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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Least Squares Theory

Definition 11.13. Estimating equations are used to find estimators of unknown parameters. The least squares criterion and log likelihood for maximum likelihood estimators are important examples.

Estimating equations are often used with a model, like $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$, and often have a variable $\boldsymbol{\beta}$ that is used in the equations to find the estimator $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ of the vector of parameters in the model. For example, the log likelihood $\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2\right)\right)$ has $\boldsymbol{\beta}$ and $\sigma^2$ as variables for a parametric statistical model where $\boldsymbol{\beta}$ and $\sigma^2$ are fixed unknown parameters, and maximizing the log likelihood with respect to these variables gives the maximum likelihood estimators of the parameters $\boldsymbol{\beta}$ and $\sigma^2$. So the term $\boldsymbol{\beta}$ is both a variable in the estimating equations, which could be replaced by another variable such as $\boldsymbol{\eta}$, and a vector of parameters in the model. In the theorem below, we could replace $\boldsymbol{\eta}$ by $\boldsymbol{\beta}$ where $\boldsymbol{\beta}$ is a vector of parameters in the linear model and a variable in the least squares criterion which is an estimating equation.
Theorem 11.16. Let $\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta} \in C(\boldsymbol{X})$ where $Y_i=\boldsymbol{x}i^T \boldsymbol{\eta}+r_i(\boldsymbol{\eta})$ and the residual $r_i(\boldsymbol{\eta})$ depends on $\boldsymbol{\eta}$. The least squares estimator $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is the value of $\boldsymbol{\eta} \in \mathbb{R}^p$ that minimizes the least squares criterion $\sum{i=1}^n r_i^2(\boldsymbol{\eta})=|\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta}|^2$
Proof. Following Seber and Lee (2003, pp. 36-36), let $\hat{\boldsymbol{Y}}=\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \in$ $C(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{r}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}}\right) \boldsymbol{Y} \in[C(\boldsymbol{X})]^{\perp}$, and $\boldsymbol{\theta} \in C(\boldsymbol{X})$. Then $(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}})^T(\hat{\boldsymbol{\theta}}-$ $\boldsymbol{\theta})=\left(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)^T\left(\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{\theta}\right)=\boldsymbol{Y}^T\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}}\right) \boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\theta})=0$ since $\boldsymbol{P}{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}$. Thus $|\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\theta}|^2=(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}+\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta})^T(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}+\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta})=$
$$
|\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}|^2+|\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}|^2+2(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}})^T(\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}) \geq|\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}|^2
$$
with equality iff $|\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}|^2=0$ iff $\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta}$. Since $\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}$ the result follows.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Hypothesis Testing

Suppose $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$ where $\operatorname{rank}(\boldsymbol{X})=p, E(\boldsymbol{e})=\mathbf{0}$ and $\operatorname{Cov}(\boldsymbol{e})=\sigma^2 \boldsymbol{I}$. Let $\boldsymbol{L}$ be an $r \times p$ constant matrix with $\operatorname{rank}(\boldsymbol{L})=r$, let $\boldsymbol{c}$ be an $r \times 1$ constant vector, and consider testing $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{c}$. First theory will be given for when $\boldsymbol{e} \sim N_n\left(\mathbf{0}, \sigma^2 \boldsymbol{I}\right)$. The large sample theory will be given for when the iid zero mean $e_i$ have $V\left(e_i\right)=\sigma^2$. Note that the normal model will satisfy the large sample theory conditions.

The partial $F$ test and its special cases the ANOVA $F$ test and the Wald $t$ test use $\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$. Let the full model use $Y, x_1 \equiv 1, x_2, \ldots, x_p$, and let the reduced model use $Y, x_1=x_{j_1} \equiv 1, x_{j_2}, \ldots, x_{j_k}$ where $\left{j_1, \ldots, j_k\right} \subset$ ${1, \ldots, p}$ and $j_1=1$. Here $1 \leq k<p$, and if $k=1$, then the model is $Y_i=\beta_1+e_i$. Hence the full model is $Y_i=\beta_1+\beta_2 x_{i, 2}+\cdots+\beta_p x_{i, p}+e_i$, while the reduced model is $Y_i=\beta_1+\beta_{j_2} x_{i, j_2}+\cdots+\beta_{j_k} x_{i, j_k}+e_i$. In matrix form, the full model is $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$ and the reduced model is $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X}R \boldsymbol{\beta}_R+\boldsymbol{e}_R$ where the columns of $\boldsymbol{X}_R$ are a proper subset of the columns of $\boldsymbol{X}$. i) The partial $\mathbf{F}$ test has $H_0: \beta{j_{k+1}}=\cdots=\beta_{j_p}=0$, or $H_0:$ the reduced model is good, or $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ where $\boldsymbol{L}$ is a $(p-k) \times p$ matrix where the $i$ th row of $\boldsymbol{L}$ has a 1 in the $j_{k+i}$ th position and zeroes elsewhere. In particular, if $\beta_1, \ldots, \beta_k$ are the only $\beta_i$ in the reduced model, then $\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{ll}0 & \boldsymbol{I}{p-k}\end{array}\right]$ and $\mathbf{0}$ is a $(p-k) \times k$ matrix. Hence $r=p-k=$ number of predictors in the full model but not in the reduced model. ii) The ANOVA F test is the special case of the partial $F$ test where the reduced model is $Y_i=\beta_1+\epsilon_i$. Hence $H_0: \beta_2=\cdots=\beta_p=0$, or $H_0$ : none of the nontrivial predictors $x_2, \ldots, x_p$ are needed in the linear model, or $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ where $\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \boldsymbol{I}{p-1}\end{array}\right]$ and $\mathbf{0}$ is a $(p-1) \times 1$ vector. Hence $r=p-1$. iii) The Wald $\mathbf{t}$ test uses the reduced model that deletes the $j$ th predictor from the full model. Hence $H_0: \beta_j=0$, or $H_0:$ the $j$ th predictor $x_j$ is not needed in the linear model given that the other predictors are in the model, or $H_0: \boldsymbol{L}_j \boldsymbol{\beta}=0$ where $\boldsymbol{L}_j=[0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0]$ is a $1 \times p$ row vector with a 1 in the $j$ th position for $j=1, \ldots, p$. Hence $r=1$.

A way to get the test statistic $F_R$ for the partial $F$ test is to fit the full model and the reduced model. Let $R S S$ be the RSS of the full model, and let $R S S(R)$ be the RSS of the reduced model. Similarly, let $M S E$ and $M S E(R)$ be the MSE of the full and reduced models. Let $d f_R=n-k$ and $d f_F=n-p$ be the degrees of freedom for the reduced and full models.

线性回归代考

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Least Squares Theory

定义 11.13。估计方程用于寻找末知参数的估计量。最大似然估计的最小二乘准则和对 数似然是重要的例子。
估计方程通常与模型一起使用，例如 $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$ ，并且经常有一个变量 $\boldsymbol{\beta}$ 在方程式 中用于找到估计量 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 模型中的参数向量。例如，对数似然 $\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2\right)\right)$ 有 $\boldsymbol{\beta}$ 和 $\sigma^2$ 作为 参数统计模型的变量，其中 $\beta$ 和 $\sigma^2$ 是固定的末知参数，最大化关于这些变量的对数似然 给出参数的最大似然估计 $\beta$ 和 $\sigma^2$. 所以术语 $\beta$ 都是估计方程中的一个变量，可以用另一个 变量代替，例如 $\eta$ ，以及模型中的参数向量。在下面的定理中，我们可以替换 $\eta$ 经过 $\beta$ 在 哪里 $\beta$ 是线性模型中的参数向量和最小二乘准则中的变量，这是一个估计方程。
定理 11.16。让 $\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta} \in C(\boldsymbol{X})$ 在哪里 $Y_i=\boldsymbol{x} i^T \boldsymbol{\eta}+r_i(\boldsymbol{\eta})$ 和残差 $r_i(\boldsymbol{\eta})$ 依赖于取决 于 $\boldsymbol{\eta}$. 最小二乘估计量 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是价值 $\boldsymbol{\eta} \in \mathbb{R}^p$ 最小化最小二乘准则
$$
\sum i=1^n r_i^2(\boldsymbol{\eta})=|\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta}|^2
$$
证明。按照 Seber 和 Lee (2003, pp. 36-36)，让 $\hat{\boldsymbol{Y}}=\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{X} \boldsymbol{Y} \in$ $C(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{r}=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P} \boldsymbol{X}) \boldsymbol{Y} \in[C(\boldsymbol{X})]^{\perp}$ ，和 $\boldsymbol{\theta} \in C(\boldsymbol{X})$. 然后 $(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}})^T(\hat{\boldsymbol{\theta}}-$ $\boldsymbol{\theta})=(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{P} \boldsymbol{Y})^T(\boldsymbol{P} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{P} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{Y}^T(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P X}) \boldsymbol{P} \boldsymbol{X}(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\theta})=0$ 自从 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}$. 因此 $|\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\theta}|^2=(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}+\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta})^T(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}+\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta})=$
$$
|\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}|^2+|\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}|^2+2(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}})^T(\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}) \geq|\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{\theta}}|^2
$$
当且仅当 $|\hat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}|^2=0$ 当且仅当 $\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\eta}$. 自从 $\hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}$ 结果如下。

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Hypothesis Testing

认为 $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$ 在哪里 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{X})=p, E(\boldsymbol{e})=\mathbf{0}$ 和 $\operatorname{Cov}(\boldsymbol{e})=\sigma^2 \boldsymbol{I}$. 让 $\boldsymbol{L}$ 豆 $r \times p$ 常 数矩阵 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{L})=r$ ，让 $\boldsymbol{c}$ 豆 $r \times 1$ 常数向量，并考虑测试 $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{c}$. 第一个理论 将在什么时候给出 $e \sim N_n\left(0, \sigma^2 \boldsymbol{I}\right)$. 当独立同分布为零均值时，将给出大样本理论 $e_i$ 有 $V\left(e_i\right)=\sigma^2$. 注意，正态模型将满足大样本理论条件。
局部的 $F$ 检验及其特例方差分析 $F$ 测试和沃尔德测试使用 $c=0$. 让完整模型使用 $Y, x_1 \equiv 1, x_2, \ldots, x_p$ ，并让简化模型使用 $Y, x_1=x_{j_1} \equiv 1, x_{j_2}, \ldots, x_{j_k}$ 在哪里 么模型是 $Y_i=\beta_1+e_i$. 因此完整的模型是 $Y_i=\beta_1+\beta_2 x_{i, 2}+\cdots+\beta_p x_{i, p}+e_i$ ， 而简化模型是 $Y_i=\beta_1+\beta_{j_2} x_{i, j_2}+\cdots+\beta_{j_k} x_{i, j_k}+e_i$. 在矩阵形式中，完整模型是 测试有 $H_0: \beta j_{k+1}=\cdots=\beta_{j_p}=0$ ，或者 $H_0$ :简化模型是好的，或者 $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ 在哪里 $\boldsymbol{L}$ 是一个 $(p-k) \times p$ 矩阵其中 $i$ 第排 $\boldsymbol{L}$ 中有一个 $1 j_{k+i}$ th 位置和其他地方的零。 特别是，如果 $\beta_1, \ldots, \beta_k$ 是唯一的 $\beta_i$ 在简化模型中，然后 $\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{ll}0 & \boldsymbol{I} p-k\end{array}\right]$ 和 $\mathbf{0}$ 是一个 $(p-k) \times k$ 矩阵。因此 $r=p-k=$ 完整模型中但不在简化模型中的预测变量的数 量。 ii) ANOVA F 检验是部分的特例 $F$ 测试简化模型的位置 $Y_i=\beta_1+\epsilon_i$. 因此 $H_0: \beta_2=\cdots=\beta_p=0$ ，或者 $H_0$ ：没有一个重要的预测变量 $x_2, \ldots, x_p$ 在线性模型 中需要，或 $H_0: \boldsymbol{L} \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ 在哪里 $\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \boldsymbol{I} p-1\end{array}\right]$ 和 $\mathbf{0}$ 是一个 $(p-1) \times 1$ 向量。因此 $r=p-1$. iii) 沃尔德测试使用删除的简化模型 $j$ 来自完整模型的预测变量。因此 $H_0: \beta_j=0$ ，或者 $H_0$ :这 $j$ 第 预测器 $x_j$ 鉴于其他预测变量在模型中，线性模型中不需 要，或者 $H_0: \boldsymbol{L}_j \boldsymbol{\beta}=0$ 在哪里 $\boldsymbol{L}_j=[0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0]$ 是一个 $1 \times p$ 中包含 1 的行 向量 $j$ 第一个位置 $j=1, \ldots, p$. 因此 $r=1$.
一种获取检验统计量的方法 $F_R$ 对于部分 $F$ 测试是为了拟合完整模型和缩减模型。让 $R S S$ 是完整模型的 RSS，让 $R S S(R)$ 是简化模型的 RSS。同样，让 $M S E$ 和 $M S E(R)$ 是完整模型和简化模型的 MSE。让 $d f_R=n-k$ 和 $d f_F=n-p$ 是简化模型和完整模型的自由度。

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