3}{2}, a_3=\frac{4}{3}, a_4=\frac{5}{4}, \cdots
$$
Now we define the
Limiting value (limit) of a sequence of numbers
If $a_n$ approaches for $n \rightarrow \infty$ a single finite number $a$, then $a$ is the limiting value (limes) of the sequence $\left{a_n\right}$ :
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a ; a_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Series and Limiting Values
Adding up the terms of an infinite sequence of numbers leads to what is called a series:
$$
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots \curvearrowright a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty} a_m
$$
Strictly, the series is defined as limiting value of a sequence of (finite) partial sums:
$$
S_r=\sum_{m=1}^r a_m .
$$
The series converges to $S$ if
$$
\lim {r \rightarrow \infty} S_r=S $$ does exist. If not then it is called divergent. A necessary condition for the series $\sum{m=1}^{\infty} a_m$ to be convergent is
$$
\lim {m \rightarrow \infty} a_m=0 $$ For, if $\sum{m=1}^{\infty} a_m$ is indeed convergent then it must hold:
$$
\lim {m \rightarrow \infty} a_m=\lim {m \rightarrow \infty}\left(S_m-S_{m-1}\right)=\lim {m \rightarrow \infty} S_m-\lim {m \rightarrow \infty} S_{m-1}=S-S=0
$$
理论力学代写
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Sequence of Numbers and Limiting Values
通过数字序列，我们将理解一系列 (索引) 实数:
$$
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots \quad a_n \in \mathbb{R}
$$
我们有有限和无限的数字序列。在有限序列的情况下，索引 $\mid n$ 被限制在一个有限的子集 $\mathbb{N}$. 该序列正式用符号表示
左{a_n\右}
并表示自然数的映射 $\mathbb{N}$ 在实数的主体上 $\mathbb{R}$ :
$$
f: n \in \mathbb{N} \longrightarrow a_n \in \mathbb{R} \quad\left(n \longrightarrow a_n\right)
$$
例子
1.
$$
a_n=\frac{1}{n} \quad \longrightarrow a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}, a_4=\frac{1}{4} \cdots
$$
2.
$$
a_n=\frac{1}{n(n+1)} \quad \longrightarrow a_1=\frac{1}{1 \cdot 2}, a_2=\frac{1}{2 \cdot 3}, a_3=\frac{1}{3 \cdot 4}, \cdots
$$
3.
$$
a_n=1+\frac{1}{n} \quad \longrightarrow a_1=2, a_2=\frac{3}{2}, a_3=\frac{4}{3}, a_4=\frac{5}{4}, \cdots
$$
现在我们定义
一个数字序列的极限值 (limit)
如果 $a_n$ 方法 $n \rightarrow \infty$ 一个有限的数字 $a$ ，然后 $a$ 是序列的极限值 (limes) \左{a_n\右}:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a ; a_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Series and Limiting Values
将无限数字序列的各项相加得到所谓的级数:
$$
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots \curvearrowright a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty} a_m
$$
严格来说，该级数被定义为 (有限) 部分和序列的极限值:
$$
S_r=\sum_{m=1}^r a_m .
$$
该级数收敛于 $S$ 如果
$$
\lim r \rightarrow \infty S_r=S
$$
确实存在。如果不是，则称为发散。系列的必要条件 $\sum m=1^{\infty} a_m$ 收敛是
$$
\lim m \rightarrow \infty a_m=0
$$
对于，如果 $\sum m=1^{\infty} a_m$ 确实收敛那么它必须成立:
$$
\lim m \rightarrow \infty a_m=\lim m \rightarrow \infty\left(S_m-S_{m-1}\right)=\lim m \rightarrow \infty S_m-\lim m \rightarrow \infty S_{m-1}
$$
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