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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Averaging the Mechanical Energy Equation

The mechanical energy equation for a turbulent flow is obtained using Eq. (4.71), which includes the compressibility term $(\nabla \cdot V \not \equiv 0)$. Dividing the involved flow quantities into the mean and the fluctuating parts and applying the averaging procedure outlined in Sect. 9.2, results in a complex equation. To reduce the degree of complexity, we consider an incompressible flow with the mechanical energy equation given by Eq. (4.72) and also below:
$$
\frac{D}{D t}\left(\frac{V^2}{2}\right)=\nabla \cdot\left(-\frac{p}{\rho} \mathbf{V}+2 \nu \mathbf{V} \cdot \mathbf{D}\right)-2 \nu \mathbf{D}: \mathbf{D}+\mathbf{V} \cdot \mathbf{g} .
$$
Using the identity $\mathbf{V} \cdot \nabla\left(V^2\right)=\nabla \cdot\left(\mathbf{V} V^2\right)$ for an incompressible flow and its index notation $V_i \frac{\partial}{\partial x_i}\left(V_j V_j\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(V_i V_j V_j\right)$, we find the index notation of Eq. (9.61):
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{V_j V_j}{2}\right)= & -\frac{\partial}{\partial x_i} V_i\left(\frac{p}{\rho}+\frac{V_j V_j}{2}\right)+v \frac{\partial}{\partial x_i} V_j\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right) \
& -v\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right) \frac{\partial V_j}{\partial x_i}+V_i g_i
\end{aligned}
$$
We introduce the following decompositions:
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{V}=\overline{\mathbf{V}+\mathbf{V}^{\prime}} \text { with } \mathbf{V}{\mathbf{i}}=\overline{\mathbf{V}}{\mathbf{i}}+\mathbf{V}_{\mathbf{i}}^{\prime}, \
& V^2=V_i V_i=\bar{V}_i \bar{V}_i+2 \bar{V}_i V_i^{\prime}+V_i^{\prime} V_i^{\prime} \
& p=\bar{p}+p^{\prime}
\end{aligned}
$$
and substitute the quantities in Eq. (9.61) by Eq. (9.63) and average the results, we find:

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Averaging the Thermal Energy Equation

A thermal energy equation can be expressed in terms of specific internal energy $u$ or specific static enthalpy $h$. In both cases, the specific internal energy and specific static enthalpy can be expressed in terms of temperature $u=c_v T$ and $h=c_p T$. Both forms are fully equivalent and one can be converted into the other by $h=u+p v$, which is the defining equation for the specific static enthalpy. For averaging the thermal energy equation in terms of specific static enthalpy which we replace by the static temperature, we resort to Eq. (4.94)
$$
c_p \frac{D T}{D t}=\frac{k}{\varrho} \nabla^2 T+\frac{1}{\varrho} \frac{D p}{D t}+\frac{1}{\rho} \mathbf{T}: \mathbf{D}
$$
with the friction stress tensor $\mathbf{T}$ from Eq. (4.36):
$$
\mathbf{T}=\lambda(\nabla \cdot \mathbf{V}) \mathbf{I}+2 \mu \mathbf{D}
$$
Decomposing, in Eq. (9.65), the temperature and pressure $T$ and $p$ as well as the friction and deformation tensors $\mathbf{T}$ and $\mathbf{D}$ while neglecting the density fluctuation, we find:
$$
\begin{aligned}
c_p \frac{D\left(\bar{T}+T^{\prime}\right)}{D t}= & \frac{k}{\varrho} \nabla^2\left(\bar{T}+T^{\prime}\right)+\frac{1}{\varrho} \frac{D\left(p+p^{\prime}\right)}{D t} \
& +\frac{1}{\varrho}\left(\overline{\mathbf{T}}+\mathbf{T}^{\prime}\right):\left(\overline{\mathbf{D}}+\mathbf{D}^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$

流体力学代写

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Averaging the Mechanical Energy Equation

湍流的机械能方程是使用方程式获得的。(4.71)，其中包括可压缩性项 $(\nabla \cdot V \not \equiv 0)$. 将 涉及的流量分为平均值和波动部分，并应用第 1 节中概述的平均程序。9.2，导致一个复 杂的方程式。为了降低复杂程度，我们考虑不可压缩流动，其机械能方程由方程式给 出。(4.72) 以及以下:
$$
\frac{D}{D t}\left(\frac{V^2}{2}\right)=\nabla \cdot\left(-\frac{p}{\rho} \mathbf{V}+2 \nu \mathbf{V} \cdot \mathbf{D}\right)-2 \nu \mathbf{D}: \mathbf{D}+\mathbf{V} \cdot \mathbf{g} .
$$
使用身份 $\mathbf{V} \cdot \nabla\left(V^2\right)=\nabla \cdot\left(\mathbf{V} V^2\right)$ 对于不可压缩流及其索引符号 $V_i \frac{\partial}{\partial x_i}\left(V_j V_j\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(V_i V_j V_j\right)$ ，我们找到方程式的索引符号。(9.61):
$$
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{V_j V_j}{2}\right)=-\frac{\partial}{\partial x_i} V_i\left(\frac{p}{\rho}+\frac{V_j V_j}{2}\right)+v \frac{\partial}{\partial x_i} V_j\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right) \quad-v\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial t}{\partial{ }^i}\right.
$$
我们引入以下分解:
$\mathbf{V}=\overline{\mathbf{V}+\mathbf{V}^{\prime}}$ with $\mathbf{V i}=\overline{\mathbf{V}} \mathbf{i}+\mathbf{V}_{\mathbf{i}}^{\prime}, \quad V^2=V_i V_i=\bar{V}_i \bar{V}_i+2 \bar{V}_i V_i^{\prime}+V_i^{\prime} V_i^{\prime} p=\bar{p}+$
并替换方程式中的数量。(9.61) 由等式。(9.63) 并对结果进行平均，我们发现:

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Averaging the Thermal Energy Equation

热能方程可以用比内能表示 $u$ 或比静㤷 $h$. 在这两种情况下，比内能和比静焓都可以用温 度表示 $u=c_v T$ 和 $h=c_p T$. 两种形式完全等价，可以通过以下方式将一种形式转换为 另一种形式 $h=u+p v$ ，这是特定静态焒的定义方程。为了根据我们用静态温度代替 的特定静态焓对热能方程进行平均，我们求助于方程式。(4.94)
$$
c_p \frac{D T}{D t}=\frac{k}{\varrho} \nabla^2 T+\frac{1}{\varrho} \frac{D p}{D t}+\frac{1}{\rho} \mathbf{T}: \mathbf{D}
$$
与摩擦应力张量 $\mathbf{T}$ 从等式。(4.36):
$$
\mathbf{T}=\lambda(\nabla \cdot \mathbf{V}) \mathbf{I}+2 \mu \mathbf{D}
$$
分解，在方程式。(9.65)、温度和压力 $T$ 和 $p$ 以及摩擦和变形张量 $\mathbf{T}$ 和 $\mathbf{D}$ 在忽略密度波动 的情况下，我们发现:
$$
c_p \frac{D\left(\bar{T}+T^{\prime}\right)}{D t}=\frac{k}{\varrho} \nabla^2\left(\bar{T}+T^{\prime}\right)+\frac{1}{\varrho} \frac{D\left(p+p^{\prime}\right)}{D t} \quad+\frac{1}{\varrho}\left(\overline{\mathbf{T}}+\mathbf{T}^{\prime}\right):\left(\overline{\mathbf{D}}+\mathbf{D}^{\prime}\right)
$$

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