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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Rooted Trees
When we look at the graph theory terminology used for trees, mathematicians have adopted many of the same terms that we use for biological trees (such as leaf and forest). So what then would we mean by a root of a tree? We can think of the root as the place from which a tree grows.
Definition 3.15 A rooted tree is a tree $T$ with a special designated vertex $r$, called the root. The level of any vertex in $T$ is defined as the length of its shortest path to $r$. The height of a rooted tree is the largest level for any vertex in $T$.
Example 3.6 Find the level of each vertex and the height of the rooted tree shown below.
Solution: Vertices $a$ and $b$ are of level $1, c, d, e$, and $f$ of level 2 , and $g$ and $h$ of level 3 . The root $r$ has level 0 . The height of the tree is 3 .
Most people have encountered a specific type of rooted tree: a family tree. In fact, much of the terminology for rooted trees comes not from a plant version of a tree but rather from genealogy and family trees. The root of a family tree would be the person for whom the descendants are being mapped and the level of a vertex would represent a generation; see the tree below. With this application in mind, the terminology below is used to describe how various vertices are related within a rooted tree.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Depth-First Search Tree
The main idea behind a depth-first tree is to travel along a path as far as possible from the root of a given graph. If this path does not encompass the entire graph, then branches are built off this central path to create a tree. The formal description of this algorithm relies on an ordered listing of the neighbors of each vertex and uses this order when adding new vertices to the tree. For simplicity, we will always use an alphabetical order when considering neighbor lists.
Depth-First Search Tree
Input: Simple graph $G=(V, E)$ and a designated root vertex $r$.
Steps:
- Choose the first neighbor $x$ of $r$ in $G$ and add it to $T=\left(V, E^{\prime}\right)$.
- Choose the first neighbor of $x$ and add it to $T$. Continue in this fashion-picking the first neighbor of the previous vertex to create a path $P$. If $P$ contains all the vertices of $G$, then $P$ is the depth-first search tree. Otherwise continue to Step (3).
- Backtrack along $P$ until the first vertex is found that has neighbors $\operatorname{not}$ in $T$. Use this as the root and return to Step (1).
Output: Depth-first search tree $T$.
In creating a depth-first search tree, we begin by building a central spine from which all branches originate. These branches are as far down on this path as possible. In doing so, the resulting rooted tree is often of large height and is more likely to have more vertices at the lower levels.
图论代考
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Rooted Trees
当我们查看用于树的图论术语时，数学家采用了许多与我们用于生物树 (如叶和森林) 相同的术语。那么我们所说的树根是什么意思呢? 我们可以把根相象成一棵树生长的地 方。
定义 3.15 有根树是一棵树 $T$ 有一个特殊指定的顶点 $r$ ，称为根。中任意顶点的水平 $T$ 被 定义为其最短路径的长度 $r$. 有根树的高度是其中任何顶点的最大级别 $T$.
Example 3.6 找到每个顶点的层数和下图所示的有根树的高度。
解决方案: 顶点 $a$ 和 $b$ 是水平的 $1, c, d, e$ ，和 $f$ 级别 2 和 $g$ 和 $h 3$ 级。根 $r$ 级别为 0 。树的高 度是 3 。
大多数人都遇到过一种特定类型的有根树：家谱。事实上，有根树的许多术语并非来自 树的植物版本，而是来自家谱和家谱。家谱树的根是为其绘制后代的人，顶点的级别代 表一代；看下面的树。考虑到此应用程序，下面的术语用于描述各种顶点如何在有根树 中相关。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Depth-First Search Tree
深度优先树背后的主要思想是沿着一条路径从给定图的根尽可能远地移动。如果此路径 不包含整个图形，则分支将建立在这条中央路径之外以创建树。该算法的正式描述依赖 于每个顶点的邻居的有序列表，并在向树中添加新顶点时使用此顺序。为简单起见，在 考虑邻居列表时，我们将始终使用字母顺序。 深度优先搜索树
输入：简单图 $G=(V, E)$ 和指定的根顶点 $r$. 脚步:
- 选择第一个邻居 $x$ 的 $r$ 在 $G$ 并将其添加到 $T=\left(V, E^{\prime}\right)$.
- 选择的第一个邻居 $x$ 并将其添加到 $T$. 继续这种方式一选择前一个顶点的第一个邻居 来创建路径 $P$. 如果 $P$ 包含的所有顶点 $G$ ，然后 $P$ 是深度优先搜索树。否则继续步骤 (3) 。
- 原路返回 $P$ 直到找到第一个有邻居的顶点not在 $T$. 以此为根，返回步骤 (1)。
输出：深度优先搜索树 $T$.
在创建深度优先搜索树时，我们首先构建一个中心脊柱，所有分支都起源于该中心脊 柱。这些分支在这条路径上尽可能远。这样做时，生成的有根树通常高度很高，并且 更可能在较低级别具有更多顶点。
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