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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong Law of Large Numbers
Applications of martingales are numerous. One application is to prove the Strong Law of Large Numbers (SLLN). This theorem says that if $Z_1, Z_2, \ldots$ is a sequence of integrable independent and identically distributed r.r.v’s with mean 0 , then $n^{-1}\left(Z_1+\cdots+Z_n\right) \rightarrow 0$ a.u. Historically, the first proof of this theorem in its generality, due to Kolmogorov, is constructive, complete with rates of convergence. See, for example, theorem 5.4 .2 of [Chung 1968]. Subsequently, remarkable proofs are also given in terms of a.u. martingale convergence via Doob’s upcrossing inequality. See, for example, theorem 9.4.1 of [Chung 1968]. As observed earlier, the theorem that deduces a.u. convergence from upcrossing inequalities actually implies the principle of infinite search, and cannot be made constructive. In this section, we present a constructive proof by a simple application of our Theorem 8.3.5.
First we discuss the Weak Law of Large Numbers, with a well-known proof by characteristic functions.
Theorem 8.4.1. Weak Law of Large Numbers. Suppose $Z_1, Z_2, \ldots$ is a sequence of integrable, independent, and identically distributed r.r.v’s with mean 0 , on some probability space $(\Omega, L, E)$. Let $\eta$ be a simple modulus of integrability of $Z_1$, in the sense of Definition 4.7.2. For each $m \geq 1$, let $S_m \equiv m^{-1}\left(Z_1+\cdots+Z_m\right)$. Then
$$
E\left|S_m\right| \rightarrow 0
$$
as $m \rightarrow \infty$. More precisely, there exists a sequence $\left(q_m\right){m=1,2, \ldots}$ of positive integers, which depends only on $\eta$ and is such that $$ b_m \equiv \sup {k \geq q(m)} E\left|S_k\right| \leq 2^{-m}
$$
for each $m \geq 1$.
Proof. 1. First note that, by Proposition 4.7.1, for each $k \geq 1$, the r.r.v. $Z_k$ has a modulus of integrability $\delta$ defined by
$$
\delta(\varepsilon) \equiv \frac{\varepsilon}{2} / \eta\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)
$$
for each $\varepsilon>0$.
- By hypothesis, the independent r.r.v.’s $Z_1, Z_2, \ldots$ have a common distribution $J$ on $R$. Hence they share a common characteristic function $\psi$. Therefore, for each $k \geq 1$, the characteristic function of the r.r.v. $S_k$ is given by
$$
\psi_k \equiv \psi^k(\dot{\dot{k}}) .
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extension from Dyadic Rational Parameters to Real Parameters
Our approach to extend a given family $F$ of f.j.d.’s that is continuous in probability on the parameter set $[0,1]$ is as follows. First note that $F$ carries no more useful information than its restriction $F \mid Q_{\infty}$, where $Q_{\infty}$ is the dense subset of dyadic rationals in $[0,1]$, because the family can be recovered from the $F \mid Q_{\infty}$, thanks to continuity in probability. Hence we can first extend the family $F \mid Q_{\infty}$ to a process $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$ by applying the Daniell-Kolmogorov Theorem or the Daniell-Kolmogorov-Skorokhod Theorem. Then any condition of the family $F$ is equivalent to a condition to $Z$.
In particular, in the current context, any condition on f.j.d.’s to make $F$ extendable to an a.u. continuous process $X:[0,1] \times \Omega \rightarrow S$ can be stated in terms of a process $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$, with the latter to be extended by limit to the process $X$. It is intuitively obvious that any a.u. continuous process $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$ is extendable to an a.u. continuous process $X:[0,1] \times \Omega \rightarrow S$, because $Q_{\infty}$ is dense $[0,1]$. In this section, we will make this precise, and we will define metrics such that the extension operation is itself a metrically continuous construction.
Definition 9.1.1. Metric space of a.u. continuous processes. Let $C[0,1]$ be the space of continuous functions $x:[0,1] \rightarrow(S, d)$, endowed with the uniform metric defined by
$$
d_{C[0,1]}(x, y) \equiv \sup {t \in[0,1]} d(x(t), y(t)) $$ for each $x, y \in C[0,1]$. Write $\widehat{d}{C[0,1]} \equiv 1 \wedge d_{C[0,1]}$.
Let $(\Omega, L, E)$ be an arbitrary probability space. Let $\widehat{C}[0,1]$ denote the set of stochastic processes $X:[0,1] \times(\Omega, L, E) \rightarrow(S, d)$ that are a.u. continuous on $[0,1]$. Define a metric $\rho_{\widehat{C}[0,1]}$ on $\widehat{C}[0,1]$ by
$$
\rho_{\widehat{C}[0,1]}(X, Y) \equiv E \sup {t \in[0,1]} \widehat{d}\left(X_t, Y_t\right) \equiv E \widehat{d}{C[0,1]}(X, Y)
$$
for each $X, Y \in \widehat{C}[0,1]$. Lemma 9.1.2 (next) says that $\left(\widehat{C}[0,1], \rho_{\widehat{C}[0,1]}\right)$ is a welldefined metric space.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong Law of Large Numbers
鞅的应用很多。一个应用是证明强大数定律 (SLLN)。这个定理说如果 $Z_1, Z_2, \ldots$ 是一系 列可积独立同分布的 rrv，均值为 0 ，则 $n^{-1}\left(Z_1+\cdots+Z_n\right) \rightarrow 0 a u$ 从历史上看，由 于 Kolmogorov 的普遍性，该定理的第一个证明是建设性的，具有收敛率。例如，参见 [Chung 1968] 的定理 5.4 .2。随后，通过 Doob 的交叉不等式在 au martingale 收敛方 面也给出了显着的证明。例如，参见 [Chung 1968] 的定理 9.4.1。如前所述，从交叉不 等式推导出收敛性的定理实际上暗示了无限搜索的原理，并且不能被构造为构造性的。 在本节中，我们通过定理 8.3.5 的简单应用来提供构造性证明。
首先，我们讨论弱大数定律，以及著名的特征函数证明。
定理 8.4.1。弱大数定律。认为 $Z_1, Z_2, \ldots$ 是在某个概率空间上均值为 0 的可积、独立 且同分布的 $\operatorname{rrv}$ 序列 $(\Omega, L, E)$. 让 $\eta$ 是一个简单的可积模数 $Z_1$ ，在定义 4.7.2 的意义上。 对于每个 $m \geq 1$ ， 让 $S_m \equiv m^{-1}\left(Z_1+\cdots+Z_m\right)$. 然后
$$
E\left|S_m\right| \rightarrow 0
$$
作为 $m \rightarrow \infty$. 更准确地说，存在一个序列 $\left(q_m\right) m=1,2, \ldots$ 正整数，这只取决于 $\eta$ 并 且是这样的
$$
b_m \equiv \sup k \geq q(m) E\left|S_k\right| \leq 2^{-m}
$$
每个 $m \geq 1$.
证明。1. 首先注意，根据命题 4.7.1，对于每个 $k \geq 1$, 房车 $Z_k$ 具有可积模量 $\delta$ 被定义为
$$
\delta(\varepsilon) \equiv \frac{\varepsilon}{2} / \eta\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)
$$
每个 $\varepsilon>0$.
- 根据假设，独立的 $\mathrm{rv} Z_1, Z_2, \ldots$ 有一个共同的分布 $J$ 在 $R$. 因此它们具有共同的特征 函数 $\psi$. 因此，对于每个 $k \geq 1$ ， rrv 的特征函数 $S_k$ 是 (谁) 给的
$$
\psi_k \equiv \psi^k(\dot{k})
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extension from Dyadic Rational Parameters to Real Parameters
我们扩展特定家庭的方法 $F$ 在参数集上概率连续的 $\mathrm{fjd}[0,1]$ 如下。首先要注意的是 $F$ 没 有比它的限制更有用的信息 $F \mid Q_{\infty}$ ，在哪里 $Q_{\infty}$ 是二元有理数的椆密子集 $[0,1]$ ，因为 家庭可以从 $F \mid Q_{\infty}$ ，由于概率的连续性。因此我们可以先扩大家庭 $F \mid Q_{\infty}$ 到一个过 程 $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$ 通过应用 Daniell-Kolmogorov 定理或 Daniell-KolmogorovSkorokhod 定理。那么家里的任何条件 $F$ 相当于一个条件 $Z$.
特别是，在当前情况下， fjd 的任何条件 $F$ 可扩展到 au 连续过程 $X:[0,1] \times \Omega \rightarrow S$ 可 以用过程来表述 $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$ ，后者被限制扩展到过程 $X$. 直观上显而易见的是， 任何 au 连续过程 $Z: Q_{\infty} \times \Omega \rightarrow S$ 可扩展到 au 连续过程 $X:[0,1] \times \Omega \rightarrow S$ ，因为 $Q_{\infty}$ 是密集的 $[0,1]$. 在本节中，我们将使这一点变得精确，我们将定义度量，使扩展操 作本身就是一个度量连续的构造。
定义 9.1.1。 au 连续过程的度量空间。让 $C[0,1]$ 是连续函数的空间 $x:[0,1] \rightarrow(S, d)$ ， 赋予由定义的统一度量
$$
d_{C[0,1]}(x, y) \equiv \sup t \in[0,1] d(x(t), y(t))
$$
每个 $x, y \in C[0,1]$. 写 $\hat{d}[0,1] \equiv 1 \wedge d_{C[0,1]}$.
让 $(\Omega, L, E)$ 是一个任意的概率空间。让 $\widehat{C}[0,1]$ 表示随机过程集
$X:[0,1] \times(\Omega, L, E) \rightarrow(S, d)$ 是连续的 $[0,1]$. 定义指标 $\varphi_{\widehat{C}[0,1]}$ 在 $\widehat{C}[0,1]$ 经过
$$
\rho_{\widehat{C}[0,1]}(X, Y) \equiv E \sup t \in[0,1] \hat{d}\left(X_t, Y_t\right) \equiv E \hat{d} C[0,1](X, Y)
$$
每个 $X, Y \in \widehat{C}[0,1]$. 引|理 9.1.2 (下一个) 说 $\left(\widehat{C}[0,1], \rho_{\widehat{C}[0,1]}\right)$ 是一个定义明确的度量 空间。
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