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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Ramsey RESET test for general misspecification
One of the most commonly used tests for general misspecification is Ramsey’s (1969) Regressions Equation Specification Error Test (RESET). As with many tests, this has both an $F$ form and an $L M$ form. Suppose the ‘true’ population model is:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_2^2+u
$$
and we wrongly estimate:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\hat{u}^*
$$
where we omit $X_2^2$ because we do not know the real nature of $Y$.
The RESET test for such misspecification is based on the fitted values of $Y$ obtained from the regression in Equation (8.53) as:
$$
\hat{Y}=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2 X_2
$$
The RESET test involves including various powers of $\hat{Y}$ as proxies for $X_2^2$ that can capture possible non-linear relationships. Before implementing the test we need to decide how many terms are to be included in the expanded regression. There is no formal answer to this question, but in general the squared and cubed terms have proved to be useful in most applications; so the expanded equation will be:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\delta_1 \hat{Y}^2+\delta_2 \hat{Y}^3+\epsilon
$$
Then the situation boils down to a regular $F$-type test for the additional explanatory variables $\hat{Y}^2$ and $\hat{Y}^3$. If one or more of the coefficients is significant this is evidence of general misspecification. A big drawback of the RESET test is that if we reject the null hypothesis of a correct specification, this merely indicates that the equation is misspecified in one way or another, without providing us with alternative models that are correct.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Tests for non-nested models
To test models that are non-nested the $F$-type test cannot be used. By non-nested models we mean models in which neither equation is a special case of the other; in other words, we do not have a restricted and an unrestricted model.
Suppose, for example, that we have the following two models:
$$
\begin{gathered}
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+u \
Y=\beta_1+\beta_2 \ln \left(X_2\right)+\beta_3 \ln \left(X_3\right)+\varepsilon
\end{gathered}
$$
and that we want to test the first against the second, and vice versa. There are two different approaches.
The first is an approach proposed by Mizon and Richard (1986), who simply suggest the estimation of a comprehensive model of the form:
$$
Y=\delta_1+\delta_2 X_2+\delta_3 X_3+\delta_4 \ln \left(X_2\right)+\delta_5 \ln \left(X_3\right)+\epsilon
$$ then apply an $F$-test for significance of $\delta_2$ and $\delta_3$, having as the restricted model Equation (8.57), or test for $\delta_4$ and $\delta_5$, having as the unrestricted model Equation (8.56). The second approach is proposed by Davidson and MacKinnon (1993), who suggest that if the model in Equation (8.56) is true, then the fitted values of Equation (8.57) should be insignificant in Equation (8.56) and vice versa. Therefore, in order to test Equation (8.56) we need first to estimate Equation (8.57) and take the fitted values of this model, which may be called $\widetilde{Y}$. The test is then based on the $t$-statistic of $\widetilde{Y}$ in the following equation:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\zeta \tilde{Y}+v
$$
where a significant $\zeta$ coefficient will suggest, of course, the rejection of Equation (8.56). A drawback of this test is that the comprehensive Equation (8.58) may not make sense from an economic theory point of view.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Ramsey RESET test for general misspecification
一般错误指定最常用的测试之一是 Ramsey (1969) 回归方程指定错误测试 (RESET)。与 许多测试一样，这既有 $F$ 形式和 $L M$ 形式。假设“真实”人口模型是:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_2^2+u
$$
我们错误地估计：
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\hat{u}^*
$$
我们省略的地方 $X_2^2$ 因为我们不知道它的真正本质 $Y$.
此类错误指定的 RESET 测试基于以下的拟合值 $Y$ 由方程 (8.53) 的回归得到:
$$
\hat{Y}=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2 X_2
$$
RESET 测试包括各种权力 $\hat{Y}$ 作为代理 $X_2^2$ 可以捕获可能的非线性关系。在实施测试之 前，我们需要决定扩展回归中要包含多少项。这个问题没有正式的答案，但总的来说， 平方项和立方项在大多数应用中都被证明是有用的；所以扩展方程将是:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\delta_1 \hat{Y}^2+\delta_2 \hat{Y}^3+\epsilon
$$
然后情况归结为常规 $F$ – 附加解释变量的型式检验 $\hat{Y}^2$ 和 $\hat{Y}^3$. 如果一个或多个系数显着， 这就是普遍错误指定的证据。RESET 检验的一大缺点是，如果我们拒绝正确设定的原假 设，这仅表明方程以某种方式被错误指定，而没有为我们提供正确的替代模型。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Tests for non-nested models
要测试非嵌套模型 $F$ 不能使用型式试验。非嵌套模型是指两个方程都不是另一个方程的 特例的模型；换句话说，我们没有受限和不受限的模型。
例如，假设我们有以下两个模型:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+u Y=\beta_1+\beta_2 \ln \left(X_2\right)+\beta_3 \ln \left(X_3\right)+\varepsilon
$$
并且我们想要测试第一个与第二个，反之亦然。有两种不同的方法。
第一种是 Mizon 和 Richard (1986) 提出的方法，他们只是建议估计以下形式的综合模 型:
$$
Y=\delta_1+\delta_2 X_2+\delta_3 X_3+\delta_4 \ln \left(X_2\right)+\delta_5 \ln \left(X_3\right)+\epsilon
$$
然后申请 $F$-检验意义 $\delta_2$ 和 $\delta_3$ ，作为受限模型方程 (8.57), 或检验 $\delta_4$ 和 $\delta_5$, 作为无限制模型 方程 (8.56)。第二种方法由 Davidson 和 MacKinnon (1993) 提出，他们建议如果方程 (8.56) 中的模型为真，则方程 (8.57) 的拟合值在方程 (8.56) 中应该是微不足道的，反之 亦然。因此，为了检验方程 (8.56)，我们需要首先估计方程 (8.57) 并取该模型的似 合值，这可以称为 $\tilde{Y}$. 然后测试基于 $t$ – 的统计 $\tilde{Y}$ 在下面的等式中:
$$
Y=\beta_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\zeta \tilde{Y}+v
$$
一个重要的地方 $\zeta$ 当然，系数将表明拒绝方程式 (8.56)。该检验的一个缺点是，从经 济理论的角度来看，综合方程式 (8.58) 可能没有意义。
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