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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Nonlinear Principal Component Analysis
As discussed before, the main idea behind NLPCA is that we may be able to find an embedding of the data into a high-dimensional space such that the structure of the embedded data becomes (approximately) linear. To see why this may be possible, consider a set of points $\left(x_1, x_2\right) \in \mathbb{R}^2$ lying in a conic of the form
$$
c_1 x_1^2+c_2 x_1 x_2+c_3 x_2^2+c_4=0 .
$$
Notice that if we define the map $\phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ as
$$
\left(z_1, z_2, z_3\right)=\phi\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1^2, \sqrt{2} x_1 x_2, x_2^2\right),
$$
then the conic in $\mathbb{R}^2$ transforms into the following affine subspace in $\mathbb{R}^3$ :
$$
c_1 z_1+\frac{c_2}{\sqrt{2}} z_2+c_3 z_3+c_4=0 .
$$
Therefore, instead of learning a nonlinear manifold in $\mathbb{R}^2$, we can simply learn an affine manifold in $\mathbb{R}^3$. This example is illustrated in Figure 4.4.
More generally, we seek a nonlinear transformation (usually an embedding)
$$
\begin{aligned}
\phi(\cdot): \mathbb{R}^D & \rightarrow \mathbb{R}^M, \
\boldsymbol{x} & \mapsto \phi(\boldsymbol{x}),
\end{aligned}
$$
such that the structure of the embedded data $\left{\phi\left(\boldsymbol{x}j\right)\right}{j=1}^N$ becomes approximately linear. In machine learning, $\phi(x) \in \mathbb{R}^M$ is called the feature of the data point $x \in \mathbb{R}^D$, and the space $\mathbb{R}^M$ is called the feature space.
Let $\bar{\phi}=\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \phi\left(x_j\right)$ be the sample mean in the feature space and define the mean-subtracted (centered) embedded data matrix as
$$
\Phi \doteq\left[\phi\left(x_1\right)-\overline{\boldsymbol{\phi}}, \phi\left(x_2\right)-\overline{\boldsymbol{\phi}}, \ldots, \phi\left(x_N\right)-\bar{\phi}\right] \in \mathbb{R}^{M \times N}
$$
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|NLPCA in a High-dimensional Feature Space
A potential difficulty associated with NLPCA is that the dimension $M$ of the feature space can be very high. Thus, computing the principal components in the feature space may become computationally prohibitive. For instance, if we use a Veronese map of degree $n$, the dimension of the feature space is $M=\left(\begin{array}{c}n+D-1 \ n\end{array}\right)$, which grows exponentially fast. When $M$ exceeds $N$, the eigenvalue decomposition of $\Phi \Phi^{\top} \in$ $\mathbb{R}^{M \times M}$ becomes more costly than that of $\Phi^{\top} \Phi \in \mathbb{R}^{N \times N}$, although the two matrices have the same eigenvalues.
This motivates us to examine whether the computation of PCA in the feature space can be reduced to a computation with the lower-dimensional matrix $\Phi^{\top} \Phi$. The answer is actually yes. The key is to notice that despite the dimension of the feature space, every eigenvector $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^M$ of $\Phi \Phi^{\top}$ associated with a nonzero eigenvalue is always in the span of the matrix $\Phi .^2$ That is,
$$
\Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{u} \quad \Longleftrightarrow \quad \boldsymbol{u}=\Phi\left(\lambda^{-1} \Phi^{\top} \boldsymbol{u}\right) \in \operatorname{range}(\Phi)
$$
Thus, if we let $\boldsymbol{w} \doteq \lambda^{-1} \Phi^{\top} \boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^N$, we have $|\boldsymbol{w}|^2=\lambda^{-2} \boldsymbol{u}^{\top} \Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda^{-1}$. Moreover, since $\Phi^{\top} \Phi \boldsymbol{w}=\lambda^{-1} \Phi^{\top} \Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{w}$, the vector $\boldsymbol{w}$ is an eigenvector of $\Phi^{\top} \Phi$ with the same eigenvalue $\lambda$. Once such a $w$ has been computed from $\Phi^{\top} \Phi$, we can recover the corresponding $\boldsymbol{u}$ in the feature space as
$$
u=\Phi w,
$$
and compute the $d$ nonlinear principal components of $x$ under the map $\phi(\cdot)$ as
$$
y_i \doteq \boldsymbol{u}_i^{\top}(\phi(x)-\overline{\boldsymbol{\phi}})=\boldsymbol{w}_i^{\top} \Phi^{\top}(\phi(x)-\overline{\boldsymbol{\phi}}) \in \mathbb{R}, \quad i=1, \ldots, d,
$$
where $\boldsymbol{w}_i \in \mathbb{R}^N$ is the $i$ th leading eigenvector of $\Phi^{\top} \Phi \in \mathbb{R}^{N \times N}$.
主成分分析代考
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Nonlinear Principal Component Analysis
如前所述，NLPCA 背后的主要思想是我们可以找到将数据嵌入到高维空间中的方法， 从而使嵌入数据的结构变得 (近似) 线性。要了解为什么这是可能的，请考虑一组点 $\left(x_1, x_2\right) \in \mathbb{R}^2$ 躺在形式的圆锥形
$$
c_1 x_1^2+c_2 x_1 x_2+c_3 x_2^2+c_4=0
$$
请注意，如果我们定义地图 $\phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 作为
$$
\left(z_1, z_2, z_3\right)=\phi\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1^2, \sqrt{2} x_1 x_2, x_2^2\right)
$$
然后是圆锥曲线 $\mathbb{R}^2$ 变换为以下仿射子空间 $\mathbb{R}^3$ :
$$
c_1 z_1+\frac{c_2}{\sqrt{2}} z_2+c_3 z_3+c_4=0 .
$$
因此，与其学习非线性流形 $\mathbb{R}^2$ ，我们可以简单地学习仿射流形 $\mathbb{R}^3$. 这个例子如图 4.4 所 示。
更一般地，我们寻求非线性变换（通常是嵌入）
$$
\phi(\cdot): \mathbb{R}^D \rightarrow \mathbb{R}^M, \boldsymbol{x} \quad \mapsto \phi(\boldsymbol{x})
$$
器学习中， $\phi(x) \in \mathbb{R}^M$ 称为数据点的特征 $x \in \mathbb{R}^D$ ，和空间 $\mathbb{R}^M$ 称为特征空间。
让 $\bar{\phi}=\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \phi\left(x_j\right)$ 是特征空间中的样本均值，并将均值减去 (居中) 的嵌入数据 矩阵定义为
$$
\Phi \doteq\left[\phi\left(x_1\right)-\bar{\phi}, \phi\left(x_2\right)-\bar{\phi}, \ldots, \phi\left(x_N\right)-\bar{\phi}\right] \in \mathbb{R}^{M \times N}
$$
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|NLPCA in a High-dimensional Feature Space
与 NLPCA 相关的一个潜在困难是维度 $M$ 的特征空间可以非常高。因此，计算特征空间 中的主成分可能会变得计算量过大。例如，如果我们使用 Veronese 度图 $n$, 特征空间的 维数为 $M=(n+D-1 n)$ ，呈指数级快速增长。什么时候 $M$ 超过 $N$ ，的特征值分解 $\Phi \Phi^{\top} \in \mathbb{R}^{M \times M}$ 变得比 $\Phi^{\top} \Phi \in \mathbb{R}^{N \times N}$ ，尽管这两个矩阵具有相同的特征值。
这促使我们研究是否可以将特征空间中的 PCA 计算简化为低维矩阵的计算 $\Phi^{\top} \Phi$. 答案 实际上是肯定的。关键是要注意，尽管特征空间的维度，每个特征向量 $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^M$ 的 $\Phi \Phi^{\top}$ 与非零特征值关联的总是在矩阵的范围内 $\Phi .{ }^2$ 那是，
$$
\Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{u} \Longleftrightarrow \boldsymbol{u}=\Phi\left(\lambda^{-1} \Phi^{\top} \boldsymbol{u}\right) \in \operatorname{range}(\Phi)
$$
因此，如果我们让 $\boldsymbol{w} \doteq \lambda^{-1} \Phi^{\top} \boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^N$ ，我们有 $|\boldsymbol{w}|^2=\lambda^{-2} \boldsymbol{u}^{\top} \Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda^{-1}$. 此 外，由于 $\Phi^{\top} \Phi \boldsymbol{w}=\lambda^{-1} \Phi^{\top} \Phi \Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\Phi^{\top} \boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{w}$, 向量 $\boldsymbol{w}$ 是的特征向量 $\Phi^{\top} \Phi$ 具有相 同的特征值 $\lambda$. 一旦这样一个 $w$ 已从计算 $\Phi^{\top} \Phi$ ，我们可以恢复相应的 $\boldsymbol{u}$ 在特征空间中作为
$$
u=\Phi w
$$
并计算 $d$ 的非线性主成分 $x$ 在地图下 $\phi(\cdot)$ 作为
$$
y_i \doteq \boldsymbol{u}_i^{\top}(\phi(x)-\overline{\boldsymbol{\phi}})=\boldsymbol{w}_i^{\top} \Phi^{\top}(\phi(x)-\overline{\boldsymbol{\phi}}) \in \mathbb{R}, \quad i=1, \ldots, d,
$$
在哪里 $\boldsymbol{w}_i \in \mathbb{R}^N$ 是个 $i$ 的第 leading 特征向量 $\Phi^{\top} \Phi \in \mathbb{R}^{N \times N}$.
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