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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|A Puzzling Phenomenon
Throughout Chapter 2 we witnessed a very strange phenomenon. Whenever we generalized a familiar real function to a corresponding complex function, the mapping sent infinitesimal squares to infinitesimal squares. At present this is a purely empirical observation based on using a computer to draw pictures of the mappings. In this chapter we begin to explore the theoretical underpinnings of the phenomenon.
Let’s go back and take a closer look at a simple mapping like $z \mapsto w=z^2$. As we already know, this maps the origin-centred circle $|z|=r$ into the circle $|w|=r^2$, and it maps the ray $\arg (z)=\theta$ into the ray $\arg (w)=2 \theta$. An obvious consequence of this is that the right angle of intersection between such circles and rays in the $z$-plane is preserved by the mapping, which is to say that their images in the $w$-plane also meet at right angles. As illustrated in [4.1], a grid of infinitesimal squares formed from such circles and rays must therefore be mapped to an image grid composed of infinitesimal rectangles. However, this does not explain why these image rectangles must again be squares.
As we will explain shortly, the fact that infinitesimal squares are preserved is just one consequence of the fact that $z \mapsto w=z^2$ is conformal everywhere except at the two critical points $z=0$ and $z=\infty$, where angles are doubled. In particular, any pair of orthogonal curves is mapped to another pair of orthogonal curves. In order to give another example of this, we first dismember our mapping into its real and imaginary parts. Writing $z=x+i y$ and $w=u+i v$, we obtain
$$
u+i v=w=z^2=(x+i y)^2=\left(x^2-y^2\right)+i 2 x y .
$$
Thus the new coordinates are given in terms of the old ones by
$$
\begin{aligned}
& u=x^2-y^2, \
& v=2 x y .
\end{aligned}
$$
We now forget (temporarily!) that we are in $\mathbb{C}$, and think of (4.1) as simply representing a mapping of $\mathbb{R}^2$ to $\mathbb{R}^2$. If we let our point $(x, y)$ slide along any of the rectangular hyperbolas with equation $2 x y=$ const., then we see from (4.1) that its image $(u, v)$ will move on a horizontal line $v=$ const. Likewise, the preimages of the vertical lines $u=$ const. will be another family of rectangular hyperbolas with equations $\left(x^2-y^2\right)=$ const. Since their images are orthogonal, the claimed conformality of $z \mapsto z^2$ implies that these two kinds of hyperbolas should themselves be orthogonal.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Local Description of Mappings in the Plane
Referring to [4.3], it’s clear that to find out whether any given mapping is conformal or not will require only a local investigation of what is happening very near to the intersection point q. To make this clearer still, recognize that if we wish to measure $\phi$, or indeed even define it, we need to draw the tangents [dotted] to both curves and then measure the angle between them. We could draw a very good approximation to one of these tangents simply by joining $q$ to any nearby point $p$ on the curve. Of course the nearer $p$ is to $q$, the better will the chord $q p$ approximate the actual tangent. Since we are only concerned here with directions and angles (rather than positions) we may dispense with the tangent itself, and instead use the infinitesimal vector $\overrightarrow{\mathrm{qp}}$ that points along it. Likewise, after we have performed the mapping, we are not interested in the positions of the image points $Q$ and $P$ themselves; rather, we want the infinitesimal connecting vector $\overrightarrow{Q P}$ that describes the direction of the new tangent at $Q$. We will call this infinitesimal vector $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ the image of the vector $\overrightarrow{\mathrm{qP}}$. However natural this terminology may seem, note that this really is a new sense of the word “image”.
Let us now summarize our strategy. Given formulae such as (4.1), which describe the mapping of the points to their image points, we wish to discover the induced mapping of infinitesimal vectors emanating from a point $q$ to their image vectors emanating from the image point $Q$. In principle, we could then apply the latter mapping to $\overrightarrow{q P}$ and to $\overrightarrow{q S}$, yielding their images $\overrightarrow{Q P}$ and $\overrightarrow{Q S}$, and hence the angle of intersection of the image curves through $Q$.
复分析代考
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|A Puzzling Phenomenon
在第 2 章中，我们目睹了一个非常奇怪的现象。每当我们将一个熟悉的实函数推广到相 应的复函数时，映射就会将无穷小平方发送到无穷小平方。目前，这是基于使用计算机 绘制映射图的纯经验观察。在本章中，我们开始探索该现象的理论基础。
让我们回头仔细看看一个简单的映射，比如 $z \mapsto w=z^2$. 正如我们已经知道的，这映 射了以原点为中心的圆 $|z|=r$ 入圈 $|w|=r^2$ ，它映射光线 $\arg (z)=\theta$ 入射线 $\arg (w)=2 \theta$. 一明显的结果是这些圆和射线之间的直角相交在 $z$-plane 由映射保留， 也就是说它们的图像在 $w$-平面也以直角相交。如[4.1]中所示，由这些圆和射线形成的无 穷小正方形网格因此必须映射到由无穷小矩形组成的图像网格。然而，这并不能解释为 什么这些图像矩形又必须是正方形。
正如我们将很快解释的那样，保留无穷小平方的事实只是以下事实的一个结果 $z \mapsto w=z^2$ 除了两个临界点外，处处都是共形的 $z=0$ 和 $z=\infty$ ，其中角度加倍。特 别是，任何一对正交曲线都映射到另一对正交曲线。为了给出另一个例子，我们首先将 映射分解为实部和虚部。写作 $z=x+i y$ 和 $w=u+i v$ ，我们获得
$$
u+i v=w=z^2=(x+i y)^2=\left(x^2-y^2\right)+i 2 x y .
$$
因此，新坐标是根据旧坐标给出的
$$
u=x^2-y^2, \quad v=2 x y .
$$
果我们让我们的观点 $(x, y)$ 沿着方程式的任何矩形双曲线滑动 $2 x y=$ const.，那么我们 从 (4.1) 中看到它的图像 $(u, v)$ 将在水平线上移动 $v=$ 常量。同样，垂直线的原像 $u=$ 常量。将是另一组带方程的矩形双曲线 $\left(x^2-y^2\right)=$ 常量。由于它们的图像是正交的， 因此声称的共形性 $z \mapsto z^2$ 意味着这两种双曲线本身应该是正交的。
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Local Description of Mappings in the Plane
参考 [4.3]，很明显，要找出任何给定的映射是否共形，只需要对非常靠近交点 $q$ 的地 方发生的事情进行局部调查。为了更清楚地说明这一点，认识到如果我们想衡量 $\phi$ ，或 者甚至定义它，我们需要绘制两条曲线的切线 [虚线]，然后测量它们之间的角度。我们] 可以通过简单地加入这些切线之一得出一个非常好的近似值 $q$ 到任何附近的点 $p$ 在曲线 上。当然越近 $p$ 是为了 $q$, 和弦越好 $q p$ 近似实际切线。因为我们在这里只关心方向和角度 (而不是位置)，所以我们可以省去切线本身，而是使用无穷小向量 $\overrightarrow{q p}$ 沿着它指向。 同样，在我们执行映射之后，我们对图像点的位置不感兴趣 $Q$ 和 $P$ 他们自己; 相反，我 们想要无穷小的连接向量 $\overrightarrow{Q P}$ 描述了新切线的方向 $Q$. 我们称这个无穷小向量 $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ 向量的 图像 $\overrightarrow{\mathrm{qP}}$. 无论这个术语看起来多么自然，请注意，这确实是“图像”一词的新含义。
现在让我们总结一下我们的策略。给定诸如 (4.1) 的公式，它描述了点到它们的图像点 的映射，我们希望发现从一个点发出的无穷小向量的诱导映射 $q$ 从图像点发出的图像矢 量 $Q$. 原则上，我们可以将后一种映射应用于 $\overrightarrow{q P}$ 并 $\overrightarrow{q S}$, 产生他们的图像 $\overrightarrow{Q P}$ 和 $\overrightarrow{Q S}$ ，因 此图像曲线的交角通过 $Q$.
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