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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Local-Level Model
In this subsection, we consider a famous state space model, namely, the local-level model or random walk plus noise model. It takes the form
$$
\begin{aligned}
Y_t & =\mu_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right), \
\mu_{t+1} & =\mu_t+\eta_t, \eta_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_\eta^2\right)
\end{aligned}
$$
where $\left{\varepsilon_t\right}$ and $\left{\eta_t\right}$ are mutually uncorrelated and are independent of $\mu_1 \sim$ $\mathrm{N}\left(a_1, p_1\right)$. In some literature, $\mu_t$ is known as the trend of the series $Y_t$. Clearly, $Y_t$ is stationary and has no trend if $\sigma_\eta=0$ and $\mu_t$ is actually a stochastic trend of the series $Y_t$ (also a random walk) if $\sigma_\eta \neq 0$. Moreover, $Y_t=\mu_t$ if $\sigma_{\varepsilon}=0$. When $\sigma_{\varepsilon} \neq 0$, we first-difference the series $Y_t$ and arrive at
$$
(1-B) Y_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}
$$
Let $\xi_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}$. Obviously, $\xi_t$ is stationary and $\xi_t \sim \mathrm{N}\left(0,2 \sigma_{\varepsilon}^2+\sigma_\eta^2\right)$. Furthermore, the autocorrelations of $\xi_t$
$$
\rho_k= \begin{cases}-\sigma_{\varepsilon}^2 /\left(2 \sigma_{\varepsilon}^2+\sigma_\eta^2\right) \neq 0 & \text { if } k=1 \ 0 & \text { if } k>1\end{cases}
$$
This illustrates that $\xi_t$ follows an MA(1) model (see Table 3.1), and therefore the local-level model (8.14)-(8.15) has an $\operatorname{ARIMA}(0,1,1)$ representation
$$
(1-B) Y_t=(1+\theta B) \omega_t
$$
where $\omega_t$ is a white noise series. This representation can be viewed as a special case of the ARIMAX model. And this is also an example to translating a state space model into an equivalent ARIMAX model.
Let $\sigma_{\varepsilon}=2$ and $\sigma_\eta=1$. Then it turns out that $\rho_1=-2^2 /\left(2 \times 2^2+1\right)=-4 / 9$. At this point, we can simulate a sample of size 300 from the local-level model with $\sigma_{\varepsilon}=2$ and $\sigma_\eta=1$. Its time series plot is shown in Fig. 8.1, which displays nonstationarity of the series.
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|SARIMAX Models
If we consider outer factors’ impact on a time series, then we need to import exogenous regressors, namely, input variables. SARIMAX models are such a kind of models as to describe functionality of input variables. They have a few forms and we here introduce an often used form as follows:
$$
\left{\begin{array}{l}
X_t=\beta_t \mathbf{Y}t+Z_t, \ \varphi(B) \Phi\left(B^s\right)(1-B)^d\left(1-B^s\right)^D Z_t=\theta(B) \Theta\left(B^s\right) \varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \operatorname{WN}\left(0, \sigma\epsilon^2\right)
\end{array}\right.
$$
where $X_t$ is a univariate time series considered, $\mathbf{Y}t=\left(Y{t 1}, Y_{t 2}, \cdots, Y_{t k}\right)^{\prime}$ is the input variables (exogenous regressors), $\boldsymbol{\beta}t=\left(\beta{t 1}, \beta_{t 2}, \cdots, \beta_{t k}\right)$ is the coefficients corresponding to $Y_t$, and $Z_t$ is the regressing error. And Eq. (8.16b) is a $\operatorname{SARIMA}(p, d, q)(P, D, Q)_s$ model presented in Chap. 5. Thus Eqs. (8.16a)(8.16b) are a regression with SARIMA errors. Note that in many cases, $\boldsymbol{\beta}_t=\boldsymbol{\beta}$ is time-invariant. Now let us look at an example to implementing SARIMAX modeling with Python. The Python function used here is SARIMAX() in the following module statsmodels.tsa.statespace.sarimax.Example 8.4 (SARIMAX Model Building) The dataset “USEconomicChange.csv” in the folder Ptsadata is a time series that consists of changes (viz., growth rates) of the five US macroeconomic variables from the first quarter of 1970 to the third quarter of 2016. The five variables are consumption (cons), income (inc), production (prod), savings (sav), and unemployment (unem). First of all, we observe the correlation plots of the five variables shown in Fig. 8.4. It turns out that the five variables should be stationary as a five-dimensional vector series. In the light of economic common sense, we select the consumption variable cons as the endogenous (dependent) variable and all the others, namely, inc, prod, sav, and unem as the exogenous regressors. In the function SARIMAX(), let the parameters endog $=$ cons and exog $={$ inc, prod,sav, unem $}$, and by trial and error, we choose order $=(1,0,1)$ for the $\operatorname{ARIMA}(p, d, q)$ model. At the same time, all the other parameters are by default. Thus the ARMA model will be written as a state space Harvey representation. For more details on the Harvey representation, see Durbin and Koopman (2012) and Harvey (1989), among others. The estimated SARIMAX model is shown in the SARIMAX Results table in the following Python code. We see that the estimated coefficients of inc and prod are positive and the estimated coefficients of sav and unem negative. This is economically desirable. Furthermore, the ACF plot and $p$-value plot for Ljung-Box test of the residuals of the estimated SARIMAX model are, respectively, shown in Figs. 8.5 and 8.6.
时间序列分析代考
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Local-Level Model
在本小节中，我们考虑一个著名的状态空间模型，即局部级模型或随机游走加噪声模 型。它采取的形式
$$
Y_t=\mu_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right), \mu_{t+1} \quad=\mu_t+\eta_t, \eta_t \sim \operatorname{iidN}\left(0, \sigma_\eta^2\right)
$$
一些文献中， $\mu_t$ 号称潮流系列 $Y_t$. 清楚地， $Y_t$ 是静止的并且没有趋势如果 $\sigma_\eta=0$ 和 $\mu_t$ 实 际上是该系列的随机趋势 $Y_t$ (也是随机游走) 如果 $\sigma_\eta \neq 0$. 而且， $Y_t=\mu_t$ 如果 $\sigma_{\varepsilon}=0$. 什么时候 $\sigma_{\varepsilon} \neq 0$, 我们对系列进行一阶差分 $Y_t$ 并到达
$$
(1-B) Y_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}
$$
让 $\xi_t=\eta_{t-1}+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}$. 明显地， $\xi_t$ 是静止的并且 $\xi_t \sim \mathrm{N}\left(0,2 \sigma_{\varepsilon}^2+\sigma_\eta^2\right)$. 此外，自 相关 $\xi_t$
$$
\rho_k=\left{-\sigma_{\varepsilon}^2 /\left(2 \sigma_{\varepsilon}^2+\sigma_\eta^2\right) \neq 0 \quad \text { if } k=10 \quad \text { if } k>1\right.
$$
这说明 $\xi_t$ 遵循 MA(1) 模型（见表 3.1），因此局部模型 (8.14)-(8.15) 有一个 $\operatorname{ARIMA}(0,1,1)$ 表示
$$
(1-B) Y_t=(1+\theta B) \omega_t
$$
在哪里 $\omega_t$ 是一个白噪声系列。这种表示可以看作是 ARIMAX 模型的一个特例。这也是 将状态空间模型转换为等效 ARIMAX 模型的示例。
让 $\sigma_{\varepsilon}=2$ 和 $\sigma_\eta=1$. 然后事实证明 $\rho_1=-2^2 /\left(2 \times 2^2+1\right)=-4 / 9$. 在这一点上， 我们可以从局部模型中模拟一个大小为 300 的样本 $\sigma_{\varepsilon}=2$ 和 $\sigma_\eta=1$. 其时间序列图如 图 8.1 所示，显示了序列的非平稳性。
统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|SARIMAX Models
如果考虑外部因素对时间序列的影响，则需要引入外生回归变量，即输入变量。
SARIMAX 模型是描述输入变量功能的一类模型。它们有几种形式，我们在伩里介绍一 种常用的形栻如下:
$\$ \$$
Vleft{
$$
X_t=\beta_t \mathbf{Y} t+Z_t, \varphi(B) \Phi\left(B^s\right)(1-B)^d\left(1-B^s\right)^D Z_t=\theta(B) \Theta\left(B^s\right) \varepsilon_t, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}\left(0, \sigma \epsilon^2\right)
$$
正确的。
$\$ \$$
哪里 $X_t$ 是一个单变量时间序列， $\mathbf{Y} t=\left(Y t 1, Y_{t 2}, \cdots, Y_{t k}\right)^{\prime}$ 是输入变量 (外生回归变 量)， $\boldsymbol{\beta} t=\left(\beta t 1, \beta_{t 2}, \cdots, \beta_{t k}\right)$ 是对应于的系数 $Y_t$ ，和 $Z_t$ 是回归误差。和情商。
(8.16b) 是一个SARIMA $(p, d, q)(P, D, Q)_s$ 模型在第 1 章介绍。5. 因此等式。(8.16a)
(8.16b) 是具有 SARIMA 误差的回归。请注意，在许多情况下， $\boldsymbol{\beta}_t=\boldsymbol{\beta}$ 是时不变的。现
在让我们看一个用 Python 实现 SARIMAX 建模的例子。此处使用的 Python 函数是以下 模块中的 SARIMAX0 statsmodels.tsa.statespace.sarimax。示例 8.4 (SARIMAX 模型构 建) 文件夹 Ptsadata 中的数据集“USEconomicChange.csv”是一个时间序列，包含变化 (即。，growth rates)的五个美国宏观经济变量从1970年第一季度到2016年第三季度。 这五个变量分别是消费(cons)、收入(inc)、生产(prod)、储蓄(sav)和失业率(联合国)。 首先，我们观察图 8.4 所示的五个变量的相关图。事实证明，这五个变量作为一个五维 向量序列应该是平稳的。按照经济常识，我们选择消费变量 cons 作为内生 (因) 变 量，所有其他变量，即 inc、prod、sav 和 unem 作为外生回归变量。在函数 SARIMAX0 中，让参数 endog=利弊和外部= \$inc, prod, sav, unem\$，通过反复试 验，我们选择顺序 $=(1,0,1)$ 为了 $\operatorname{ARIMA}(p, d, q)$ 模型。同时，其他参数全部默认。 因此，ARMA 模型将被写成状态空间 Harvey 表示。有关 Harvey 表示的更多详细信息， 请参阅 Durbin 和 Koopman (2012) 以及 Harvey (1989) 等。估计的 SARIMAX 模型显示 在以下 Python 代码的 SARIMAX 结果表中。我们看到 inc 和 prod 的估计系数是正的， 而 sav 和 unem 的估计系数是负的。这在经济上是合乎需要的。此外，ACF 图和 $p$ 估计 的 SARIMAX 模型残差的 Ljung-Box 检验值图分别如图 1 和 2 所示。8.5 和 8.6。
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