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数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE COMPONENTS OF A SPACE
If a space is not itself connected, then the next best thing is to be able to decompose it into a disjoint class of maximal connected subspaces. Our present objective is to show that this can always be done.
A maximal connected subspace of a topological space, that is, a connected subspace which is not properly contained in any larger connected subspace, is called a component of the space. A connected space clearly has only one component, namely, the space itself. In a discrete space, it is easy to see that each point is a component.
The following two theorems will be useful in obtaining the desired decomposition for a general space.
Theorem A. Let $X$ be a topological space. If $\left{A_i\right}$ is a non-empty class of connected subspaces of $X$ such that $\cap_i A_i$ is non-empty, then $A=\cup_1 A_i$ is also a connected subspace of $X$.
proof. Assume that $A$ is disconnected. This means that there exist two open subsets $G$ and $H$ of $X$ whose union contains $A$ and whose intersections with $A$ are disjoint and non-empty. All the $A_i$ ‘s are connected, and each lies in $G \cup H$, so each $A_i$ lies entirely in $G$ or entirely in $H$ and is disjoint from the other. Since $\bigcap_i A_i$ is non-empty, either all the $A_i$ ‘s lie in $G$ and are disjoint from $H$, or all lie in $H$ and are disjoint from $G$. We see by this that $A$ itself is disjoint from either $G$ or $H$, and this contradiction shows that our assumption that $A$ is disconnected is untenable.
Theorem B. Let $X$ be a topological space and A a connected subspace of $X$. If $B$ is a subspace of $X$ such that $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$, then $B$ is connected; in particular, $\bar{A}$ is connected.
proof. Assume that $B$ is disconnected, that is, that there exist two open subsets $G$ and $H$ of $X$ whose union contains $B$ and whose intersections with $B$ are disjoint and non-empty. Since $A$ is connected and contained in $G \cup H, A$ is contained in either $G$ or $H$ and is disjoint from the other. Let us say, just to be specific, that $A$ is disjoint from $H$. This implies that $\bar{A}$ is also disjoint from $H$, and since $B \subseteq \bar{A}, B$ is disjoint from $H$. This contradiction shows that $B$ cannot be disconnected, and proves our theorem.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|LOCALLY CONNECTED SPACES
In Sec. 23 we encountered the concept of a locally compact space, that is, of a space which is compact around each point but need not be compact as a whole. We now study another “local” property which a topological space may have, that of being connected in the vicinity of each of its points.
A locally connected space is a topological space with the property that if $x$ is any point in it and $G$ any neighborhood of $x$, then $G$ contains a connected neighborhood of $x$. This is evidently equivalent to the condition that each point of the space have an open base whose sets are all connected subspaces. Locally connected spaces are quite abundant, for, as we have seen in Problem 32-5, every Banach space is locally connected.
We know that local compactness is implied by compactness. Local connectedness, however, neither implies, nor is implied by, connectedness. The union of two disjoint open intervals on the real line is a simple example of a space which is locally connected but not connected. A space can also be connected without being locally connected, as the following example shows. Let $X$ be the subspace of the Euclidean plane defined by $X=A \cup B$, where $A={(x, y): x=0$ and $-1 \leq y \leq 1}$ and $B={(x, y): 0<x \leq 1$ and $y=\sin (1 / x)}$ (see Fig. 26). $B$ is the image of the interval $(0,1]$ under the continuous mapping $f$ defined by
$$
f(x)=(x, \sin (1 / x)),
$$
so $B$ is connected by Theorem 31-B; and since $X=\bar{B}, X$ is connected by Theorem 32-B. $\quad X$ is not locally eonnected, however, for it is reasonably easy to see that each point $x$ in $A$ has a neighborhood which does not contain any connected neighborhood of $x$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE COMPONENTS OF A SPACE
如果一个空间本身不连通，那么下一个最好的事情就是能够将它分解成一个不相交的最 大连通子空间类。我们目前的目标是证明这总是可以做到的。
一个拓扑空间的一个最大连通子空间，即一个连通子空间，它不能恰当地包含在任何更 大的连通子空间中，被称为空间的一个分量。连通空间显然只有一个组成部分，即空间 本身。在离散空间中，很容易看出每个点都是一个分量。
以下两个定理将有助于获得一般空间的所需分解。
定理 A. 让 $X$ 是一个拓扑空间。如果 左{A_i右 $}$ 是一个非空类的连通子空间 $X$ 这样 $\cap_i A_i$ 是非空的，那么 $A=\cup_1 A_i$ 也是的连通子空间 $X$.
证明。假使，假设 $A$ 已断开连接。这意味着存在两个开放子集 $G$ 和 $H$ 的 $X$ 其联合包含 $A$ 和它的交集 $A$ 是不相交且非空的。一切 $A_i$ 是相连的，每个都位于 $G \cup H$ ，所以每个 $A_i$ 完 全在于 $G$ 或完全在 $H$ 并且与另一个不相交。自从 $\bigcap_i A_i$ 是非空的，或者所有 $A_i$ 位于 $G$ 并 且与 $H$, 或者都在 $H$ 并且与 $G$. 我们由此看出 $A$ 本身与任何一个都不相交 $G$ 或者 $H$ ，这种 矛盾表明我们的假设 $A$ 断开连接是站不住脚的。
定理 B. 让 $X$ 是一个拓扑空间， $\mathrm{A}$ 是一个连通的子空间 $X$. 如果 $B$ 是一个子空间 $X$ 这样 $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$ ，然后 $B$ 已连接; 尤其， $\bar{A}$ 已连接。
证明。假使，假设 $B$ 是不连通的，即存在两个开子集 $G$ 和 $H$ 的 $X$ 其联合包含 $B$ 和它的交 集 $B$ 是不相交且非空的。自从 $A$ 连接并包含在 $G \cup H, A$ 包含在 $G$ 或者 $H$ 并且与另一个 不相交。让我们说，只是为了具体， $A$ 与 $H$. 这意味着 $\bar{A}$ 也与 $H$ ，并且因为 $B \subseteq \bar{A}, B$ 与 $H$. 这个矛盾表明 $B$ 不能断开，并证明了我们的定理。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|LOCALLY CONNECTED SPACES
在秒。23 我们遇到了局部紧致空间的概念，即每个点周围紧致但整体上不需要紧致的 空间。我们现在研究拓扑空间可能具有的另一个”局部”属性，即在其每个点的附近连接 的属性。
局部连通空间是一个拓扑空间，如果 $x$ 是其中的任何一点并且 $G$ 的任何邻域 $x$ ，然后 $G$ 包含一个相连的邻域 $x$. 这显然等价于空间的每个点都有一个开基，其集合都是连通的子 空间。局部连通空间非常丰富，因为正如我们在问题 32-5 中看到的，每个 Banach 空 间都是局部连通的。
我们知道局部紧凑性是由紧凑性暗示的。然而，本地连通性㮣不暗示连通性，也不暗示 连通性。两个不相交的开区间在实线上的并集是一个局部连通但不连通的空间的简单例 子。空间也可以在没有本地连接的情况下连接，如下例所示。让 $X$ 是欧几里德平面的子 空间，定义为 $X=A \cup B$ ，在哪里 $A=(x, y): x=0 \$ a n d \$-1 \leq y \leq 1$ 和 $B=(x, y): 0<x \leq 1 \$ a n d \$ y=\sin (1 / x)$ (见图 26)。 $B$ 是区间的图像 $(0,1]$ 在连 续映射下f被定义为
$$
f(x)=(x, \sin (1 / x))
$$
所以 $B$ 由定理 31-B 连接；从那以后 $X=\bar{B}, X$ 由定理 32-B 连接。 $X$ 不是本地连接 的，但是，因为很容易看出每个点 $x$ 在 $A$ 有一个不包含任何相连邻域的邻域 $x$.
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