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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Functions and Limits
By the term function $f(x)$ one understands the unique attribution of a dependent variable $y$ from the co-domain $W$ to an independent variable $x$ from the domain of definition $D$ of the function $f(x)$ :
$$
y=f(x) \quad ; \quad D \subset \mathbb{R} \stackrel{f}{\longrightarrow} W \subset \mathbb{R}
$$
We ask ourselves how $f(x)$ changes with $x$. All elements of the sequence
$$
\left{x_n\right}=x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots
$$
shall be from the domain of definition of the function $f$. Then for each $x_n$ there exists a
$$
y_n=f\left(x_n\right)
$$
and therewith a ‘new’ sequence $\left{f\left(x_n\right)\right}$.
Definition $f(x)$ possesses at $x_0$ a limiting value $f_0$, if for each sequence $\left{x_n\right} \rightarrow x_0$ holds:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f_0 $$ That is written as: $$ \lim {x \rightarrow x_0} f(x)=f_0
$$
Examples
1.
$$
f(x)=\frac{x^3}{x^3+x-1} \quad ; \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=?
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions
It can be assumed that the trigonometric functions are well-known from schoolmathematics. Therefore, only the most important relations shall be compiled in this subsection.
Radian measure
Figure 1.3 illustrates that the angle $\varphi$ can be expressed not only by angular degrees $^{\circ}$, but equally uniquely also via the arc of the circle $s$ :
$$
s=s(\varphi) \quad: \quad s\left(360^{\circ}\right)=2 \pi r ; s\left(180^{\circ}\right)=\pi r ; s\left(90^{\circ}\right)=\frac{\pi}{2} r ; \ldots
$$
One introduces the dimensionless quantity
$$
\begin{gathered}
\varphi=\frac{s}{r} \quad \text { ‘radian’ } \
\varphi\left(^{\circ}\right)=360(180,90,45,1) \longrightarrow 2 \pi\left(\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{180}\right) \mathrm{rad}
\end{gathered}
$$
Trigonometric functions
In the right-angled triangle in Fig. 1.4 $a$ and $b$, adjacent and opposite to angle $\alpha$, respectively, are called the leg (side, cathetus) and $c$ the hypothenuse. With these terms one defines:
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha=\frac{b}{c} \
& \cos \alpha=\frac{a}{c} \
& \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{b}{a} \
& \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{a}{b}
\end{aligned}
$$
理论力学代写
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Functions and Limits
通过术语函数 $f(x)$ 了解因变量的独特属性 $y$ 从共域 $W$ 到一个自变量 $x$ 从定义域 $D$ 功能的 $f(x)$ :
$$
y=f(x) \quad ; \quad D \subset \mathbb{R} \stackrel{f}{\longrightarrow} W \subset \mathbb{R}
$$
我们问自己如何 $f(x)$ 变化与 $x$. 序列的所有元素
$$
\backslash \text { left }\left{x_{-} n \backslash r i g h t\right}=x_{-} 1, x_{-} 2, x_{-} 3, \backslash c d o t s, x_{-} n, \backslash c d o t s
$$
应来自函数定义域 $f$. 然后对于每个 $x_n$ 存在一个
$$
y_n=f\left(x_n\right)
$$
有:
$$
\lim n \rightarrow \infty f\left(x_n\right)=f_0
$$
写成:
$$
\lim x \rightarrow x_0 f(x)=f_0
$$
例子
1.
$$
f(x)=\frac{x^3}{x^3+x-1} \quad ; \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=?
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions
可以假设三角函数在学校数学中是众所周知的。因此，本小节只应编制最重要的关系。
弧度测量
图 1.3 说明了角度 $\varphi$ 不仅可以用角度来表示 ${ }^{\circ}$, 但同样唯一地也通过圆弧 $s$ :
$$
s=s(\varphi) \quad: \quad s\left(360^{\circ}\right)=2 \pi r ; s\left(180^{\circ}\right)=\pi r ; s\left(90^{\circ}\right)=\frac{\pi}{2} r ; \ldots
$$
一、引入无量纲量
$$
\varphi=\frac{s}{r} \quad \text { ‘radian’ } \varphi\left({ }^{\circ}\right)=360(180,90,45,1) \longrightarrow 2 \pi\left(\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{180}\right) \mathrm{rad}
$$
三角函数
图 1.4 中的直角三角形 $a$ 和 $b$, 与角相邻和相反 $\alpha$, 分别称为腿 (side, cathetus) 和c假设。用 这些术语定义:
$$
\sin \alpha=\frac{b}{c} \quad \cos \alpha=\frac{a}{c} \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{b}{a} \quad \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{a}{b}
$$
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