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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Half-Wave Symmetry of Periodic Waveforms
A physical understanding of the basics of the DFT algorithms can be obtained using the half-wave symmetry of periodic waveforms. If a given periodic function $x(n)$ with period $N$ satisfies the condition
$$
x\left(n \pm \frac{N}{2}\right)=x(n),
$$
then it is said to be even half-wave symmetric.
The samples of the function over any half period are the same as those in the succeeding or preceding half period. In effect, the period is $N / 2$. If the DFT is computed over the period $N$, then the odd-indexed DFT coefficients will be zero. That is, the function is composed of even-indexed frequency components only.
If a given periodic function $x(n)$ with period $N$ satisfies the condition
$$
x\left(n \pm \frac{N}{2}\right)=-x(n),
$$
then it is said to be odd half-wave symmetric. The samples of the function over any half period are the negatives of those in the succeeding or preceding half period. If the DFT is computed over the period $N$, then the even-indexed DFT coefficients will be zero. That is, the function is composed of odd-indexed frequency components only. It is due to the fact that any periodic function can be uniquely decomposed into even half-wave and odd half-wave symmetric components. If the even halfwave symmetric component is composed of the even-indexed frequency components, then the odd half-wave symmetric component must be composed of the odd-indexed frequency components. Therefore, if an arbitrary function is decomposed into its even half-wave and odd half-wave symmetric components, then we have divided the original problem of finding the $N$ frequency coefficients into two problems, each of them being the determination of $N / 2$ frequency coefficients. First, let us go through an example of decomposing a periodic function into its even half-wave and odd half-wave symmetric components.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|The PM DIF DFT Algorithm
A given waveform $x(n)$ can be expressed as the sum of $N$ frequency components (e.g., with $N=8$ ),
$$
\begin{aligned}
& x(n)=X(0) e^{j 0 \frac{2 \pi}{8} n}+X(1) e^{j 1 \frac{2 \pi}{8} n}+X(2) e^{j \frac{2 \pi}{8} n}+X(3) e^{j 3 \frac{2 \pi}{8} n} \
& \quad+X(4) e^{j 4 \frac{2 \pi}{8} n}+X(5) e^{j 5 \frac{2 \pi}{8} n}+X(6) e^{j 6 \frac{2 \pi}{8} n}+X(7) e^{j 7 \frac{2 \pi}{8} n}, n=0,1, \ldots, 7
\end{aligned}
$$
For the most compact algorithms, the input sequence $x(n)$ has to be expressed as 2-element vectors
$$
a^0(n)=\left{a_0^0(n), a_1^0(n)\right}=2\left{x_{e h}(n), x_{o h}(n), n=0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1\right}
$$
The first and second elements of the vectors are, respectively, the scaled even and odd half-wave symmetric components $x_{e h}(n)$ and $x_{o h}(n)$ of $x(n)$. That is, the DFT expression is reformulated as
$$
\begin{aligned}
X(k) & =\sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}, k=0,1, \ldots, N-1 \
& =\left{\begin{array}{l}
\sum_{n=0}^{(N / 2)-1}\left(x(n)+x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}=\sum_{n=0}^{(N / 2)-1} a_0^0(n) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}, k \text { even } \
\sum_{n=0}^{(N / 2)-1}\left(x(n)-x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}=\sum_{n=0}^{(N / 2)-1} a_1^0(n) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}, k \text { odd }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Half-Wave Symmetry of Periodic Waveforms
使用周期波形的半波对称性，可以从物理上理解 DFT 算法的基础知识。如果给定的周期 函数 $x(n)$ 有期间 $N$ 满足条件
$$
x\left(n \pm \frac{N}{2}\right)=x(n)
$$
则称其为偶半波对称。
任何半周期的函数样本与后半周期或前半周期的样本相同。实际上，这段时间是 $N / 2$. 如果在这段时间内计算 DFT $N$ ，那么奇数索引的 DFT 系数将为零。也就是说，该函数 仅由偶数索引频率分量组成。
如果给定的周期函数 $x(n)$ 有期间 $N$ 满足条件
$$
x\left(n \pm \frac{N}{2}\right)=-x(n)
$$
则称其为奇数半波对称。任何半个周期的函数样本都是后半个周期或前半个周期的负 数。如果在这段时间内计算 DFT $N$ ，那么偶数索引的 DFT 系数将为零。也就是说，该 函数仅由奇数索引频率分量组成。这是由于任何周期函数都可以唯一分解为偶半波和奇 半波对称分量。如果偶数半波对称分量由偶数索引频率分量组成，则奇数半波对称分量 必须由奇数索引频率分量组成。因此，如果一个任意函数被分解成它的偶半波和奇半波 对称分量，那么我们就把原来的问题分解为 $N$ 频率系数分为两个问题，每个问题都是 $N / 2$ 频率系数。首先，让我们来看一个将周期函数分解为其偶数半波和奇数半波对称分 量的示例。
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|The PM DIF DFT Algorithm
给定的波形 $x(n)$ 可以表示为 $N$ 频率分量 (例如，与 $N=8$ )，
$$
x(n)=X(0) e^{j 0 \frac{2 \pi}{8} n}+X(1) e^{j \frac{2 \pi}{8} n}+X(2) e^{j \frac{2 \pi}{8} n}+X(3) e^{j \frac{2 \pi}{8} n} \quad+X(4) e^{j 4 \frac{2 \pi}{8} n}+
$$
对于最紧凑的算法，输入序列 $x(n)$ 必须表示为二元向量
$a^{\wedge} 0(n)=\backslash$ left $\left{a_{-} 0^{\wedge} 0(n), a_{-} 1^{\wedge} 0(n) \backslash\right.$ right $}=2 \backslash$ left $\left{x_{_}{e h}(n), x_{-}{0 h}(n), n=0,1, \backslash \mid d o t s, \backslash f r a c{N}{2}-1 \backslash\right.$ right $}$
向量的第一个和第二个元素分别是缩放的偶数和奇数半波对称分量 $x_{e h}(n)$ 和 $x_{o h}(n)$ 的 $x(n)$. 也就是说，DFT 表达式被重新表述为
$\$ \$$
$\backslash$ begin{aligned $}$
$X(\mathrm{k}) \&=\backslash$ sum_{n=0 $}^{\wedge}{\mathrm{N}-1} \times(n) \mathrm{e}^{\wedge}{-\mathrm{j} \backslash$ frac ${2 \backslash$ pi $}{\mathrm{N}} \mathrm{kn}}, \mathrm{k}=0,1, \backslash \backslash$ dots, $N-1 \backslash$
$8=\backslash$ left {
$\sum_{n=0}^{(N / 2)-1}\left(x(n)+x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}=\sum_{n=0}^{(N / 2)-1} a_0^0(n) e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n}, k$ even $\sum_{n=0}^{(N / 2)-1}$
佂确的。
〈结束{对齐}
$\$ \$$
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