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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Continuous Functional Calculus for Normal Operators
Every polynomial in the real variables $x$ and $y$ can be written as a polynomial in the variables $z$ and $\bar{z}$ by substituting $z=x+i y, \bar{z}=x-i y$. For example, $x^2+y^2=z \bar{z}$. For polynomials $p(z, \bar{z})=\sum_{i, j=0}^k c_{i j} z^i \bar{z}^j$ and normal operators $T \in \mathscr{L}(H)$, we define
$$
p\left(T, T^{\star}\right):=\sum_{i, j=0}^k c_{i j} T^i \bar{T}^{* j} .
$$
The crucial result that enables us to extend the continuous functional calculus to normal operators is the following spectral mapping theorem.
Proposition 8.21. If $T \in \mathscr{L}(H)$ is normal and $p$ is a polynomial in $z$ and $\bar{z}$, then
$$
\sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)={p(\lambda, \bar{\lambda}): \lambda \in \sigma(T)}
$$
Proof By Proposition 8.14, every $\lambda \in \sigma(T)$ is an approximate eigenvalue of $T$, that is, there exists a sequence $\left(x_n\right){n \geqslant 1}$ of norm one vectors such that $\lim {n \rightarrow \infty} T x_n-\lambda x_n=0$. Then $\lim {n \rightarrow \infty} T^{\star} x_n-\bar{\lambda} x_n=0$ by Proposition 8.13. This implies $\lim {n \rightarrow \infty} p\left(T, T^{\star}\right) x_n-$ $p(\lambda, \bar{\lambda}) x_n=0$, so $p(\lambda, \bar{\lambda})$ is an approximate eigenvalue for $p\left(T, T^{\star}\right)$. In particular, $p(\lambda, \bar{\lambda}) \in \sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)$. This proves the inclusion ‘ $\supseteq$ ‘.
For the inclusion ‘ $\subseteq$ ‘, fix an arbitrary $\mu \in \sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)$. We wish to prove the existence of a $\lambda \in \sigma(T)$ such that $p(\lambda, \bar{\lambda})=\mu$.
Step 1 – Fixing $\varepsilon>0$, we claim that there is a nonzero closed subspace $Y$ of $H$, invariant under both $T$ and $T^{\star}$, such that
$$
\left|\left.\left(p\left(T, T^{\star}\right)-\mu I\right)\right|_Y\right|<\varepsilon
$$
To prove the claim, let $S:=p\left(T, T^{\star}\right)-\mu I$. This operator is normal and we have $0 \in$ $\sigma(S)$. Let $R:=S^{\star} S$. Arguing as above, we find that $0 \in \sigma(R)$. Consider the continuous function $f:[0, \infty) \rightarrow[0,1]$ given by
$$
f(t):= \begin{cases}1, & 0 \leqslant t \leqslant \varepsilon / 2 \ 2(1-t / \varepsilon), & \varepsilon / 2 \leqslant t \leqslant \varepsilon \ 0, & t \geqslant \varepsilon\end{cases}
$$
and let $f(R)$ be the selfadjoint operator obtained from the continuous functional calculus for selfadjoint operators (Theorem 8.20 ).
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Applications of the continuous functional calculus
We now turn to some applications of the continuous functional calculus.
Proposition 8.27 (Square roots). If $T \in \mathscr{L}(H)$ is positive, there exists a unique positive operator $S \in \mathscr{L}(H)$ such that $S^2=T$.
Henceforth, this operator $S$ will be denoted by $T^{1 / 2}$.
Proof Since $T$ is positive, $T$ is selfadjoint and its spectrum is contained in $[0, \infty)$ by Theorem 8.11. Hence, $f(t)=\sqrt{t}$ is a well defined continuous function on $\sigma(T)$. The operator $S:=f(T)$ is positive by Theorem 8.20 , and it satisfies $S^2=T$ by the properties of the continuous functional calculus. It remains to prove uniqueness. Suppose $\widetilde{S}$ is another positive operator with the property that $\widetilde{S}^2=T$. With $f(t)=\sqrt{t}, g(t)=t^2$, and $h(t)=t$ we have, by the properties of the continuous functional calculus and Theorem 8.25
$$
f\left(\tilde{S}^2\right)=f(g(\widetilde{S}))=(f \circ g)(\widetilde{S})=h(\widetilde{S})=\widetilde{S}
$$
It follows that $S=f\left(S^2\right)=f(T)=f\left(\widetilde{S}^2\right)=\widetilde{S}$. This completes the uniqueness proof.
Definition 8.28 (Modulus of an operator). The modulus of an operator $T \in \mathscr{L}(H)$ is the positive operator $|T|:=\left(T^{\star} T\right)^{1 / 2}$.
Corollary 8.29. If $T \in \mathscr{L}(H)$ is normal operator, then $|T|=f(T)$, where $f(z):=|z|$.
Proof Let $g(z):=\bar{z} z$. Then $f^2=g$ and therefore $|T|^2=T^{\star} T=g(T)=f^2(T)=$ $(f(T))^2$ by the multiplicativity of the continuous functional calculus. Since by Corollary 8.24 the operator $f(T)$ is positive, the result follows by taking square roots.
We continue with a polar decomposition result. In view of future applications we phrase it for bounded operators $T \in \mathscr{L}(H, K)$, where $H$ and $K$ are Hilbert spaces. The modulus of such an operator is the positive operator $|T|:=\left(T^{\star} T\right)^{1 / 2}$ on $H$. An operator $U \in \mathscr{L}(H, K)$ will be called unitary if it is isometric and surjective. A partial isometry is a bounded operator $V \in \mathscr{L}(H, K)$ for which there exists orthogonal direct sum decomposition $H=H_0 \oplus H_0^{\perp}$ such that $V$ is isometric from $H_0$ into $K$ and zero on $H_0^{\perp}$.
泛函分析代考
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Continuous Functional Calculus for Normal Operators
实变量中的每个多项式 $x$ 和 $y$ 可以写成变量中的多项式 $z$ 和 $z$ 通过替换
$z=x+i y, \bar{z}=x-i y$. 例如， $x^2+y^2=z \bar{z}$. 对于多项式 $p(z, \bar{z})=\sum_{i, j=0}^k c_{i j} z^i \bar{z}^j$ 和普通运营商 $T \in \mathscr{L}(H)$ ，我们定义
$$
p\left(T, T^{\star}\right):=\sum_{i, j=0}^k c_{i j} T^i \bar{T}^{* j} .
$$
使我们能㿟将连续泛函演算扩展到正规算子的关键结果是以下㬐映射定理。
$$
\sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)=p(\lambda, \bar{\lambda}): \lambda \in \sigma(T)
$$
由命题 8.14 证明, 每个 $\lambda \in \sigma(T)$ 是的近似特征值 $T$, 即存在一个序列 $\left(x_n\right) n \geqslant 1$ 范数 一向量使得 $\lim n \rightarrow \infty T x_n-\lambda x_n=0$. 然后 $\lim n \rightarrow \infty T^{\star} x_n-\bar{\lambda} x_n=0$ 根据提案 8.13。这意味苃 $\lim n \rightarrow \infty p\left(T, T^{\star}\right) x_n-p(\lambda, \bar{\lambda}) x_n=0$ ，所以 $p(\lambda, \bar{\lambda})$ 是的近似特 征值 $p\left(T, T^{\star}\right)$. 尤其, $p(\lambda, \bar{\lambda}) \in \sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)$. 这证明包含 ‘ $\supseteq$ ‘.
对于包含 ‘ $\subseteq^{\prime}$ 修复一个任意的 $\mu \in \sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)$. 我们想证明存在一个 $\lambda \in \sigma(T)$ 这样 $p(\lambda, \bar{\lambda})=\mu$. 样
$$
\left|\left(p\left(T, T^{\star}\right)-\mu I\right)\right|_Y \mid<\varepsilon $$ 对于包含 ‘ $\subseteq^{\prime}$ ，修复一个任意的 $\mu \in \sigma\left(p\left(T, T^{\star}\right)\right)$. 我们想证明存在一个 $\lambda \in \sigma(T)$ 这样 $p(\lambda, \bar{\lambda})=\mu$. 第 1 步一修复 $\varepsilon>0$ ，我们声称存在一个非零闭子空间 $Y$ 的 $H$, 在两者下不变 $T$ 和 $T^{\star}$ ，这 样
$$
\left|\left(p\left(T, T^{\star}\right)-\mu I\right)\right|_Y \mid<\varepsilon
$$
为了证明这个说法，让 $S:=p\left(T, T^*\right)-\mu I$. 这个运算符是正常的，我们有 $0 \in \sigma(S)$. 让 $R:=S^{\star} S$. 如上所述，我们发现 $0 \in \sigma(R)$. 考虑连续函数 $f:[0, \infty) \rightarrow[0,1]$ 由
$$
f(t):={1, \quad 0 \leqslant t \leqslant \varepsilon / 22(1-t / \varepsilon), \quad \varepsilon / 2 \leqslant t \leqslant \varepsilon 0, \quad t \geqslant \varepsilon
$$
然后让 $f(R)$ 是从自伴算子的连续泛函中获得的自伴算子 (定理 8.20)。
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Applications of the continuous functional calculus
我们现在转向连续函数微积分的一些应用。
提案 8.27 (平方根) 。如果 $T \in \mathscr{L}(H)$ 是正的，存在唯一的正算子 $S \in \mathscr{L}(H)$ 这样 $S^2=T$
从此，这个运营商 $S$ 将被表示为 $T^{1 / 2}$.
证明自 $T$ 是积极的， $T$ 是自伴的，它的谱包含在 $[0, \infty)$ 根据定理 8.11。因此，
$f(t)=\sqrt{t}$ 是定义明确的连续函数 $\sigma(T)$. 运营商 $S:=f(T)$ 由定理 8.20 为正，并且满足 $S^2=T$ 根据连续泛函的性质。有待证明唯一性。认为 $\widetilde{S}$ 是另一个具有以下属性的正算 子 $\widetilde{S}^2=T$. 和 $f(t)=\sqrt{t}, g(t)=t^2$ ， 和 $h(t)=t$ 根据连续泛函的性质和定理 8.25， 我们有
$$
f\left(\tilde{S}^2\right)=f(g(\widetilde{S}))=(f \circ g)(\widetilde{S})=h(\widetilde{S})=\widetilde{S}
$$
它遵循 $S=f\left(S^2\right)=f(T)=f\left(\widetilde{S}^2\right)=\widetilde{S}$. 这样就完成了唯一性证明。
定义 8.28 (运算符的模数) 。运算符的模数 $T \in \mathscr{L}(H)$ 是正算子 $|T|:=\left(T^{\star} T\right)^{1 / 2}$.
推论 8.29。如果 $T \in \mathscr{L}(H)$ 是正规算子，那么 $|T|=f(T)$ ， 在哪里 $f(z):=|z|$.
证明让 $g(z):=\bar{z} z$. 然后 $f^2=g$ 因此 $|T|^2=T^{\star} T=g(T)=f^2(T)=(f(T))^2$ 通过连
续函数演算的乘法性。因为根据推论 8.24，算子 $f(T)$ 为正，则结果取平方根。
我们继续极分解结果。鉴于末来的应用，我们将其表述为有界运算符 $T \in \mathscr{L}(H, K)$ ， 在哪里 $H$ 和 $K$ 是希尔伯特空间。这种运算符的模数是正运算符 $|T|:=\left(T^{\star} T\right)^{1 / 2}$ 在 $H$.
操作员 $U \in \mathscr{L}(H, K)$ 如果它是等距的和满射的，将被称为单一的。部分等距是有界算 子 $V \in \mathscr{L}(H, K)$ 其中存在正交直和分解 $H=H_0 \oplus H_0^{\perp}$ 这样 $V$ 等距于 $H_0$ 进入 $K$ 和零 $H_0^{\perp}$
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