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Let $X$ be a topological space. A class $\left{G_i\right}$ of open subsets of $X$ is said to be an open cover of $X$ if each point in $X$ belongs to at least one $G_i$, that is, if $\cup_i G_i=X$. A subclass of an open cover which is itself an open cover is called a subcover. A compact space is a topological space in which every open cover has a finite subcover. A compact subspace of a topological space is a subspace which is compact as a topological space in its own right. We begin by proving two simple but widely used theorems.
Theorem A. Any closed subspace of a compact space is compact. proof. Let $Y$ be a closed subspace of a compact space $X$, and let $\left{G_i\right}$ be an open cover of $Y$. Each $G_i$, being open in the relative topology on $Y$, is the intersection with $Y$ of an open subset $H_i$ of $X$. Since $Y$ is closed, the class composed of $Y^{\prime}$ and all the $H_i{ }^{\prime}$ ‘s is an open cover of $X$, and since $X$ is compact, this open cover has a finite subcover. If $Y^{\prime}$ occurs in this subcover, we discard it. What remains is a finite class of $H_2$ ‘s whose union contains $X$. Our conclusion that $Y$ is compact now follows from the fact that the corresponding $G_i$ ‘s form a finite subcover of the original open cover of $Y$.
Theorem B. Any continuous image of a compact space is compact. Proof. Let $f: X \rightarrow Y$ be a continuous mapping of a compact space $X$ into an arbitrary topological space $Y$. We must show that $f(X)$ is a compact subspace of $Y$. Let $\left{G_i\right}$ be an open cover of $f(X)$. As in the above proof, each $G_{\Delta}$ is the intersection with $f(X)$ of an open subset $H_i$ of $Y$. It is clear that $\left{f^{-1}\left(H_i\right)\right}$ is an open cover of $X$, and by the compactness of $X$ it has a finite subcover. The union of the finite class of $H_i$ ‘s of which these are the inverse images clearly contains $f(X)$, so the class of corresponding $G_i$ ‘s is a finite subcover of the original open cover of $f(X)$, and $f(X)$ is compact.

It is sometimes quite difficult to prove that a given topological space is compact by appealing directly to the definition. The following theorems give several equivalent forms of compactness which are of ten easier to apply.

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There are two main techniques for making new topological spaces out of old ones. The first of these, and the simplest, is to form subspaces of some given space. The second is to multiply together a number of given spaces. Our purpose in this section is to describe the way in which the latter process is carried out.

In Sec. 4 we defined what is meant by the product $P_i X_i$ of an arbitrary non-empty class of sets. We also defined the projection $p_i$ of this product onto its $i$ th coordinate set $X_i$. The reader should make certain that these concepts are firmly in mind. If each coordinate set is a topological space, then there is a standard method of defining a topology on the product. It is difficult to exaggerate the importance of this definition, and we examine it with great care in the following discussion.
Let us begin by recalling the discussion in Sec. 18 of open rectangles and open strips in the Euclidean plane $R^2$. We observed there that the open rectangles form an open base for the topology of $R^2$, and also that the open strips form an open subbase for this topology whose generated open base consists of all open rectangles, all open strips, the empty set, and the full space. The topology of the Euclidean plane is of course defined in terms of a metric. If we wish, however, we can ignore this fact and regard the topology of $R^2$ as generated in the sense of Theorem 18-D by the class of all open strips. This situation provides the motivation for the more general ideas we now develop.

Let $X_1$ and $X_2$ be topological spaces, and form the product $X=X_1 \times X_2$ of the two sets $X_1$ and $X_2$. Consider the class $\mathbf{S}$ of all subsets of $X$ of the form $G_1 \times X_2$ and $X_1 \times G_2$, where $G_1$ and $G_2$ are open subsets of $X_1$ and $X_2$, respectively. The topology on $X$ generated by this class in the sense of Theorem 18-D is called the product topology on $X$.

拓扑学代考

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让X是一个拓扑空间。一类\左{G_i\右}\左{G_i\右}的开放子集X据说是一个开盖X如果每个点在X至少属于一个G我,也就是说,如果∪我G我=X. 本身就是开覆盖的开覆盖的子类称为子覆盖。紧致空间是每个开覆盖都有一个有限子覆盖的拓扑空间。拓扑空间的紧子空间是本身作为拓扑空间是紧的子空间。我们首先证明两个简单但广泛使用的定理。
定理 A. 紧空间的任何闭子空间都是紧的。证明。让和是紧空间的闭子空间X, 然后让\左{G_i\右}\左{G_i\右}是一个开放的封面和. 每个G我, 在相对拓扑中打开和, 是与和一个开放子集H我的X. 自从和是封闭的,由以下组成的类和′和所有的H我′的是一个开盖X, 并且因为X是紧致的,这个开覆盖有一个有限的子覆盖。如果和′出现在这个子覆盖中,我们丢弃它。剩下的是一个有限的类H2的联合包含X. 我们的结论是和现在是紧凑的,因为相应的G我形成原始开覆盖的有限子覆盖和.
定理 B. 紧空间的任何连续图像都是紧的。证明。让F:X→和是紧空间的连续映射X进入任意拓扑空间和. 我们必须表明F(X)是一个紧凑的子空间和. 让\左{G_i\右}\左{G_i\右}是一个开放的封面F(X). 正如上面的证明,每个G丁是与F(X)一个开放子集H我的和. 很清楚\left{f^{-1}\left(H_i\right)\right}\left{f^{-1}\left(H_i\right)\right}是一个开盖X, 并且通过的紧凑性X它有一个有限子覆盖。有限类的联合H我其中这些是反图像清楚地包含F(X), 所以相应的类G我是原始开覆盖的有限子覆盖F(X), 和F(X)很紧凑。

有时很难通过直接求助于定义来证明给定的拓扑空间是紧致的。以下定理给出了几种等价形式的紧致性,其中有十种更容易应用。

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有两种主要的技术可以从旧的拓扑空间中创建新的拓扑空间。第一个,也是最简单的,是形成一些给定空间的子空间。第二种是将多个给定空间相乘。我们在本节中的目的是描述后一个过程的执行方式。

在秒。4 我们定义了产品的含义P我X我任意非空类的集合。我们还定义了投影p我该产品到其我第坐标集X我. 读者应该确保牢记这些概念。如果每个坐标集都是一个拓扑空间,那么就有一个在产品上定义拓扑的标准方法。很难夸大这个定义的重要性,我们在下面的讨论中会非常仔细地研究它。
让我们首先回顾一下第 1 节中的讨论。欧氏平面中的 18 个开放矩形和开放条带R2. 我们在那里观察到,开放的矩形形成了拓扑结构的开放基础R2,而且开条形成了这个拓扑的开子基,其生成的开基由所有开矩形、所有开条、空集和完整空间组成。欧几里德平面的拓扑当然是根据度量定义的。然而,如果我们愿意,我们可以忽略这个事实并考虑R2正如定理 18-D 所产生的那样,由所有开放带的类生成。这种情况为我们现在提出的更普遍的想法提供了动力。

让X1和X2是拓扑空间,并形成产品X=X1×X2两组中的X1和X2. 考虑类小号的所有子集X形式的G1×X2和X1×G2, 在哪里G1和G2是的开子集X1和X2, 分别。上的拓扑X在定理 18-D 的意义上由此类生成的产品拓扑称为X.

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