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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Markov Switching Models
The Markov switching model is widely used in econometrics and other disciplines. It involves multiple structures that characterize the time series variable behaviors in different regimes and permits switching between these structures. The Markov switching model provides such a kind of switching mechanism so that it is controlled by an unobservable state variable which follows a first-order Markov chain. It is sometimes also referred to as the (Markov) regime switching model. FrühwirthSchnatter (2006) gives a detailed Bayesian analysis of this model. Kim and Nelson (1999) elaborate on a class of state space models with Markov switching. For a time series $X_t$, a general Markov switching model is of the form
$$
\begin{aligned}
X_t= & \mu_{S_t}+\mathbf{Y}t \boldsymbol{\beta}{S_t}+\varphi_{1, S_t}\left(X_{t-1}-\mu_{S_{t-1}}-\mathbf{Y}{t-1} \boldsymbol{\beta}{S_{t-1}}\right)+\cdots \
& +\varphi_{p, S_t}\left(X_{t-p}-\mu_{S_{t-p}}-\mathbf{Y}{t-p} \boldsymbol{\beta}{S_{t-p}}\right)+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}\left(0, \sigma_{S_t}^2\right)
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{Y}t=\left(Y{t 1}, Y_{t 2}, \cdots, Y_{t k}\right)$ are the input variables (exogenous regressors), $\boldsymbol{\beta}{S_t}$ are the corresponding regression coefficient vectors, and $S_t$ is a Markov chain for regimes. Here a regime is viewed as a state that the Markov chain may take. Assume that all the possible values of state variable $S_t$ are $S={1: K}$. Then $S_t$ satisfies the Markov property $$ P\left(S_t=j \mid S{t-1}=i, S_{t-2}=s_{t-2}, \cdots, S_1=s_1\right)=P\left(S_t=j \mid S_{t-1}=i\right)=p_{i j}
$$
where $j, i, s_{t-2}, \cdots, s_1 \in S$ and $p_{i j}$ is called the one-step transition probability from state $i$ to state $j$. And the state transition is governed by the (state) transition (probability) matrix $\mathbf{P}=\left[p_{i j}\right]$. Besides, the error $\varepsilon_t$ is also written as $\varepsilon_t=\sigma_{S_t} \eta_t$ where $\eta_t \sim \mathrm{WN}(0,1)$. And it is often assumed that the error $\varepsilon_t$ is normally distributed, namely, $\varepsilon_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_{S_t}^2\right)$.
If there are no exogenous regressors in Eq. (8.17), it is reduced to
$$
X_t=\mu_{S_t}+\varphi_{1, S_t}\left(X_{t-1}-\mu_{S_{t-1}}\right)+\cdots+\varphi_{p, S_t}\left(X_{t-p}-\mu_{S_{l-p}}\right)+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}\left(0, \sigma_{S_t}^2\right)
$$
and called the Markov switching autoregressive model.
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Deterministic Trend and Stochastic Trend
What is a stochastic trend in a time series? Let us have a look at the following example before answering that question.
Example 9.1 (A Time Series with Trend Components) Consider the time series $X_t=\alpha+\beta t+\eta_t$ where $\beta \neq 0$ and $\eta_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,1)$ is a random walk. Its time series plot is shown in Fig. 9.1 when $\alpha=0.3$ and $\beta=0.2$. Clearly there is a deterministic trend in the time series, and thus it is nonstationary. At the same time, the series has no seasonality. Furthermore, if we detrend the deterministic trend from the time series, we arrive at the series $\eta_t$ that is a random walk and also nonstationary, seeing Fig. 9.2. In other words, there are two components in the time series, which of both make it nonstationary. One component is well known to us, that is, the deterministic trend. Another is new and will be defined below. In addition, if we difference the deterministic-trend-removed time series $\eta_t$, then the differenced series is the white noise $\nabla \eta_t=\varepsilon_t$ and so stationary, seeing Figs. 9.3 and 9.4.
Definition 9.1 (1) If a time series is still nonstationary after its deterministic components are removed from it, then it is said to have a stochastic (random) trend as long as the ordinarily differenced series of the deterministic-componentremoved series is stationary. (2) If a nonstationary time series has no deterministic components, then it is said to possess a stochastic (random) trend as long as its ordinarily differenced series is stationary.
Remarks on Definition 9.1:
- A time series with a stochastic trend should satisfy two conditions: (1) it is nonstationary, and if it has deterministic components (deterministic trend and/or seasonality), then the deterministic-component-removed series is still nonstationary, and (2) the ordinarily differenced series is stationary, which also guarantees that the stochastic component is the stochastic trend, not stochastic seasonality.
- The time series $X_t=\alpha+\beta t+\eta_t$ in Example 9.1 belongs to the case (1) of Definition 9.1, and note that it has both a deterministic trend and a stochastic trend. If we consider the random walk $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$, it obviously belongs to the case (2) of Definition 9.1.
- It is sometimes not easy to distinguish between a stochastic trend and a deterministic trend in a time series. The background of data often helps distinguish them. For example, logarithm price series of financial products tend to possess a stochastic trend, while macroeconomic yearly or seasonally adjusted time series usually have a deterministic trend (and may sometimes also have a stochastic trend). Two real examples are given in Example 9.2 and Problem 9.13.
时间序列分析代考
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Markov Switching Models
马尔可夫转换模型广泛应用于计量经济学和其他学科。它涉及多个结构，这些结构表征 了不同制度下的时间序列变量行为，并允许在这些结构之间进行切换。马尔可夫切换模 型提供了这样一种切换机制，它由一个不可观察的状态变量控制，该状态变量遵循一阶 马尔可夫链。它有时也被称为（马尔可夫）制度转换模型。FrühwirthSchnatter (2006) 对该模型进行了详细的贝叶斯分析。Kim 和 Nelson (1999) 详细阐述了一类具有马尔可 夫切换的状态空间模型。对于一个时间序列 $X_t$ ，一般马尔可夫切换模型的形式是
$$
X_t=\mu_{S_t}+\mathbf{Y} t \boldsymbol{\beta} S_t+\varphi_{1, S_t}\left(X_{t-1}-\mu_{S_{t-1}}-\mathbf{Y} t-1 \boldsymbol{\beta} S_{t-1}\right)+\cdots \quad+\varphi_{p, S_t}\left(X_{t-p}-\right.
$$
在哪里 $\mathbf{Y} t=\left(Y t 1, Y_{t 2}, \cdots, Y_{t k}\right)$ 是输入变量 (外生回归变量)， $\boldsymbol{\beta} S_t$ 是相应的回归系 数向量，并且 $S_t$ 是制度的马尔可夫链。在伩里，政权被视为马尔可夫链可能采取的状 态。假设状态变量的所有可能值 $S_t$ 是 $S=1: K$. 然后 $S_t$ 满足马尔可夫性质
$$
P\left(S_t=j \mid S t-1=i, S_{t-2}=s_{t-2}, \cdots, S_1=s_1\right)=P\left(S_t=j \mid S_{t-1}=i\right)=p_{i j}
$$
在哪里 $j, i, s_{t-2}, \cdots, s_1 \in S$ 和 $p_{i j}$ 称为状态的一步转移概率 $i$ 陈述 $j$. 状态转移由（状 态) 转移 (概率) 矩阵控制 $\mathbf{P}=\left[p_{i j}\right]$. 此外，错误 $\varepsilon_t$ 也写成 $\varepsilon_t=\sigma_{S_t} \eta_t$ 在哪里 $\eta_t \sim \operatorname{WN}(0,1)$. 并且通常认为错误 $\varepsilon_t$ 是正态分布的，即 $\varepsilon_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_{S_t}^2\right)$. 如果方程式中没有外生回归变量。(8.17)，它简化为
$$
X_t=\mu_{S_t}+\varphi_{1, S_t}\left(X_{t-1}-\mu_{S_{t-1}}\right)+\cdots+\varphi_{p, S_t}\left(X_{t-p}-\mu_{S_{l-p}}\right)+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}\left(0, \sigma_{S_t}^2\right)
$$
并称为马尔可夫切换自回归模型。
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Deterministic Trend and Stochastic Trend
什么是时间序列中的随机趋势? 在回答这个问题之前，让我们先看看下面的例子。
示例 9.1 (具有趋势成分的时间序列) 考虑时间序列 $X_t=\alpha+\beta t+\eta_t$ 在哪里 $\beta \neq 0$ 和 $\eta_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,1)$ 是随机游走。其时间序列图如图 9.1 所小。 $\alpha=0.3$ 和 $\beta=0.2$. 显然，时间序列中存在确定性趋势，因此它是非平稳的。同时，该系列没有枼 节性。此外，如果我们从时间序列中去除确定性趋势，我们就得到了序列 $\eta_t$ 这是一个随 机游走，也是非平稳的，见图 9.2。换句话说，时间序列中有两个组成部分，这两个组 成部分都使其不稳定。一个组成部分是我们所熟知的，即确定性趋势。另一个是新的， 将在下面定义。此外，如果我们区分确定性趋势去除时间序列 $\eta_t$ ，那么差分级数就是白 橾声 $\nabla \eta_t=\varepsilon_t$ 如此静止，见图。9.3 和 9.4。
定义 9.1 (1) 如果一个时间序列在去除其确定性成分后仍然是非平稳的，那么只要确定性 成分去除序列的常差序列是平稳的，就称它具有随机 (随机) 趋势。(2) 如果一个非平 稳时间序列没有确定性成分，那么只要其通常差分序列是平稳的，就可以说它具有随机 (随机) 趋势。
关于定义 9.1 的注释:
- 具有随机趋势的时间序列应满足两个条件: (1) 它是非平稳的，如果它具有确定性 成分（确定性趋势和/或季节性)，则去除确定性成分的序列仍然是非平稳的，以及
（2）常差序列是平稳的，这也保证了随机成分是随机趋势，而不是随机季节性。 - 时间序列 $X_t=\alpha+\beta t+\eta_t$ 例9.1中的属于定义9.1的情呪（1），注意它既有确定性 趋势又有随机性趋势。如果我们考虑随机游走 $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$ ，显然属于定义9.1的 情况 (2)。
- 有时不容易区分时间序列中的随机趋势和确定性趋势。数据背景通常有助于区分它 们。例如，金融产品的对数价格序列往往具有随机趋势，而宏观经济年度或季节性 调整时间序列通常具有确定性趋势 (有时也可能具有随机趋势) 。例 9.2 和习题 9.13 给出了两个真实的例子。
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