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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Connection Between Spin and Statistics
It follows from some of the more esoteric aspects of relativistic quantum field theory that there is a connection between spin and statistics
Half-integral spin particles obey Fermi statistics, while integer spin particles obey Bose statistics.
Electrons and nucleons have spin-1/2, and they obey Fermi statistics. ${ }^4 \mathrm{He}$ atoms have spin zero and photons have unit helicity (the component of spin along the direction of motion); they obey Bose statistics.
We can keep track of the helicity of the photons with the polarization vectors
$$
\vec{e}{\vec{k}, \pm 1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{e}{\vec{k} 1} \pm i \vec{e}{\vec{k} 2}\right) $$ For the spin-1/2 particles, we keep track of the spin projection along the $z$-axis with a set of two-component column vectors ${ }^6$ $$ \phi{\uparrow}=\left(\begin{array}{l}
1 \
0
\end{array}\right) \quad ; \phi_{\downarrow}=\left(\begin{array}{l}
0 \
1
\end{array}\right)
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Stern–Gerlach Experiment
In this experiment a beam of neutral particles with internal angular momentum $\hbar \overrightarrow{\mathcal{S}}$, here assumed to be spin- $1 / 2$ with $\mathcal{S}_z= \pm 1 / 2$, and a magnetic moment $\vec{\mu}=2 \mu \overrightarrow{\mathcal{S}}$ in the direction of the spin, is passed through an inhomogeneous magnetic field (see Fig. 8.1).
The particles feel a force in the $z$-direction of
$$
F_z=\mu_z \frac{d B_z}{d z}
$$
Instead of seeing a continuous distribution of particles coming out of the detector in the $z$-direction, one observes only two beams, corresponding to $\mathcal{S}_z= \pm 1 / 2$. This illustrates the discrete quantization of the angular momentum. One observes just the eigenvalues of $\mathcal{S}_z$.
In quantum mechanics we understand what is happening by saying the initial internal state of each particle is a linear combination of the two spin states $^1$
$$
\left|\psi_{\text {int }}(t)\right\rangle=c_{\uparrow}(t)|\uparrow\rangle+c_{\downarrow}(t)|\downarrow\rangle
$$
The probability that we will measure spin up is then $\left|c_{\uparrow}(t)\right|^2$, and the probability that we will measure spin down is $\left|c_{\downarrow}(t)\right|^2$, where
$$
\left|c_{\uparrow}(t)\right|^2+\left|c_{\downarrow}(t)\right|^2=1
$$
量子力学代考
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Connection Between Spin and Statistics
从相对论量子场论的一些更深奥的方面可以看出，自旋与统计之间存在联系
半积分自旋粒子服从费米统计，而整数自旋粒子服从玻色统计。
电子和核子的自旋为 $1 / 2$ ，它们服从费米统计。 ${ }^4 \mathrm{He}$ 原子自旋为零，光子具有单位螺旋
度 (自旋沿运动方向的分量) ；他们遵守 Bose 统计数据。
我们可以用偏振矢量跟䖾光子的螺旋度
$$
\vec{e} \vec{k}, \pm 1=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e} \vec{k} 1 \pm i \vec{e} \vec{k} 2)
$$
对于自旋为 $1 / 2$ 的粒子，我们跟踪沿 $z$ 具有一组双分量列向量的轴 ${ }^6$
$$
\phi \uparrow=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0
\end{array}\right) \quad ; \phi_{\downarrow}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1
\end{array}\right)
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Stern–Gerlach Experiment
在这个实验中，一束具有内角动量的中性粒子 $\hbar \overrightarrow{\mathcal{S}}$ ，这里假设是自旋 $1 / 2$ 和 $\mathcal{S}z= \pm 1 / 2$ ， 和一个磁矩 $\vec{\mu}=2 \mu \overrightarrow{\mathcal{S}}$ 在自旋方向上，通过非均匀磁场（见图 8.1）。 粒子感受到一种力量 $z$-方向 $$ F_z=\mu_z \frac{d B_z}{d z} $$ 而不是看到连续分布的粒子从探汉器中出来 $z$-方向，一个人只观察到两个光束，对应于 $\mathcal{S}_z= \pm 1 / 2$. 这说明了角动量的离散量化。人们只观察到的特征值 $\mathcal{S}_z$. 在量子力学中，我们通过说每个粒子的初始内部状态是两个自旋状态的线性组合来理解 正在发生的事情 1 $$ \left|\psi{\text {int }}(t)\right\rangle=c_{\uparrow}(t)|\uparrow\rangle+c_{\downarrow}(t)|\downarrow\rangle
$$
那么我们将测量自旋的概率是 $\left|c_{\uparrow}(t)\right|^2$ ，我们测量自旋下降的概率是 $\left|c_{\downarrow}(t)\right|^2$ ， 在哪里
$$
\left|c_{\uparrow}(t)\right|^2+\left|c_{\downarrow}(t)\right|^2=1
$$
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