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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras
Let $G$ be a group and $K$ a field. We define a vector space over $K$ which has basis the set ${g \mid g \in G}$, and we call this vector space $K G$. This space becomes a $K$-algebra if one defines the product on the basis by taking the group multiplication, and extends it to linear combinations. We call this algebra $K G$ the group algebra.
Thus an arbitrary element of $K G$ is a finite linear combination of the form $\sum_{g \in G} \alpha_g g$ with $\alpha_g \in K$. We can write down a formula for the product of two elements, following the recipe in Remark 1.4. Let $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_g g$ and $\beta=\sum_{h \in G} \beta_h h$ be two elements in $K G$; then their product has the form
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_g \beta_h\right) x .
$$
Since the multiplication in the group is associative, it follows that the multiplication in $K G$ is associative. Furthermore, one checks that the multiplication in $K G$ is distributive. The identity element of the group algebra $K G$ is given by the identity element of $G$.
Note that the group algebra $K G$ is finite-dimensional if and only if the group $G$ is finite, in which case the dimension of $K G$ is equal to the order of the group $G$. The group algebra $K G$ is commutative if and only if the group $G$ is abelian.
Example 1.10. Let $G$ be the cyclic group of order 3 , generated by $y$, so that $G=\left{1_G, y, y^2\right}$ and $y^3=1_G$. Then we have
$$
\left(a_0 1_G+a_1 y+a_2 y^2\right)\left(b_0 1_G+b_1 y+b_2 y^2\right)=c_0 1_G+c_1 y+c_2 y^2,
$$
with
$$
c_0=a_0 b_0+a_1 b_2+a_2 b_1, c_1=a_0 b_1+a_1 b_0+a_2 b_2, c_2=a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0
$$
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers
Path algebras of quivers are a class of algebras with an easy multiplication formula, and they are extremely useful for calculating examples. They also have connections to other parts of mathematics. The underlying basis of a path algebra is the set of paths in a finite directed graph. It is customary in representation theory to call such a graph a quiver. We assume throughout that a quiver has finitely many vertices and finitely many arrows.
Definition 1.11. A quiver $Q$ is a finite directed graph. We sometimes write $Q=\left(Q_0, Q_1\right)$, where $Q_0$ is the set of vertices and $Q_1$ is the set of arrows.
We assume that $Q_0$ and $Q_1$ are finite sets. For any arrow $\alpha \in Q_1$ we denote by $s(\alpha) \in Q_0$ its starting point and by $t(\alpha) \in Q_0$ its end point.
A non-trivial path in $Q$ is a sequence $p=\alpha_r \ldots \alpha_2 \alpha_1$ of arrows $\alpha_i \in Q_1$ such that $t\left(\alpha_i\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ for all $i=1, \ldots, r-1$. Note that our convention is to read paths from right to left. The number $r$ of arrows is called the length of $p$, and we denote by $s(p)=s\left(\alpha_1\right)$ the starting point, and by $t(p)=t\left(\alpha_r\right)$ the end point of $p$.
For each vertex $i \in Q_0$ we also need to have a trivial path of length 0 , which we call $e_i$, and we $\operatorname{set} s\left(e_i\right)=i=t\left(e_i\right)$.
We call a path $p$ in $Q$ an oriented cycle if $p$ has positive length and $s(p)=t(p)$.
Definition 1.12. Let $K$ be a field and $Q$ a quiver. The path algebra $K Q$ of the quiver $Q$ over the field $K$ has underlying vector space with basis given by all paths in $Q$.
The multiplication in $K Q$ is defined on the basis by concatenation of paths (if possible), and extended linearly to linear combinations. More precisely, for two paths $p=\alpha_r \ldots \alpha_1$ and $q=\beta_s \ldots \beta_1$ in $Q$ we set
$$
p \cdot q=\left{\begin{array}{cl}
\alpha_r \ldots \alpha_1 \beta_s \ldots \beta_1 & \text { if } t\left(\beta_s\right)=s\left(\alpha_1\right) \
0 & \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras
让 $G$ 成为一个团体并且 $K$ 一个领域。我们定义一个向量空间 $K$ 以集合为基础 $g \mid g \in G$ ， 我们称这个向量空间 $K G$. 这个空间变成了 $K$-代数，如果一个人通过群乘来定义基础上 的产品，并将其扩展到线性组合。我们称这个代数 $K G$ 群代数。 因此，任意元素 $K G$ 是形式的有限线性组合 $\sum_{g \in G} \alpha_g g$ 和 $\alpha_g \in K$. 我们可以按照备注 1.4 中的方法写下两个元素乘积的公式。让 $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_g g$ 和 $\beta=\sum_{h \in G} \beta_h h$ 是两个元 素 $K G ;$ 那么他们的产品有形式
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_g \beta_h\right) x .
$$
由于群中的乘去是结合的，因此群中的乘去 $K G$ 是关联的。此外，检查乘法在 $K G$ 是分 布式的。群代数的恒等元 $K G$ 由身份元素给出 $G$.
注意群代数 $K G$ 是有限维的当且仅当群 $G$ 是有限的，在这种情况下 $K G$ 等于组的顺序 $G$. 群代数 $K G$ 是可交换的当且仅当群 $G$ 是阿贝尔的。
示例 1.10。让 $G$ 是 3 阶循环群，由 $y$ ，以佰 $\mathrm{G}=\backslash$ left{1_G, $\left.y^{\prime} y^{\wedge} 2 \backslash r i g h t\right}$ 和 $y^3=1_G$. 然后我 们有
$$
\left(a_0 1_G+a_1 y+a_2 y^2\right)\left(b_0 1_G+b_1 y+b_2 y^2\right)=c_0 1_G+c_1 y+c_2 y^2
$$
和
$$
c_0=a_0 b_0+a_1 b_2+a_2 b_1, c_1=a_0 b_1+a_1 b_0+a_2 b_2, c_2=a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0
$$
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers
箭袋的路径代数是一类具有简单乘法公式的代数，它们对于计算示例非常有用。它们也 与数学的其他部分有联系。路径代数的基础是有限有向图中的路径集。在表示论中习惯 将这样的图称为箭袋。我们自始至终都假设箭袋有有限多个顶点和有限多个箭头。
定义 1.11。一个箭袋 $Q$ 是有限有向图。我们有时写 $Q=\left(Q_0, Q_1\right)$ ， 在哪里 $Q_0$ 是顶点 集，并且 $Q_1$ 是一组箭头。
我们假设 $Q_0$ 和 $Q_1$ 是有限集。对于任何箭头 $\alpha \in Q_1$ 我们表示 $s(\alpha) \in Q_0$ 它的起点和 $t(\alpha) \in Q_0$ 它的终点。
一条不平凡的路径 $Q$ 是一个序列 $p=\alpha_r \ldots \alpha_2 \alpha_1$ 箭头 $\alpha_i \in Q_1$ 这样 $t\left(\alpha_i\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ 对全部 $i=1, \ldots, r-1$. 请注意，我们的惯例是从右到左阅读路径。号码 $r$ 箭头的长度 称为 $p$ ，我们用 $s(p)=s\left(\alpha_1\right)$ 起点，并通过 $t(p)=t\left(\alpha_r\right)$ 的终点 $p$.
对于每个顶点 $i \in Q_0$ 我们还需要有一条长度为 0 的平凡路径，我们称之为 $e_i$ ，和我们 set $s\left(e_i\right)=i=t\left(e_i\right)$.
我们称路径 $p$ 在 $Q$ 一个有向循环如果 $p$ 有正长度和 $s(p)=t(p)$.
定义 1.12。让 $K$ 是一个领域和 $Q$ 一个箭袋。路径代数 $K Q$ 箭袋的 $Q$ 在球场上 $K$ 具有基础 向量空间，其基础由中的所有路径给出 $Q$.
中的乘法 $K Q$ 在路径串联的基础上定义 (如果可能)，并线性扩展为线性组合。更准确 地说，对于两条路径 $p=\alpha_r \ldots \alpha_1$ 和 $q=\beta_s \ldots \beta_1$ 在 $Q$ 我们设置 $\$ \$$
$p \backslash c d o t q=\backslash$ left {
$$
\alpha_r \ldots \alpha_1 \beta_s \ldots \beta_1 \quad \text { if } t\left(\beta_s\right)=s\left(\alpha_1\right) 0 \quad \text { otherwise }
$$
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