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数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE DEFINITION AND SOME EXAMPLES
Let $X$ be a non-empty set. A class $\mathrm{T}$ of subsets of $X$ is called a topology on $X$ if it satisfies the following two conditions:
(1) the union of every class of sets in $T$ is a set in $T$;
(2) the intersection of every finite class of sets in $T$ is a set in $T$.
A topology on $X$ is thus a class of subsets of $X$ which is closed under the formation of arbitrary unions and finite intersections. A topological space consists of two objects: a non-empty set $X$ and a topology $\mathrm{T}$ on $X$. The sets in the class $T$ are called the open sets of the topological space $(X, T)$, and the elements of $X$ are called its points. It is customary to denote the topological space $(X, T)$ by the symbol $X$ which is used for its underlying set of points. No harm can come from this practice if one clearly understands that a topological space is more than merely a non-empty set: it is a non-empty set together with a specific topology on that set. We shall often be considering several topologies on a single given set, and in these circumstances distinct topologies make the set into distinct topological spaces. We observe that the empty set and the full space are always open sets in every topological space, since they are the union and intersection of the empty class of sets, which is a subclass of every topology.
We now list several simple examples of topological spaces. In order to exhibit a topological space, one must specify a non-empty set, tell which subsets are to be considered the open sets, and verify that this given class of sets satisfies conditions (1) and (2) above. In the examples which follow, we leave this third step to the reader.
Example 1. Let $X$ be any metric space, and let the topology be the class of all subsets of $X$ which are open in the sense of the definition in Sec. 10. This is called the usual topology on a metric space, and we say that these sets are the open sets generated by the metric on the space. Metric spaces are the most important topological spaces, and whenever we speak of a metric space as a topological space, it is understood (unless we say something to the contrary) that its topology is the usual topology described here.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|ELEMENTARY CONCEPTS
We have taken open sets as the starting point in our development of topology, and we now define a number of other basic concepts in terms of open sets. Most of these will be familiar to the reader from the previous chapter, and he will observe that in every case the definition given here is a strict generalization of our earlier definition or some equivalent form of it.
A closed set in a topological space is a set whose complement is open. The following theorem is an immediate consequence of Eqs. 2-(2) and the assumed properties of open sets.
Theorem A. Let $X$ be a topological space. Then (1) any intersection of closed sets in $X$ is closed; and (2) any finite union of closed sets in $X$ is closed.
By considering the empty class of closed sets, we see at once that the empty set and the full space-its union and intersection-are always slosed sets in every topological space.
If $A$ is a subset of a topological space, then its closure (denoted by $\bar{A}$ ) is the intersection of all closed supersets of $A$. It is easy to see that the closure of $A$ is a closed superset of $A$ which is contained in every closed superset of $A$, and that $A$ is closed $\Leftrightarrow A=\bar{A}$. A subset $A$ of a topological space $X$ is said to be dense (or everywhere dense) if $\bar{A}=X$, and $X$ is called a separable space if it has a countable dense subset. For reasons which will become clear at the end of this section, we summarize the main facts about the operation of forming closures in the following theorem. Its proof is a direct application of the above statements.
Theorem B. Let $X$ be a topological space. If $A$ and $B$ are arbitrary subsets of $X$, then the operation of forming closures has the following four properties: (1) $\bar{\emptyset}=\emptyset$; (2) $A \subseteq \bar{A} ;$ (3) $\bar{A}=\bar{A}$; and (4) $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B}$.
A neighborhood of a point (or a set) in a topological space is an open set which contains the point (or the set). A class of neighborhoods of a point is called an open base for the point (or an open base at the point) if each neighborhood of the point contains a neighborhood in this class. In the case of a point in a metric space, an open sphere centered on the point is a neighborhood of the point, and the class of all such open spheres is an open base for the point. Our next theorem gives a useful characterization (in terms of neighborhoods) of the closure of a set.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE DEFINITION AND SOME EXAMPLES
让X是一个非空集。一类吨的子集X称为拓扑X如果它满足以下两个条件：
(1) 中每一类集合的并集吨是一个集合吨;
(2) 中每个有限类集合的交集吨是一个集合吨.
上的拓扑X因此是一类子集X它在任意并集和有限交集的形成下是封闭的。拓扑空间由两个对象组成：一个非空集X和拓扑吨在X. 类中的集合吨称为拓扑空间的开集(X,吨), 和元素X称为它的点。通常表示拓扑空间(X,吨)通过符号X用于其基础点集。如果一个人清楚地理解拓扑空间不仅仅是一个非空集：它是一个非空集以及该集上的特定拓扑，那么这种做法不会有任何危害。我们通常会在一个给定的集合上考虑多个拓扑，在这些情况下，不同的拓扑使集合成为不同的拓扑空间。我们观察到空集和满空间在每个拓扑空间中总是开集，因为它们是空集集的并集和交集，而空集集是每个拓扑的子集。
我们现在列出拓扑空间的几个简单例子。为了展示一个拓扑空间，必须指定一个非空集，告诉哪些子集被认为是开集，并验证这个给定的集合类满足上面的条件（1）和（2）。在下面的示例中，我们将第三步留给读者。
示例 1. 让X是任何度量空间，并让拓扑是所有子集的类X在 Sec 中的定义意义上是开放的。10. 这称为度量空间上的通常拓扑，我们称这些集合是空间上的度量生成的开集。度量空间是最重要的拓扑空间，每当我们将度量空间称为拓扑空间时，都可以理解（除非我们说相反的话）它的拓扑是这里描述的通常拓扑。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|ELEMENTARY CONCEPTS
我们已经将开集作为拓扑学发展的起点，现在我们根据开集定义了许多其他基本概念。上一章的读者会熟悉其中的大部分内容，他会发现这里给出的每种情况下的定义都是对我们早先定义或它的某种等价形式的严格概括。
拓扑空间中的闭集是补集是开集。以下定理是方程式的直接结果。2-(2) 和假定的开集性质。
定理 A. 让X是一个拓扑空间。那么 (1) 中闭集的任意交集X关闭了; 和 (2) 在X关闭了。
通过考虑闭集的空类，我们立即看到空集和满空间——它的并集和交集——在每个拓扑空间中总是松集。
如果A是拓扑空间的一个子集，那么它的闭包（表示为A¯) 是所有闭超集的交集A. 很容易看出闭包A是一个封闭的超集A它包含在的每个封闭超集中A， 然后A关闭了⇔A=A¯. 一个子集A拓扑空间的X如果A¯=X， 和X如果它有可数的稠密子集，则称为可分离空间。由于在本节末尾将变得清晰的原因，我们在以下定理中总结了有关形成闭包操作的主要事实。它的证明是上述命题的直接应用。
定理 B. 让X是一个拓扑空间。如果A和乙是任意子集X, 那么形成闭包的操作有以下四个性质： (1)∅¯=∅; (2) A⊆A¯; (3) A¯=A¯; 和 (4)A∪乙¯=A¯∪乙¯.
拓扑空间中点（或集）的邻域是包含该点（或集）的开集。如果点的每个邻域都包含此类中的一个邻域，则该点的一类邻域称为该点的开基（或该点的开基）。对于度量空间中的点，以该点为中心的开球是该点的邻域，并且所有此类开球的类是该点的开基。我们的下一个定理给出了集合闭包的有用特征（根据邻域）。
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