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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Sample quantiles and order statistics
Mean and variance are not the only measures of central tendency and spread. Commonly quoted alternative measures include the median and interquartile range, both of which are calculated from quantiles. Quantile-based statistics are generally more robust than moment-based statistics; in other words, quantile-based statistics are less sensitive to extreme observations.
For a random variable $Y$ with cumulative distribution function $F_Y$, the $\alpha$-quantile is defined as the smallest value, $q_\alpha$, such that $F_Y\left(q_\alpha\right)=\alpha$. The median of a distribution is the point that has half the mass above and half the mass below it, $\operatorname{med}(Y)=q_{0.5}$. The interquartile range is the difference between the upper and lower quartiles, $\operatorname{IQR}(Y)=q_{0.75}-q_{0.25}$. In the context of inference, the median, interquartile range, and other functions of quantiles may be viewed as population parameters to be estimated. An obvious starting point for estimating population quantiles is to define sample quantiles. In turn, sample quantiles are most readily constructed from order statistics.
Definition 7.4.1 (Order statistics)
For a sample, $Y_1, \ldots, Y_n$, the order statistics, $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$, are the sample values placed in ascending order. Thus, $Y_{(i)}$ is the $i^{\text {th }}$ smallest value in our sample.
A simple consequence of our definition is that order statistics are random variables, $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$, such that
$$
Y_{(1)} \leq Y_{(2)} \leq \ldots \leq Y_{(n)} .
$$
Definition 7.4.1 does odd things with random variables. In particular, we say that
$$
Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}
$$
arise from putting
$$
Y_1, \ldots, Y_n
$$
in ascending order. We can make this more precise using the definition of random variables as functions from the sample space, $\Omega$, to the real line, $\mathbb{R}$. The order statistics, $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$, are the functions such that, for every $\omega \in \Omega$,
$$
Y_{(1)}(\omega), \ldots, Y_{(n)}(\omega)
$$
is an ordering of $Y_1(\omega), \ldots, Y_n(\omega)$ satisfying
$$
Y_{(1)}(\omega) \leq Y_{(2)}(\omega) \leq \ldots \leq Y_{(n)}(\omega)
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Functions of a sample
The formal definition of a statistic is surprisingly loose: any function of the sample is a statistic. The function may be scalar-valued or vector-valued. As the sample is a random vector, a statistic is also a random vector.
Definition 8.1.1 (Statistic)
For a sample, $\boldsymbol{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T$, a statistic, $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{Y})$, is a random vector that is a function of the sample and known constants alone. Given an observed sample, $\boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^T$, we can compute the observed value of a statistic, $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{y})$.
Loose definitions crop up repeatedly in statistical inference. Our approach is to define concepts very broadly, then specify desirable characteristics that will only be found in members of a much smaller subset. Statistics are useful as devices for data reduction when their dimension is smaller than that of the sample. In particular, we will often consider scalar statistics, that is, statistics that reduce the sample to a single random variable.
The distribution of the statistic $\boldsymbol{U}$ is often referred to as the sampling distribution of $\boldsymbol{U}$. Although a statistic is a function of the sample and known constants alone, the distribution of a statistic may depend on unknown parameters. The observed value of a statistic, $\boldsymbol{u}$, is just a vector of real numbers. Just as the observed sample, $\boldsymbol{y}$, is thought of as one instance of the sample, $\boldsymbol{Y}$, the value $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{y})$ is taken to be one instance of the statistic $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{Y})$.
In some cases, we can use the distributional results from previous chapters to work out the sampling distributions of statistics of interest. In others, the mathematics involved are not tractable and we need to resolve to simulation-based approaches; these are discussed in Chapter 12.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Sample quantiles and order statistics
均值和方差不是集中趋势和散布的唯一度量。通常引用的替代措施包括中位数和四分位 数范围，两者都是根据分位数计算的。基于分位数的统计通常比基于矩的统计更稳健； 换句话说，基于分位数的统计数据对极端观察不太敏感。
对于随机变量 $Y$ 具有累积分布函数 $F_Y$ ，这 $\alpha$-分位数定义为最小值， $q_\alpha$ ，这样 $F_Y\left(q_\alpha\right)=\alpha$. 分布的中位数是其上方一半质量和下方一半质量的点， $\operatorname{med}(Y)=q_{0.5}$. 四分位数范围是上四分位数和下四分位数之间的差值， $\operatorname{IQR}(Y)=q_{0.75}-q_{0.25}$. 在推 理的上下文中，中位数、四分位数间距和分位数的其他函数可被视为要估计的总体参 数。估计总体分位数的一个明显起点是定义样本分位数。反过来，样本分位数最容易从 订单统计数据中构建。
定义 7.4.1 (订单统计)
对于样本， $Y_1, \ldots, Y_n$ ，订单统计， $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$ ，是按升序排列的样本值。因此， $Y_{(i)}$ 是个 $i$ th 我们样本中的最小值。
我们定义的一个简单结果是订单统计是随机变量， $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$ ，这样
$$
Y_{(1)} \leq Y_{(2)} \leq \cdots \leq Y_{(n)}
$$
定义 7.4.1 对随机变量做了奇怪的事情。特别地，我们说
$$
Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}
$$
产生于放置
$$
Y_1, \ldots, Y_n
$$
按升序排列。我们可以使用随机变量的定义作为样本空间的函数来使其更精确， $\Omega$, 到 实线, $\mathbb{R}$. 订单统计， $Y_{(1)}, \ldots, Y_{(n)}$, 是这样的功能，对于每个 $\omega \in \Omega$ ，
$$
Y_{(1)}(\omega), \ldots, Y_{(n)}(\omega)
$$
是一个命令 $Y_1(\omega), \ldots, Y_n(\omega)$ 令人满意
$$
Y_{(1)}(\omega) \leq Y_{(2)}(\omega) \leq \ldots \leq Y_{(n)}(\omega)
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Functions of a sample
统计量的正式定义出奇地宽松：样本的任何函数都是统计量。该函数可以是标量值或矢 量值。由于样本是随机向量，因此统计量也是随机向量。
定义 8.1.1 (统计)
对于样本， $\boldsymbol{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T$, 一个统计 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{Y})$, 是一个随机向量， 它是样本和 已知常数的单独函数。给定一个观察样本， $\boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^T$ ，我们可以计算统计的 观察值， $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{y})$
松散的定义在统计推断中反复出现。我们的方法是非常广泛地定义概念，然后指定只能 在更小的子集中的成员中找到的理想特征。当统计数据的维度小于样本的维度时，统计 数据可用作数据缩减工具。特别是，我们经常会考虑标量统计，即将样本简化为单个随 机变量的统计。
统计分布 $\boldsymbol{U}$ 通常被称为抽样分布 $\boldsymbol{U}$. 尽管统计量是样本和已知常量单独的函数，但统计 量的分布可能取决于末知参数。统计量的观察值， $\boldsymbol{u}$, 只是一个实数向量。正如观察到 的样本， $\boldsymbol{y}$, 被认为是样本的一个实例， $\boldsymbol{Y}$ ，价值 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{y})$ 被认为是统计的一个实例 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{h}(\boldsymbol{Y})$
在某些情况下，我们可以使用前面章节的分布结果来计算感兴最统计的抽样分布。在其 他情况下，所涉及的数学不易处理，我们需要解决基于模拟的方法；这些将在第 12 章 中讨论。
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