物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Renormalization group equations, Kadanoff scaling

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Renormalization group equations, Kadanoff scaling

In his first paper Wilson established differential equations for $K_L, B_L$ considered as functions of $L$, and showed that their solutions in the critical region are the Kadanoff scaling forms, Eq. (8.21). To do that, he had to treat the scale factor $L$ as a continuous quantity. In the block-spin picture, $L$ is either an integer or is associated with one. ${ }^{44}$ Consider a small change in length scale, $L \rightarrow L(1+\delta)$, $\delta \ll 1$. Assuming $K_L, B_L$ differentiable functions of $L$, for infinitesimal $\delta$,
$$
\begin{aligned}
& K_{L(1+\delta)}-K_L \approx \delta L\left(\frac{\mathrm{d} K_L}{\mathrm{~d} L}\right) \equiv \delta u \
& B_{L(1+\delta)}-B_L \approx \delta L\left(\frac{\mathrm{d} B_L}{\mathrm{~d} L}\right) \equiv \delta v,
\end{aligned}
$$
with $u \equiv L\left(\mathrm{~d} K_L / \mathrm{d} L\right), v \equiv L\left(\mathrm{~d} B_L / \mathrm{d} L\right)$. Wilson’s key insight is that the functions $u, v$ depend on $L$ only implicitly, through the $L$-dependence of $K_L, B_L, u=u\left(K_L, B_L^2\right), v=v\left(K_L, B_L^2\right){ }^{45} \mathrm{In}$ the Kadanoff construction, by assembling $2^d$ blocks to make a new block, couplings $K_L, B_L$ are mapped to $K_{2 L}, B_{2 L}$, a mapping independent of the absolute length of the initial blocks. In Wilson’s words, “… the Hamiltonian does not know what the size $L$ of the old block was.” By differentiating Eqs. (8.19) and (8.20) with respect to $L$, he showed that, indeed, $u, v$ do not depend explicitly on $L$. Thus, we have differential equations known as the renormalization group equations,
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} K_L}{\mathrm{~d} L} & =\frac{1}{L} u\left(K_L, B_L^2\right) \
\frac{\mathrm{d} B_L}{\mathrm{~d} L} & =\frac{1}{L} B_L v\left(K_L, B_L^2\right),
\end{aligned}
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Ginzburg-Landau theory: Spatial inhomogeneities

Wilson sought a model appropriate for the long-range phenomena we have with critical phenomena involving many lattice sites. To do so, he approximated a lattice of spins as a continuous distribution of spins throughout space. He replaced a discrete system of interacting spins $\left{\sigma_i\right}$ with a continuous spin-density field ${ }^{51} S(\boldsymbol{r})$, the spin density at the point located by position vector $r$. A field description is itself a coarse graining, a view of a system from sufficiently large distances that it appears continuous. Consider (again) a block of spins of linear dimension $L$ centered on the point located by $r$. Define a local magnetization density ( $\sigma_i$ here is not necessarily an Ising spin),
$$
S_L(\boldsymbol{r}) \equiv \frac{1}{N_L} \sum_{i \in \text { block at } r}\left\langle\sigma_i\right\rangle,
$$
where $N_L=(L / a)^d$ is the number of spins per block, with $a$ the lattice constant. We parameterize $S_L(\boldsymbol{r})$ with the block size because $L$ is not uniquely specified. One wants $L$ large enough that $S_L(\boldsymbol{r})$ does not fluctuate wildly as a function of $r$, but yet small enough that we can use the methods of calculus; finding “physically” infinitesimal lengths is a generic problem in constructing macroscopic theories. How is the “blocking” in Eq. (8.113) different from Kadanoff block spins, Eq. (8.17)? $S_L(\boldsymbol{r})$ is defined in terms of averages $\left\langle\sigma_i\right\rangle$, no assertion is made that all spins are aligned, or that scaling is implied. In what follows we drop the coarse-graining block-size $L$ as a parameter-we’ll soon work in $k$-space where we consider only small wave numbers $k<L^{-1} \ll a^{-1}$.

We may think of the field $S(\boldsymbol{r})$ as an inhomogeneous order parameter in the language of Landau theory. The order parameter (Section 7.7) is a thermodynamic quantity such as magnetization that represents the average behavior of the system as a whole. With $S(\boldsymbol{r})$, we have a local magnetization density that allows for spatial inhomogeneities in equilibrium systems. ${ }^{52}$ Ginzburg-Landau theory is a generalization of Landau theory so that it has a more microscopic character. The Landau free energy $F$ (Eq. (7.79)) is an extensive thermodynamic quantity. It can always be written in terms of a density $\mathcal{F} \equiv F / V$, which for bulk systems is a number having no spatial dependence, but for which there is no harm in writing $F=\int \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \mathcal{F}$. If the magnetization density varies spatially, however, and sufficiently slowly, we can infer that its local value $S(\boldsymbol{r})$ (in equilibrium) represents a minimum of the free energy density at that point, implying that $\mathcal{F}$ varies spatially. The Ginzburg-Landau model finds the total free energy through an integration over spatial quantities,
$$
F[S]=\int \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \mathcal{F}(S(\boldsymbol{r})) .
$$
Equation (8.114) presents us with a variational problem, the reason we referred to the Landau free energy as a functional ${ }^{53}$ in Section 7.7.1: For given $\mathcal{F}$, what is the spatial configuration $S(\boldsymbol{r})$ that minimizes $F$ ? The calculus of variations answers such questions. We want the functional derivative to vanish (Euler-Lagrange equation, (C.18))
$$
\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta S}=\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial S}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial S^{\prime}}\right)=0,
$$
where $S^{\prime} \equiv \mathrm{d} S / \mathrm{d} r$.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Renormalization group equations, Kadanoff scaling

在他的第一篇论文中,威尔逊建立了微分方程 $K_L, B_L$ 被视为函数 $L_1$ 并表明他们在关键 区域的解决方案是 Kadanoff 缩放形式, Eq. (8.21)。为此,他必项处理比例因子 $L$ 作为连 续量。在块旋转图片中, $L$ 是一个整数或与一个相关联。 ${ }^{44}$ 考虑长度尺度的微小变化, $L \rightarrow L(1+\delta), \delta \ll 1$. 假设 $K_L, B_L$ 的可微函数 $L$, 对于无穷小 $\delta$,
$$
K_{L(1+\delta)}-K_L \approx \delta L\left(\frac{\mathrm{d} K_L}{\mathrm{~d} L}\right) \equiv \delta u \quad B_{L(1+\delta)}-B_L \approx \delta L\left(\frac{\mathrm{d} B_L}{\mathrm{~d} L}\right) \equiv \delta v
$$
和 $u \equiv L\left(\mathrm{~d} K_L / \mathrm{d} L\right), v \equiv L\left(\mathrm{~d} B_L / \mathrm{d} L\right)$. 威尔逊的主要见解是函数 $u, v$ 取决于 $L$ 只是 含蓄地,通过 $L$ – 依赖 $K_L, B_L, u=u\left(K_L, B_L^2\right), v=v\left(K_L, B_L^2\right){ }^{45} \mathrm{In}$ 卡达诺夫结 构,通过组装 $2^d$ 块来制作一个新的块,联轴器 $K_L, B_L$ 映射到 $K_{2 L}, B_{2 L}$ ,一个独立于初 始块绝对长度的映射。用威尔逊的话来说, “……哈密顿量不知道大小是多少 $L$ 旧街区的 是。通过区分方程式。(8.19) 和 (8.20) 关于 $L$ ,他表明, 事实上, $u, v$ 不明确依赖 $L$. 因此, 我们有称为重整化群方程的微分方程,
$$
\frac{\mathrm{d} K_L}{\mathrm{~d} L}=\frac{1}{L} u\left(K_L, B_L^2\right) \frac{\mathrm{d} B_L}{\mathrm{~d} L}=\frac{1}{L} B_L v\left(K_L, B_L^2\right)
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Ginzburg-Landau theory: Spatial inhomogeneities

Wilson 寻求一种适用于我们拥有的涉及许多晶格点的临界现象的长程现象的模型。为 此,他将自旋晶格近似为自旋在整个空间的连续分布。他取代了一个离散的相互作用自 旋系统 $\left[\right.$ 左{|sigma_i|右} 具有连续的自旋密度场 ${ }^{51} S(r)$, 位置向量所在点的自旋密度 $r$. 场 描述本身是粗粒度的,是从足够大的距离看系统的视图,它看起来是连续的。(再次) 考虑线性维度的自旋块 $L$ 以位于的点为中心 $r$. 定义局部磁化密度 $\left(\sigma_i\right.$ 这里不一定是伊辛 自旋),
$$
S_L(\boldsymbol{r}) \equiv \frac{1}{N_L} \sum_{i \in \text { block at } r}\left\langle\sigma_i\right\rangle,
$$
在哪里 $N_L=(L / a)^d$ 是每个块的旋转次数,其中 $a$ 晶格常数。我们参数化 $S_L(\boldsymbol{r})$ 块大小 因为 $L$ 不是唯一指定的。一个想要 $L$ 足够大 $S_L(\boldsymbol{r})$ 不会剧烈波动作为函数 $r$ ,但足够小, 我们可以使用微积分的方法;寻找”物理上”无穷小的长度是构建宏观理论的一个普遍问 题。方程式中的“阻塞”如何? (8.113) 不同于 Kadanoff 块自旋,Eq。 (8.17) ? $S_L(\boldsymbol{r})$ 是 根据平均值定义的 $\left\langle\sigma_i\right\rangle$ ,没有断言所有自旋都是对斉的,或者暗示缩放。在接下来的内 容中,我们放弃了粗粒度的块大小 $L$ 作为参数-我们很快就会工作 $k$ – 我们只考虑小波数 的空间 $k<L^{-1} \ll a^{-1}$.
我们可以想到领域 $S(\boldsymbol{r})$ 作为 Landau 理论语言中的非齐次序参数。序参数 (第 7.7 节) 是一个热力学量,例如表示整个系统平均行为的磁化强度。和 $S(\boldsymbol{r})$ ,我们有一个局部磁 化密度,允许平衡系统中的空间不均匀性。 ${ }^{52}$ Ginzburg-Landau 理论是 Landau 理论的 推广,因此具有更微观的性质。朗道自由能 $F$ (Eq. (7.79)) 是广义热力学量。它总是可以 用密度来写 $\mathcal{F} \equiv F / V$ ,对于大容量系统来说是一个没有空间依赖性的数字,但在书写 上没有害处 $F=\int \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \mathcal{F}$. 然而,如果磁化强度在空间上变化且足够慢,我们可以推断 其局部值 $S(\boldsymbol{r})$ (处于平衡状态)代表该点自由能密度的最小值,这意味着 $\mathcal{F}$ 空间变化。 Ginzburg-Landau 模型通过对空间量的积分找到总自由能,
$$
F[S]=\int \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \mathcal{F}(S(\boldsymbol{r}))
$$方程 (8.114) 向我们展示了一个变分问题,我们将 Landau 自由能称为泛函的原因 ${ }^{53}$ 在第 7.7.1 节中: 对于给定的 $\mathcal{F}$ ,什么是空间配置 $S(\boldsymbol{r})$ 最小化 $F$ ? 变分法回答了这些问题。我 们希望泛函导数消失(欧拉-拉格朗日方程,(C.18))
$$
\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta S}=\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial S}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial S^{\prime}}\right)=0
$$
在哪里 $S^{\prime} \equiv \mathrm{d} S / \mathrm{d} r$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考

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