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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Learning from Similar Systems with Imperfect Data
Here we show how a hierarchical Bayesian data analysis can be carried out to compute the unknown failure rate of a new system, $A$, using historical data gathered from tests conducted on different sets of units of five types of systems, $B_1, \ldots, B_5$, with similar failure behavior to system $A$. Thus, the untested system $A$ is considered to be exchangeable with the tested systems.
In order to assess the failure distribution of the similar systems, we assume that a series of reliability tests have been conducted under the same operational settings for the first four systems, $B_1, \ldots, B_4$, but that the failure data from component $B_5$ is right censored. In the case of $B_1, \ldots, B_4$ the data resulting from these tests consist of the observed TTFs, $\left{t_{i j}\right}, i=1, \ldots, 4$ and $j=1, \ldots, n_i$, after a fixed period of testing time, of $n_i$ items of type $i$. In the case of $B_5$ the data consists of time to failure intervals $\left{t_{5, j}>2000\right}$ and $j=1, \ldots, n_5$, that is, the tests were suspended after 2000 time units. For nonrepairable systems the order of the data is immaterial.
Our aim is to use the sequence of observed failure times and intervals to assess the failure distributions of each one of the similar systems, from which we wish to estimate the posterior predictive failure distribution for $A$. Thus, if $n_i$ independent tests were conducted on components of type $i$ for a defined period of time, $T$, the data result in $n_i$ independent TTF, with underlying Exponential population distribution:
$$
\left{t_{i j}\right}_{i=1}^{n_i} \sim \exp \left(\lambda_i\right), \quad i=1, \ldots, 5
$$
The unknown failure rates, $\lambda_i$, of the $B_i$ similar systems are assumed exchangeable in their joint distribution, reflecting the lack of information-other than data – about the failure distribution of the systems. The parameters $\lambda_i$ are thus considered a sample from the conjugate Gamma prior distribution, governed by unknown hyperparameters $(\alpha, \beta)$ :
$$
\left{\lambda_i\right}_{i=1}^5 \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)
$$
To complete the specification of the hierarchical model, we need to assign a prior probability distribution to the hyperparameters $(\alpha, \beta)$. Since no joint conjugate prior is available when $\alpha$ and $\beta$ are both assumed unknown, their prior distributions are specified independently.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Dynamic Fault Trees
Most reliability analysis methods are based on parametric and nonparametric statistical models of TTF data and associated metrics. The underlying assumption of these methods is that a coherent, statistical model of system failure time can be developed that will prove stable enough to accurately predict a system’s behavior over its lifetime. However, given the increasing complexity of the component dependencies and failure behaviors of today’s real-time safety-critical systems, the statistical models may not be feasible to build or computationally tractable. This has led to an increasing interest in more flexible modeling frameworks for reliability analysis. The most notable such framework, dynamic fault trees (DFTs), extends FTs by incorporating event dependent behaviors (sequence-dependent failures, functional dependencies, and stand-by spares) of fault-tolerant systems.
Here a DFT is represented by an equivalent “event-based” BN with continuous random variables representing the TTF of the components of the system. These can be either the TTF of elementary components of the system, or the TTF of the fault tree constructs. In the latter case, the nodes in the $\mathrm{BN}$ are connected by means of incoming arcs to several components’ TTFs and are defined as deterministic functions of the corresponding input components’ TTF as shown in the example in Figure 14.11.
In order to specify the probability distribution of the $\mathrm{BN}$, we must give the marginal probability density functions of all root nodes and the NPTs and functions of all nonroot nodes. If the TTF nodes corresponding to elementary components of the system (or some subsystem) are assumed statistically independent (as is the case in standard static FT analysis, or dynamic gates with independent inputs), these are characterized by their marginal probability distributions. The marginal TTF distributions of the root nodes are generally given by standard probability density functions. For example, in Figure 14.11 there are two root nodes corresponding to components $A$, and $B$. The TTF distributions for component $A$ is defined as an exponential distribution with parameter $\lambda_A$, while the TTF distribution for component $B$ is defined as a Weibull distribution with shape parameter $\beta_C$ and scale parameter $\mu_C$. The values of the parameters of these density functions can be either obtained as prior information according to expert knowledge or estimated in a previous reliability data analysis step if some failure data is available.
贝叶斯分析代考
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Learning from Similar Systems with Imperfect Data
在这里，我们展示了如何进行分层贝叶斯数据分析来计算新系统的末知故障率， $A$ ，使 用从对五种系统的不同单元集进行的测试中收集的历史数据， $B_1, \ldots, B_5$ ，具有与系 统类似的故障行为 $A$. 因此，末经测试的系统 $A$ 被认为可以与测试系统互换。
为了评估类似系统的故障分布，我们假设前四个系统在相同的操作设置下进行了一系列 可靠性测试， $B_1, \ldots, B_4$ ，但是来自组件的故障数据 $B_5$ 是正确的审查。如果是 $B_1, \ldots, B_4$ 这些测试产生的数据包括观察到的 TTF， $\backslash$ left{t_{i j $\left.} \backslash r i g h t\right}, i=1, \backslash$ dots 4 和 $j=1, \ldots, n_i$ ，经过一段固定的测试时间后， $n_i$ 项目类型 $i$. 如果是 $B_5$ 数据由故障间隔 时间组成 \left } { \text { t_{5, j}>2000\right } } \text { 和 } j = 1 , \ldots , n _ { 5 } \text { ，即测试在 } 2 0 0 0 \text { 个时间单位后暂停。 } 对于不可修复的系统，数据的顺序是无关紧要的。
我们的目标是使用观察到的故障时间和间隔序列来评估每个相似系统的故障分布，我们 希望从中估计后验预测故障分布 $A$. 因此，如果 $n_i$ 对类型的组件进行了独立测试 $i$ 在规定 的时间段内， $T$ ，数据结果为 $n_i$ 独立的 TTF，具有潜在的指数人口分布:
末知的故障率， $\lambda_i$ ，的 $B_i$ 假设类似的系统在其联合分布中是可交换的，这反映出除了 数据之外缺乏关于系统故障分布的信息。参数 $\lambda_i$ 因此被认为是来自共轭伽马先验分布的 样本，由末知的超参数控制 $(\alpha, \beta)$ :
为了完成层次模型的规范，我们需要为超参数分配一个先验概率分布 $(\alpha, \beta)$. 由于没有 联合共轭先验可用时 $\alpha$ 和 $\beta$ 都假定为末知，它们的先验分布是独立指定的。
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Dynamic Fault Trees
大多数可靠性分析方法基于 TTF 数据和相关指标的参数和非参数统计模型。这些方法的基本假设是可以开发一个连贯的系统故障时间统计模型，该模型将被证明足够稳定以准确预测系统在其生命周期内的行为。然而，考虑到当今实时安全关键系统的组件依赖性和故障行为越来越复杂，统计模型可能无法构建或在计算上难以处理。这导致人们对用于可靠性分析的更灵活的建模框架越来越感兴趣。最著名的此类框架是动态故障树 (DFT)，它通过合并事件相关行为（序列相关故障、功能相关性、
这里 DFT 由等效的“基于事件的”BN 表示，连续随机变量表示系统组件的 TTF。这些可以是系统基本组件的 TTF，也可以是故障树构造的 TTF。在后一种情况下，节点中的乙否通过传入弧连接到几个组件的 TTF，并被定义为相应输入组件的 TTF 的确定性函数，如图 14.11 中的示例所示。
为了指定概率分布乙否，我们必须给出所有根节点的边际概率密度函数和所有非根节点的 NPT 和函数。如果假设与系统（或某些子系统）的基本组件相对应的 TTF 节点在统计上是独立的（如标准静态 FT 分析或具有独立输入的动态门的情况），则这些节点的特征在于它们的边际概率分布。根节点的边缘 TTF 分布通常由标准概率密度函数给出。例如图14.11中有两个根节点对应组件A， 和乙. 组件的 TTF 分布A被定义为具有参数的指数分布升A，而组件的 TTF 分布乙被定义为具有形状参数的 Weibull 分布bC和尺度参数米C. 这些密度函数的参数值可以根据专家知识作为先验信息获得，或者如果有一些故障数据可用，则可以在先前的可靠性数据分析步骤中估计。
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