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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Simulated Annealing
Simulated annealing $[203,226]$ was developed as a means of global discrete optimization. The physical insight is that a physical system that is cooled very rapidly often only goes part way towards the minimum energy configuration, and often ends up in a local but not global minimum of the total potential energy. On the other hand, cooling the same system slowly allowed the system to come close to the global minimum of total potential energy.
Temperature here relates to thermal energy, which is kinetic energy at a microscopic level. Thermal energy allows increases in the potential energy at the level of individual molecules and atoms. This, like the stochastic gradient method, is a nonmonotone optimization method. That is, the objective function value can sometimes increase, even though we wish to minimize this value.
Simulated annealing is also a stochastic optimization process. However, there are some differences with Stochastic Gradient Method. While the step lengths $s_k$ in Stochastic Gradient Method are typically chosen with the property that $\sum_{k=0}^{\infty} s_k=$ $+\infty$ and $\sum_{k=0}^{\infty} s_k^2$ finite, in simulated annealing, the corresponding step lengths $s_k$ decrease much more slowly.
The starting point for simulated annealing is the Metropolis-Hastings algorithm (Algorithm 71 of Section 7.4.2.3). Let $X$ be the state space we wish to optimize over. We choose the function $q$ generating the probability distribution $p(z)=q(z) / \sum_{x \in X} q(x)$ to be $$
q(x)=\exp (-\beta f(x))
$$
where $f$ is the function we wish to minimize. Physically $\beta$ corresponds to $1 /\left(k_B T\right)$ where $k_B$ is Boltzmann’s constant and $T$ the absolute temperature. The larger the value of $\beta$ the more concentrated the distribution is near the global minimum; at the other extreme, if $\beta=0$ simulated annealing becomes essentially a random walk.
If we take $\beta=+\infty$, then the only steps of the Metropolis-Hastings algorithm that are accepted are steps where the candidate iterate $x^{\prime}$ satisfies $f\left(x^{\prime}\right)<f\left(x_k\right)$; this is a randomized descent algorithm: pick a neighbor of $x_k$ at random. If the neighbor has a smaller value of $f$, this neighbor becomes $x_{k+1}$. Otherwise $x_{k+1}=x_k$. Clearly, this method will become stuck in local minima.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Second Derivatives and Newton’s Method
The standard first-order conditions for the unconstrained minimization of a function $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ are $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. This is a system of $n$ equations in $n$ unknowns. We can apply the multivariate Newton method (Algorithm 43 in Section 3.3.4) and many of its variations to the problem of solving $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. This requires solving the linear system (Hess $\left.f\left(\boldsymbol{x}_k\right)\right) \boldsymbol{d}_k=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ where Hess $f(\boldsymbol{x})$ is the Hessian matrix of $f$ at $x$.
Newton’s method has the advantage of rapid quadratic convergence when starting close to the solution and the Hessian matrix at the solution is invertible. However, the cost of each iteration can be substantial if the dimension $n$ is large. If $n$ is large, then sparse solution methods (see Section 2.3) or iterative methods (see Section 2.4) can be used to solve the linear systems that arise in Newton’s method.
Newton’s method in this form converges to solutions of $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. This is a necessary but not sufficient condition for a local minimizer except under special assumptions. For example, if $f$ is smooth and convex, then $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$ is both a necessary and sufficient condition for a global minimizer. In general, there are saddle points (where Hess $f(\boldsymbol{x})$ has both negative and positive eigenvalues) and local maximizers (where Hess $f(\boldsymbol{x})$ has only negative eigenvalues). Newton’s method regards saddle points and local maximizers as equally valid solutions of $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. Yet, for optimization purposes, we wish to avoid these points. A consequence of this behavior of Newton’s method is that the Newton step $\boldsymbol{d}_k$ satisfying Hess $f\left(x_k\right) \boldsymbol{d}_k=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ might not be a descent direction: $\boldsymbol{d}_k^T \nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)^T$ (Hess $\left.f\left(\boldsymbol{x}_k\right)\right)^{-1} \nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ could be positive for an indefinite Hessian matrix. This means that any line search method based on the sufficient decrease criterion (8.3.4) can fail. This includes the Armijo/backtracking, Goldstein, and Wolfe-based line search methods.
In order to accommodate Hessian matrices that are not positive definite, we need to modify the Newton method. We can do this by modifying the Hessian matrix used [190, Sec. 3.4]. We can also use a different globalization strategy than using line searches, such as trust region methods [190, Chap. 4].
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Simulated Annealing
模拟退火 $[203,226]$ 被开发为全局离散优化的一种手段。物理洞察力是，一个冷却非常 快的物理系统通常只会部分地达到最小能量配置，并且通常最终会达到总势能的局部而 非全局最小值。另一方面，缓慢冷却同一系统可以使系统接近总势能的全局最小值。
这里的温度指的是热能，微观上是动能。热能尣许在单个分子和原子水平上增加势能。 这与随机梯度法一样，是一种非单调优化方法。也就是说，目标函数值有时会增加，即 使我们希望最小化该值。
模拟退火也是一种随机优化过程。但是，与随机梯度法有一些不同。虽然步长 $s_k$ 在随机 梯度法中，通常选择具有以下属性的 $\sum_{k=0}^{\infty} s_k=+\infty$ 和 $\sum_{k=0}^{\infty} s_k^2$ 有限的，在模拟退火 中，相应的步长 $s_k$ 减少得慢得多。
模拟退火的起点是 Metropolis-Hastings 算法（第 7.4.2.3 节的算法 71）。让 $X$ 是我们 希望优化的状态空间。我们选择函数 $q$ 生成概率分布 $p(z)=q(z) / \sum_{x \in X} q(x)$ 成为
$$
q(x)=\exp (-\beta f(x))
$$
在哪里 $f$ 是我们希望最小化的函数。身体上 $\beta$ 对应于 $1 /\left(k_B T\right)$ 在哪里 $k_B$ 是玻尔兹曼常 数，并且 $T$ 绝对温度。的值越大 $\beta$ 分布越集中，越接近全局最小值；在另一个极端，如 果 $\beta=0$ 模拟退火本质上变成了随机游走。
如果我们采取 $\beta=+\infty$ ，那么 Metropolis-Hastings 算法唯一被接受的步骤是候选者迭 代的步骤 $x^{\prime}$ 满足 $f\left(x^{\prime}\right)<f\left(x_k\right)$ ；这是一个随机下降算法：选择一个邻居 $x_k$ 随机的。如 果邻居的值较小 $f$ ，这个邻居变成 $x_{k+1}$. 否则 $x_{k+1}=x_k$. 显然，这种方法会陷入局部极 小值。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Second Derivatives and Newton’s Method
函数无约束最小化的标准一阶条件 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是 $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. 这是一个系统 $n$ 中的方 程式 $n$ 末知数。我们可以应用多元牛顿法 (第 3.3.4 节中的算法 43) 及其许多变体来求 解问题 $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. 这需要求解线性系统 $\left(H e s s f\left(\boldsymbol{x}_k\right)\right) \boldsymbol{d}_k=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ 哪里赫斯 $f(\boldsymbol{x})$ 是 Hessian 矩阵 $f$ 在 $x$.
牛顿法的优点是从接近解开始时二次收敛很快，而且解处的Hessian矩阵是可逆的。然 而，如果维度 $n$ 很大。如果 $n$ 大，则可以采用稀疏求解法 (见 2.3 节) 或迭代法 (见 2.4 节) 求解牛顿法中出现的线性系统。
这种形式的牛顿法收赦于解 $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. 除非在特殊假设下，否则这是局部最小化器的 必要但不充分条件。例如，如果 $f$ 是光滑且凸的，那么 $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$ 是全局最小化器的充 分必要条件。一般来说，有鞍点 (赫斯 $f(\boldsymbol{x})$ 具有负特征值和正特征值) 和局部最大化 器 (其中 $\operatorname{Hess} f(\boldsymbol{x})$ 只有负特征值) 。牛顿法将鞍点和局部最大化器视为同样有效的解 $\nabla f(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$. 然而，出于优化目的，我们希望避免这些点。牛顿法这种行为的结果是牛 顿步 $\boldsymbol{d}_k$ 令人满意的赫斯 $f\left(x_k\right) \boldsymbol{d}_k=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ 可能不是下降方向:
$\boldsymbol{d}_k^T \nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)=-\nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)^T$ (赫斯 $\left.f\left(\boldsymbol{x}_k\right)\right)^{-1} \nabla f\left(\boldsymbol{x}_k\right)$ 对于不确定的 Hessian 矩阵可能 为正。这意味着任何基于充分减少标准 (8.3.4) 的线搜索方法都可能失败。这包括 Armijo/backtracking、Goldstein 和基于 Wolfe 的线搜索方法。
为了适应非正定的 Hessian 矩阵，我们需要修改牛顿法。我们可以通过修改使用的 Hessian 矩阵来做到这一点 [190，Sec. 3.4]。我们还可以使用不同于线搜索的全球化策 略，例如信任域方法 [190，第 1 章]。4].
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