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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Radiative Decay
We now have enough information to compute the rate for the radiative decay $\psi_i \rightarrow \psi_f+\gamma$. With the interaction in Eqs. (6.77) and (6.78), it is the appropriate creation operator in the vector potential that makes the transition to the final photon state of $\left|1_{\vec{k} s}\right\rangle$. The decay rate then follows as in Eq. (6.30)
$$
\begin{aligned}
R_{f i} d n_f= & \left(\frac{\hbar e^2}{2 \omega_k \varepsilon_0 \Omega}\right)\left(\frac{2 \pi}{\hbar}\right)\left|\vec{e}{\vec{k} s} \cdot \int d^3 x e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}} \psi_f^(\vec{x}) \frac{\vec{p}}{m} \psi_i(\vec{x})\right|^2 \times \ & \delta\left(E_f-E_i+\hbar \omega_k\right)\left[\frac{L^3}{(2 \pi)^3} d^3 k\right] \end{aligned} $$ The volume element $\Omega=L^3$ cancels. Now use $d^3 k=k^2 d k d \Omega_k$, and $$ \frac{d k}{d\left(\hbar \omega_k\right)}=\frac{1}{\hbar c} $$ This gives the photon emission rate $$ \begin{aligned} \omega{f i} & =R_{f i} d n_f \
& =\frac{\alpha}{2 \pi c^2} \omega_k\left|\vec{e}_{\vec{k} s} \cdot \int d^3 x e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}} \psi_f^(\vec{x}) \frac{\vec{p}}{m} \psi_i(\vec{x})\right|^2 d \Omega_k
\end{aligned}
$$
This is a powerful result. We have calculated the rate for photon emission by a charged particle making a transition in any quantum system!
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Schr¨odinger Picture
In the Schrödinger picture, the operators are time-independent, and all the time dependence is put into the wave function. Thus the Schrödinger equation for a non-relativistic particle in a potential $V(r)$, in the presence of additional electromagnetic fields with vector and scalar potentials $(\vec{A}, \Phi)$, in the Schrödinger picture is given by
$$
\begin{aligned}
i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x}, t)}{\partial t} & =H \Psi(\vec{x}, t) \quad ; \text { Schrödinger picture } \
H & =\frac{1}{2 m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x})]^2+e \Phi(\vec{x})+V(r)
\end{aligned}
$$
Upon quantization, in order to satisfy the basic commutation relation
$$
\left[p_i, x_j\right]=\frac{\hbar}{i} \delta_{i j}
$$ we continue to employ
$$
\vec{p}=\frac{\hbar}{i} \vec{\nabla} \quad ; \text { canonical momentum }
$$
The vector potential $\vec{A}(\vec{x})$ is quantized in Eq. (6.77), where it is $\vec{A}(\vec{x}, 0)$. Note that one then has a full interacting quantum field theory.
Other pictures, in particular the interaction picture where the free-field time dependence is put into the quantum field operators [see Eqs. (6.14)] are discussed in Sec. 9.7. ${ }^{14}$
量子力学代考
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Radiative Decay
我们现在有足够的信息来计算辐射衰变率 $\psi_i \rightarrow \psi_f+\gamma$. 随着方程式中的相互作用。 (6.77) 和 (6.78)，正是矢量势中的适当创建算子使过渡到最终光子状态 $\left|1_{\vec{k} s}\right\rangle$. 然后衰减率 如下式所示。(6.30)
$$
\left.R_{f i} d n_f=\left(\frac{\hbar e^2}{2 \omega_k \varepsilon_0 \Omega}\right)\left(\frac{2 \pi}{\hbar}\right) \mid \vec{e} \vec{k} s \cdot \int d^3 x e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}} \psi_f^{(} \vec{x}\right)\left.\frac{\vec{p}}{m} \psi_i(\vec{x})\right|^2 \times \quad \delta\left(E_f-E_i\right.
$$
体积元素 $\Omega=L^3$ 取消。现在使用 $d^3 k=k^2 d k d \Omega_k$ ，和
$$
\frac{d k}{d\left(\hbar \omega_k\right)}=\frac{1}{\hbar c}
$$
这给出了光子发射率
$$
\left.\omega f i=R_{f i} d n_f \quad=\frac{\alpha}{2 \pi c^2} \omega_k \mid \vec{e}_{\vec{k} s} \cdot \int d^3 x e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}} \psi_f^{(} \vec{x}\right)\left.\frac{\vec{p}}{m} \psi_i(\vec{x})\right|^2 d \Omega_k
$$
这是一个强大的结果。我们已经计算了带电粒子在任何量子系统中跃迁的光子发射率!
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Schr¨odinger Picture
在薛定遌的图中，算子是时间无关的，所有时间相关性都放在波函数中。因此势能中非 相对论粒子的薛定谔方程 $V(r)$ ，在存在具有矢量和标量势的附加电磁场的情况下 $(\vec{A}, \Phi)$, 在薛定谔的图片中由
$$
i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x}, t)}{\partial t}=H \Psi(\vec{x}, t) \quad ; \text { Schrödinger picture } H \quad=\frac{1}{2 m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x})]^2+e \Phi(\vec{x})
$$
量化后，为满足基本对换关系
$$
\left[p_i, x_j\right]=\frac{\hbar}{i} \delta_{i j}
$$
我们继续雇用
$$
\vec{p}=\frac{\hbar}{i} \vec{\nabla} \quad ; \text { canonical momentum }
$$
矢量势 $\vec{A}(\vec{x})$ 在等式中被量化。 (6.77)，它在哪里 $\vec{A}(\vec{x}, 0)$. 请注意，这样就有了一个完 整的相互作用的量子场论。
其他图片，特别是将自由场时间依赖性放入量子场算符中的交互图片 [参见方程式 1]。 (6.14)] 在第 2 节中讨论。9.7. ${ }^{14}$
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