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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Pivotal functions
Consider the following situation: if $\boldsymbol{Y}$ is a random sample from an $\mathrm{N}(\mu, 1)$ distribution and $\bar{Y}$ is the sample mean, we know that $\sqrt{n}(\bar{Y}-\mu) \sim \mathrm{N}(0,1)$ is a function of $\boldsymbol{Y}$ and $\mu$ whose distribution does not depend on $\mu$. This is an example of a pivotal function. Pivotal functions play a fundamental (or, even, pivotal) role in the construction of confidence intervals. We start with a more formal definition.
Definition 8.1.2 (Pivotal function)
Consider a sample $\boldsymbol{Y}$ and a scalar parameter $\theta$. Let $g(\boldsymbol{Y}, \theta)$ be a function of $\boldsymbol{Y}$ and $\theta$ that does not involve any unknown parameter other than $\theta$. We say that $g(\boldsymbol{Y}, \theta)$ is a pivotal function if its distribution does not depend on $\theta$.
Note that a pivotal function defines a random variable, say $W=g(\boldsymbol{Y}, \theta)$. By definition, the distribution of $W$ does not depend on $\theta$.
We illustrate the use of pivotal functions with examples. Before we start on the examples, we introduce a distribution that plays an important role in both interval estimation and hypothesis testing.
Definition 8.1.3 ( $t$-distribution)
Suppose that $Z$ has a standard normal distribution and $V$ has a chi-squared distribution on $k$ degrees of freedom, that is, $Z \sim \mathrm{N}(0,1)$ and $V \sim \chi_k^2$. Suppose also that $Z$ and $V$ are independent. If we define
$$
T=\frac{Z}{\sqrt{V / k}},
$$
then $T$ has a $t$-distribution on $k$ degrees of freedom, denoted $T \sim t_k$. The density function of the $t$-distribution is
$$
f_T(t)=\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{k \pi} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{-(k+1) / 2} \text { for }-\infty<t<\infty .
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Point estimation
Consider a scalar parameter $\theta$; here, $\theta$ is just a single unknown number. Any method for estimating the value of $\theta$ based on a sample of size $n$ can be represented as a function $h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. When this function is applied to the observed sample it yields a point estimate, $h(\boldsymbol{y})$. This estimate is just a number. In order to gain an insight into the properties of the estimation method, we consider applying the function to the sample. The resulting random variable, $h(\boldsymbol{Y})$, is referred to as a point estimator. Notice the rather subtle distinction here between an estimator, which is a statistic (random variable), and an estimate, which is an observed value of a statistic (just a number).
It is clear that any point estimator is a statistic. In fact, this association goes in both directions, as the following definition makes clear.
Definition 8.2.1 (Point estimator)
Any scalar statistic may be taken to be a point estimator for a parameter, $\theta$. An observed value of this statistic is referred to as a point estimate.
Definition 8.2.1 seems rather loose; we do not mention anything about restricting our attention to point estimators that are likely to yield estimates close to the true value. In subsection 8.2 .1 we introduce the concepts of bias, mean squared error, and consistency. These concepts allow us to formalise “likely to yield estimates close to the true value” as a desirable property of a point estimator. Some commonly used point estimators are given in the following example.
Example 8.2.2 (Some well-known point estimators)
Consider an observed sample $y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^T$ that we view as an instance of the sample $\boldsymbol{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T$. An obvious statistic to calculate is the sample mean. The observed value of the sample mean is
$$
\bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_j
$$
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Pivotal functions
考虑以下情况: 如果 $\boldsymbol{Y}$ 是一个随机样本 $\mathrm{N}(\mu, 1)$ 分布和 $\bar{Y}$ 是样本均值，我们知道 $\sqrt{n}(\bar{Y}-\mu) \sim \mathrm{N}(0,1)$ 是一个函数 $\boldsymbol{Y}$ 和 $\mu$ 其分布不依赖于 $\mu$. 这是一个关键函数的例 子。关键函数在置信区间的构建中起着基础 (或者甚至是关键) 的作用。我们从一个更 正式的定义开始。
定义 8.1.2 (关键函数)
考虑样本 $\boldsymbol{Y}$ 和一个标量参数 $\theta$. 让 $g(\boldsymbol{Y}, \theta)$ 是一个函数 $\boldsymbol{Y}$ 和 $\theta$ 不涉及除以外的任何末知参数 $\theta$. 我们说 $g(\boldsymbol{Y}, \theta)$ 是一个关键函数，如果它的分布不依赖于 $\theta$.
请注意，关键函数定义了一个随机变量，例如 $W=g(\boldsymbol{Y}, \theta)$. 根据定义，分布 $W$ 不依赖 于 $\theta$.
我们通过示例说明关键函数的使用。在开始示例之前，我们先介绍一个在区间估计和假 设检验中都起着重要作用的分布。
定义 8.1.3 ( $t$-分布)
假设 $Z$ 服从标准正态分布，并且 $V$ 具有卡方分布 $k$ 自由度，即 $Z \sim \mathrm{N}(0,1)$ 和 $V \sim \chi_k^2$. 还假设 $Z$ 和 $V$ 是独立的。如果我们定义
$$
T=\frac{Z}{\sqrt{V / k}}
$$
然后 $T$ 有一个 $t$-分布于 $k$ 自由度，记为 $T \sim t_k$. 的密度函数 $t$-分布是
$$
f_T(t)=\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{k \pi} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{-(k+1) / 2} \text { for }-\infty<t<\infty .
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Point estimation
考虑一个标量参数 $\theta ;$; 这里， $\theta$ 只是一个末知数。任何估计价值的方法 $\theta$ 基于样本大小 $n$ 可 以表示为一个函数 $h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. 当这个函数应用于观察样本时，它会产生一个点估 计， $h(\boldsymbol{y})$. 这个估计只是一个数字。为了深入了解估计方法的属性，我们考虑将该函数 应用于样本。产生的随机变量， $h(\boldsymbol{Y})$, 被称为点估计器。请注意这里的估计量 (一种统 计量 (随机变量)) 和估计量 (一种统计量的观察值 (只是一个数字) ) 之间相当微妙 的区别。
很明显，任何点估计量都是统计量。事实上，这种关联是双向的，正如下面的定义所表 明的那样。
定义 8.2.1 (点估计量)
任何标量统计量都可以作为参数的点估计量， $\theta$. 该统计量的观察值称为点估计。
定义 8.2.1 似乎相当宽松；我们没有提及将我们的注意力限制在可能产生接近真实值的 估计值的点估计器上。在 8.2.1 小节中，我们介绍了偏差、均方误差和一致性的概念。 这些概念使我们能够将”可能产生接近真实值的估计”形式化为点估计器的理想属性。以 下示例给出了一些常用的点估计器。
例 8.2.2 (一些著名的点估计)
考虑一个观察样本 $y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^T$ 我们将其视为样本的一个实例
$\boldsymbol{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T$. 要计算的一个明显统计量是样本均值。样本均值的观测值是
$$
\bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_j
$$
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