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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|GAUSSIAN INTEGRALS
Gaussian integrals are a class of integrals involving $\mathrm{e}^{-x^2}$. We start with the basic integral
$$
I(\alpha) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} . \quad(\alpha>0)
$$
There’s a trick to evaluating this integral that every student should know. Let $I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$. Then $I^2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. Change variables to polar coordinates with $r^2=x^2+y^2$ and change the area element $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \rightarrow r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$, so that $I^2=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r$. Change variables again with $u=r^2$, and you should find that $I^2=\pi$.
Forms of this integral containing powers of $x$ are straightforward to determine. The integrand in $I(\alpha)$ is an even function, and thus integrals involving odd powers of $x$ vanish:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 n+1} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=0 . \quad(n \geq 0)
$$
Integrals involving even powers of $x$ can be generated by differentiating $I(\alpha)$ in Eq. (B.7) with respect to $\alpha$ :
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 n} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=(-1)^n \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} I(\alpha)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{(2 \alpha)^n} \quad(n \geq 1)
$$
Gaussian integrals are often specified over the range $[0, \infty)$. We state the following result and then discuss it,
$$
\int_0^{\infty} x^n \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \frac{1}{\alpha^{(n+1) / 2}} . \quad(n \geq 0)
$$
Equation (B.10) follows under the substitution $y=\alpha x^2$ and then noting that the integral so obtained is none other than $\Gamma(x)$, Eq. (B.1).
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|VOLUME OF A HYPERSPHERE
A hypersphere is a set of points at a constant distance from a given point (its center) in any number of dimensions. As we now show, the volume $V_n(R)$ enclosed by a hypersphere of radius $R$ in $n$-dimensional Euclidean space $\left(\sum_{k=1}^n x_k^2=R^2\right)$ is given by
$$
V_n(R)=\frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} R^n \text {. }
$$
As an example of Eq. (B.14), $V_3(R)=\left(\pi^{3 / 2} / \Gamma\left(1+\frac{3}{2}\right)\right) R^3$. Using the recursion relation, $\Gamma\left(1+\frac{3}{2}\right)=$ $\frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2} \Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=3 \sqrt{\pi} / 4$. Thus, $V_3(R)=4 \pi R^3 / 3$. For $n=2$ and $n=1$, Eq. (B.14) gives $V_2(R)=\pi R^2$ and $V_1(R)=2 R$.
To derive Eq. (B.14), we first define a function of $n$ variables, $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \equiv$ $\exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)$. In Cartesian coordinates, the integral of $f$ over all of $\mathbb{R}^n$ is
$$
\int_{\mathbb{R}^n} f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mathrm{d} V=\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x_i \exp \left(-\frac{1}{2} x_i^2\right)\right)=(2 \pi)^{n / 2},
$$
where $\mathrm{d} V$ is the $n$-dimensional volume element, and we’ve used $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-a x^2} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi / a}$. Now recognize that $\sum_{i=1}^n x_i^2 \equiv r^2$ defines the radial coordinate in $n$ dimensions. Let $\mathrm{d} V=A_n(r) \mathrm{d} r$, where $A_n(r)$ is the surface area of an $n$-dimensional sphere. The surface area of an $n$-sphere can be written $A_n(r)=A_n(1) r^{n-1}$. The same integral in Eq. (B.15) can then be expressed
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^n} f \mathrm{~d} V & =\int_0^{\infty} A_n(r) \exp \left(-\frac{1}{2} r^2\right) \mathrm{d} r=A_n(1) \int_0^{\infty} r^{n-1} \exp \left(-\frac{1}{2} r^2\right) \mathrm{d} r \
& =2^{(n / 2)-1} A_n(1) \int_0^{\infty} t^{(n / 2)-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=2^{(n / 2)-1} A_n(1) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right),
\end{aligned}
$$
where in the second line we have changed variables $t=\frac{1}{2} r^2$. Comparing Eqs. (B.16) and (B.15), we conclude that $A_n(1)=2 \pi^{n / 2} / \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$. This gives us the surface area of an $n$-sphere of radius $R$ :
$$
A_n(R)=\frac{2 \pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} R^{n-1}
$$
From Eq. (B.17), $A_3(R)=4 \pi R^2, A_2(R)=2 \pi R$, and $A_1(R)=2$. By integrating $\mathrm{d} V=A_n(r) \mathrm{d} r$ from 0 to $R$, we obtain Eq. (B.14). Note that $A_n(R)=(n / R) V_n(R)$.
统计力学代考
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|GAUSSIAN INTEGRALS
高斯积分是一类涉及 $\mathrm{e}^{-x^2}$. 我们从基本积分开始
$$
I(\alpha) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} . \quad(\alpha>0)
$$
每个学生都应该知道评估这个积分的技巧。让 $I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$. 然后 $I^2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 将变量更改为极坐标 $r^2=x^2+y^2$ 并更改区域元素 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \rightarrow r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，以便 $I^2=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r$. 再次更改变量 $u=r^2$ ，你应该发 现 $I^2=\pi$.
这个积分的形式包含权力 $x$ 很容易确定。被积函数在 $I(\alpha)$ 是一个偶函数，因此积分涉及 的奇数次幂 $x$ 消失:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 n+1} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=0 . \quad(n \geq 0)
$$
涉及的偶次幂的积分 $x$ 可以通过微分生成 $I(\alpha)$ 在等式中 (B.7) 关于 $\alpha$ :
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 n} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=(-1)^n \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} I(\alpha)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{(2 \alpha)^n} \quad(n \geq 1)
$$
高斯积分通常在范围内指定 $[0, \infty)$. 我们陈述以下结果然后讨论它，
$$
\int_0^{\infty} x^n \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \frac{1}{\alpha^{(n+1) / 2}} . \quad(n \geq 0)
$$
等式 (B.10) 如下代入 $y=\alpha x^2$ 然后注意到这样获得的积分就是 $\Gamma(x)$ ，当量。（B.1)。
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|VOLUME OF A HYPERSPHERE
超球体是在任意维数中与给定点 (其中心) 距离恒定的一组点。正如我们现在展示的那 样，体积 $V_n(R)$ 被半径超球体包围 $R$ 在 $n$-维欧几里德空间 ( $\left.\sum_{k=1}^n x_k^2=R^2\right)$ 是 (谁) 给 的
$$
V_n(R)=\frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} R^n
$$
作为方程式的例子。(B.14), $V_3(R)=\left(\pi^{3 / 2} / \Gamma\left(1+\frac{3}{2}\right)\right) R^3$. 使用递归关系， $\Gamma\left(1+\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2} \Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=3 \sqrt{\pi} / 4$. 因此， $V_3(R)=4 \pi R^3 / 3$. 为了 $n=2$ 和 $n=1$ ，当量。(B.14) 给出 $V_2(R)=\pi R^2$ 和 $V_1(R)=2 R$.
推导方程式。(B.14)，我们首先定义一个函数 $n$ 变量， $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \equiv$ $\exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)$. 在笛卡尔坐标系中，积分 $f$ 在所有的 $\mathbb{R}^n$ 是
$$
\int_{\mathbb{R}^n} f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mathrm{d} V=\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x_i \exp \left(-\frac{1}{2} x_i^2\right)\right)=(2 \pi)^{n / 2},
$$
在哪里 $\mathrm{d} V$ 是个 $n$ 维体积元素，我们已经使用 $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-a x^2} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi / a}$. 现在认识到 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \equiv r^2$ 定义径向坐标 $n$ 方面。让 $\mathrm{d} V=A_n(r) \mathrm{d} r$ ，在哪里 $A_n(r)$ 是一个表面积 $n$ 维领域。的表面积 $n$-sphere 可以写成 $A_n(r)=A_n(1) r^{n-1}$. 等式中的相同积分。 然后可以表示
$$
\int_{\mathbb{R}^n} f \mathrm{~d} V=\int_0^{\infty} A_n(r) \exp \left(-\frac{1}{2} r^2\right) \mathrm{d} r=A_n(1) \int_0^{\infty} r^{n-1} \exp \left(-\frac{1}{2} r^2\right) \mathrm{d} r
$$在第二行我们更改了变量 $t=\frac{1}{2} r^2$. 比较方程式。(B.16) 和 (B.15)，我们得出结论 $A_n(1)=2 \pi^{n / 2} / \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$. 这给了我们一个表面积 $n$-半径球体 $R$ :
$$
A_n(R)=\frac{2 \pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} R^{n-1}
$$
从等式。(B. 17), $A_3(R)=4 \pi R^2, A_2(R)=2 \pi R$ ，和 $A_1(R)=2$. 通过整合 $\mathrm{d} V=A_n(r) \mathrm{d} r$ 从 0 到 $R$ ，我们得到方程式。 (B.14)。注意 $A_n(R)=(n / R) V_n(R)$.
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