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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Examples of Unconstrained Problems
Unconstrained optimization problems occur in a variety of contexts, but most frequently when the problem formulation is simple. More complex formulations often involve explicit functional constraints. However, many problems with constraints are frequently converted to unconstrained problems, such as using the barrier functions, e.g., the analytic center problem for (dual) linear programs. We present a few more examples here that should begin to indicate the wide scope to which the theory applies.
Example 1 (Logistic Regression) Recall the classification problem where we have vectors $\mathbf{a}i \in E^d$ for $i=1,2, \ldots, n_1$ in a class, and vectors $\mathbf{b}_j \in E^d$ for $j=$ $1,2, \ldots, n_2$ not. Then we wish to find $\mathbf{y} \in E^d$ and a number $\beta$ such that $$ \frac{\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)} $$ is close to 1 for all $i$, and $$ \frac{\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)} $$ is close to 0 for all $j$. The problem can be cast as a unconstrained optimization problem, called the max-likelihood, $$ \operatorname{maximize}{\mathbf{y}, \beta}\left(\prod_i \frac{\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}\right)\left(\prod_j\left(1-\frac{\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}\right)\right),
$$ which can be also equivalently, using a logarithmic transformation, written as
$$
\operatorname{minimize}_{\mathbf{y},} \beta \sum_i \log \left(1+\exp \left(-\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}-\beta\right)\right)+\sum_j \log \left(1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)\right) .
$$
The optimal solution to logistic regression may be infinite (not attainable), so that one typically adds a weighted regularization term, e.g., $\mu|\mathbf{y}|^2$, to the objective for a fixed parameter $\mu \geq 0$.
Example 2 (Utility Maximization) A common problem in economic theory is the determination of the best way to combine various inputs in order to maximize a utility function $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ (in the monetary unit) of the amounts $x_j$ of the inputs, $i=1,2, \ldots, n$. The unit prices of the inputs are $p_1, p_2, \ldots, p_n$. The producer wishing to maximize profit must solve the problem
$$
\text { maximize } f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-p_1 x_1-p_2 x_2 \ldots-p_n x_n
$$
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Second-Order Conditions
The proof of Proposition 1 in Sect. 7.1 is based on making a first-order approximation to the function $f$ in the neighborhood of the relative minimum point. Additional conditions can be obtained by considering higher-order approximations. The second-order conditions, which are defined in terms of the Hessian matrix $\nabla^2 f$ of second partial derivatives of $f$ (see Appendix A), are of extreme theoretical importance and dominate much of the analysis presented in later chapters.
Proof The first condition is just Proposition 1, and the second applies only if $\nabla f\left(\mathbf{x}^\right) \mathbf{d}=0$. In this case, introducing $\mathbf{x}(\alpha)=\mathbf{x}^+\alpha \mathbf{d}$ and $g(\alpha)=f(\mathbf{x}(\alpha))$ as before, we have, in view of $g^{\prime}(0)=0$,
$$
g(\alpha)-g(0)=\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(0) \alpha^2+o\left(\alpha^2\right)
$$
If $g^{\prime \prime}(0)<0$ the right side of the above equation is negative for sufficiently small $\alpha$ which contradicts the relative minimum nature of $g(0)$. Thus
$$
g^{\prime \prime}(0)=\mathbf{d}^T \nabla^2 f\left(\mathbf{x}^\right) \mathbf{d} \geqslant 0 $$ Example 1 For the same problem as Example 2 of Sect. 7.1, we have for $\mathbf{d}=$ $\left(d_1, d_2\right)$ $$ \nabla f\left(\mathbf{x}^\right) \mathbf{d}=\frac{3}{2} d_2
$$
Thus condition (ii) of Proposition 1 applies only if $d_2=0$. In that case we have $\mathbf{d}^T \nabla^2 f\left(\mathbf{x}^*\right) \mathbf{d}=2 d_1^2 \geqslant 0$, so condition (ii) is satisfied.
Again of special interest is the case where the minimizing point is an interior point of $\Omega$, as, for example, in the case of completely unconstrained problems. We then obtain the following classical result.
线性规划代考
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Examples of Unconstrained Problems
无约束优化问题出现在各种情况下，但最常见的情况是问题公式很简单。更复杂的公式 通常涉及明确的功能约束。然而，许多有约束的问题经常被转换为无约束问题，例如使 用障碍函数，例如 (对偶) 线性规划的分析中心问题。我们在这里展示了更多的例子， 这些例子应该开始表明该理论适用的广泛范围。
示例 1 (逻辑回归) 回想一下我们有向量的分类问题 $\mathbf{a} i \in E^d$ 为了 $i=1,2, \ldots, n_1$ 在一 个类中，和向量 $\mathbf{b}j \in E^d$ 为了 $j=1,2, \ldots, n_2$ 不是。那么我们希望找到y $\mathbf{y} \in E^d$ 和一个 数字 $\beta$ 这样 $$ \frac{\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)} $$ 接近于 $1 i$ ，和 $$ \frac{\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)} $$ 对所有人都接近于 $0 j$. 该问题可以转化为无约束优化问题，称为最大似然， $$ \operatorname{maximize} \mathbf{y}, \beta\left(\prod_i \frac{\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}+\beta\right)}\right)\left(\prod_j\left(1-\frac{\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}{1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)}\right)\right) $$ 也可以等效地，使用对数变换，写成 $$ \operatorname{minimize}{\mathbf{y},} \beta \sum_i \log \left(1+\exp \left(-\mathbf{a}_i^T \mathbf{y}-\beta\right)\right)+\sum_j \log \left(1+\exp \left(\mathbf{b}_j^T \mathbf{y}+\beta\right)\right)
$$
逻辑回归的最佳解决方案可能是无限的 (无法实现)，因此通常会添加一个加权正则化 项，例如， $\mu|\mathbf{y}|^2$ ，对于固定参数的目标 $\mu \geq 0$.
示例 2 (效用最大化) 经济理论中的一个常见问题是确定组合各种投入以最大化效用函 数的最佳方式 $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ (以货币单位) 金额 $x_j$ 输入的， $i=1,2, \ldots, n$. 输入 的单价是 $p_1, p_2, \ldots, p_n$. 希望利润最大化的生产者必须解决这个问题
$$
\text { maximize } f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-p_1 x_1-p_2 x_2 \ldots-p_n x_n
$$
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Second-Order Conditions
命题 1 的证明。 7.1 基于对函数进行一阶逼近 $f$ 在相对最小点附近。可以通过考虑高阶近 似来获得附加条件。二阶条件，根据 Hessian 矩阵定义 $\nabla^2 f$ 的二阶偏导数 $f$ (见附录 A)，具有极端的理论重要性，并主导了后面章节中介绍的大部分分析。
证明 第一个条件就是命题 1，第二个条件只有当 $g(\alpha)=f(\mathbf{x}(\alpha))$ 和以前一样，我们有鉴于 $g^{\prime}(0)=0$ ，
$$
g(\alpha)-g(0)=\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(0) \alpha^2+o\left(\alpha^2\right)
$$
如果 $g^{\prime \prime}(0)<0$ 上式的右边对于足够小的是负的 $\alpha$ 这与相对最小值的性质相矛盾 $g(0)$. 因 此
$g^{\wedge}{\backslash p r i m e \backslash p r i m e}(0)=\backslash$ mathbf ${d}^{\wedge} T \backslash$ nabla^ 2 f $\backslash$ left $\backslash$ mathbf ${x}^{\wedge} \backslash$ right $) \backslash$ mathbf ${d} \backslash g e q s l a n t$
示例 1 对于与 Sect. 示例 2 相同的问题。 7.1 ，我们有 $\mathbf{d}=\left(d_1, d_2\right)$
$$
\left.\backslash \text { nabla f } \backslash \text { left } \backslash \text { mathbf }{x}^{\wedge} \backslash \text { right }\right) \backslash \text { mathbf }{d}=\backslash \text { frac }{3}{2} \text { d_2 }
$$
因此，命题 1 的条件 (ii) 仅适用于 $d_2=0$. 在那种情况下，我们有 $\mathbf{d}^T \nabla^2 f\left(\mathbf{x}^*\right) \mathbf{d}=2 d_1^2 \geqslant 0$ ，所以条件 (ii) 是满足的。
再次特别感兴趣的是最小化点是的内点的情况 $\Omega$ ，例如，在完全不受约束的问题的情况 下。然后我们得到以下经典结果。
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