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The probability amplitude $\alpha(t)$ of survival in $|e\rangle$, at the energy $\hbar \omega_{\mathrm{a}}$, satisfies the following exact integrodifferential equation
$$
\dot{\alpha}=-\int_0^t d t^{\prime} e^{i \omega_2\left(t-t^{\prime}\right)} \Phi\left(t-t^{\prime}\right) \alpha\left(t^{\prime}\right),
$$
where $\alpha(t)=\langle e \mid \Psi(t)\rangle e^{i \omega_{\mathrm{a}} t}$ and
$$
\Phi(t)=\hbar^{-2}\left\langle e\left|V^{-i H_0 t / \hbar} V\right| e\right\rangle=\hbar^{-2} \sum_n\left|V_{e n}\right|^2 e^{-i \omega_n t}
$$
is the bath autocorrelation function (Ch. 2), expressed by $V_{e n}=\langle e|V| n\rangle$, where $|n\rangle(\neq|e\rangle)$ are $H_0$ eigenstates with energies $\hbar \omega_n$, which we treat as the bath.

Equation (10.13) is exactly soluble, but here we investigate its short-time behavior, which is obtainable by setting $\alpha\left(t^{\prime}\right) \approx \alpha(0)=1$ in (10.13). This results in the expression
$$
\alpha(t)=1-\int_0^t d t^{\prime} e^{i \omega_{\mathrm{a}} t^{\prime}}\left(t-t^{\prime}\right) \Phi\left(t^{\prime}\right),
$$
which encompasses all powers of $t$ (in the phase factors!) and allows for interference between various decay channels. By contrast, the standard quadratic expansion in $t$ yields the population time-dependence [cf. (10.3)],
$$
\rho_{e e}(t)=|\alpha(t)|^2 \approx 1-t^2 / \tau_Z^2
$$
where the Zeno time
$$
\tau_Z=\hbar / \Delta E_e
$$
is the inverse variance of the energy in $|e\rangle$ [cf. Eq. (10.4)]. Yet the estimate (10.16) may fail, as discussed below, since (10.15) may not only yield the QZE but also its inverse, the anti-Zeno effect (AZE), depending on the short-time behavior of $|\alpha(t)|^2$.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Decay Modification by Realistic Measurements

Thus far, we have assumed in this section instantaneous measurements of $|e\rangle$. Does a more realistic description of measurements support these foregoing results? The answer is affirmative for the two possible types of measurements of $|e\rangle$ :
(a) Impulsive measurements are realizable, as in Cook’s scheme (Fig. 10.4): The decay process is then repeatedly interrupted by short pulses, each pulse transferring the population of $|e\rangle$ to a higher state $|u\rangle$, which then decays back to $|e\rangle$ through photon emission. The basic requirement for impulsive measurements is that the duration of the $|e\rangle \rightarrow|u\rangle$ transfer followed by $|u\rangle \rightarrow|e\rangle$ decay is much shorter than all other timescales in the process, notably the memory time of the bath as discussed below. The same procedure may be carried out by similarly acting on the initially unoccupied state $|g\rangle$.
(b) Continuous measurements that act weakly on the system, causing only partial state reduction at any given time. Such measurements should not be misconstrued as the limit of successive projections separated by vanishingly short intervals, $\tau \rightarrow 0$ : Such infinitely frequent projections are unphysical, corresponding to an infinite energy spread $\hbar / \tau$. Continuous measurements are feasible when the state is monitored incessantly, but they still require a finite time $\tau$ for completing an observation (i.e., they have a finite effective rate $1 / \tau_{\mathrm{d}}$ ).

Measurements can be either selective or nonselective, regardless of whether they are impulsive or continuous. Thus, measurements in Cook’s scheme are selective if the photons emitted at the $|u\rangle \rightarrow|e\rangle$ transition are detected and the detection results are read out. The measurements are nonselective if the results are unread. The same is true for continuous measurements. Finally, if the photons are not detected, then the process is unitary but has the same effect on the TLS evolution as nonselective measurements. Such a unitary process that emulates nonselective measurements was implemented in the pioneering experiment by Itano et al. (1990).

热力学代考

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概率幅度 $\alpha(t)$ 生存的 $|e\rangle$ ，在能量 $\hbar \omega_{\mathrm{a}}$ ，满足以下精确积分微分方程
$$
\dot{\alpha}=-\int_0^t d t^{\prime} e^{i \omega_2\left(t-t^{\prime}\right)} \Phi\left(t-t^{\prime}\right) \alpha\left(t^{\prime}\right)
$$
在哪里 $\alpha(t)=\langle e \mid \Psi(t)\rangle e^{i \omega_{\mathrm{a}} t}$ 和
$$
\Phi(t)=\hbar^{-2}\left\langle e\left|V^{-i H_0 t / \hbar} V\right| e\right\rangle=\hbar^{-2} \sum_n\left|V_{e n}\right|^2 e^{-i \omega_n t}
$$
是 bath 自相关函数 (第 2 章)，表示为 $V_{e n}=\langle e|V| n\rangle ＼mathrm{~ ， ~ 在 哪 里 ~}|n\rangle(\neq|e\rangle)$ 是 $H_0$ 具 有能量的本征态 $\hbar \omega_n$ ，我们将其视为浴缸。
等式 (10.13) 是完全可解的，但在这里我们研究它的短时行为，这可以通过设置 $\alpha\left(t^{\prime}\right) \approx \alpha(0)=1$ 在 (10.13) 中。这导致表达式
$$
\alpha(t)=1-\int_0^t d t^{\prime} e^{i \omega_{\mathrm{a}} t^{\prime}}\left(t-t^{\prime}\right) \Phi\left(t^{\prime}\right)
$$
包括所有权力 $t$ （在相位因素中!）并允许各种衰减通道之间的干扰。相比之下，标准 的二次展开式 $t$ 产生人口时间依赖性[cf。(10.3)],
$$
\rho_{e e}(t)=|\alpha(t)|^2 \approx 1-t^2 / \tau_Z^2
$$
芝诺时间在哪里
$$
\tau_Z=\hbar / \Delta E_e
$$
是能量的逆方差 $|e\rangle$ [比照。当量。(10.4)]。然而，如下所述，估计 (10.16) 可能会失败， 因为 (10.15) 可能不仅会产生 QZE，还会产生反芝诺效应 (AZE)，这取决于 $|\alpha(t)|^2$.

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到目前为止，我们在本节中假设瞬时测量 $|e\rangle$. 更现实的测量描述是否支持上述结果? 对 于两种可能的测量类型，答案是肯定的 $|e\rangle$ :
（a）脉冲测量是可以实现的，如 Cook 的方案 (图 10.4)：然后衰变过程被短脉冲 复打断，每个脉冲转移 $|e\rangle$ 到更高的境界 $|u\rangle$ ，然后衰减回 $|e\rangle$ 通过光子发射。脉冲测量的 基本要求是持续时间 $|e\rangle \rightarrow|u\rangle\rangle$ 转移其次 $|u\rangle \rightarrow|e\rangle$ 衰变比过程中的所有其他时间尺度短 得多，特别是下面讨论的浴的记忆时间。可以通过对最初末占用的状态进行类似操作来 执行相同的过程 $|g\rangle$.
(b) 对系统作用微弱的连续侧量，在任何给定时间仅导致部分状态减少。这种测量不应 被误解为由极短的间隔分隔的连续投影的极限， $\tau \rightarrow 0 ：$ 这种无限频繁的投射是非物理 的，对应于无限的能量传播 $\hbar / \tau$. 持续监测状态时，连续测量是可行的，但它们仍然需 要有限的时间 $\tau$ 完成观察 (即，他们有一个有限的有效率 $1 / \tau_d$ ).
测量可以是选择性的或非选择性的，无论它们是脉仲的还是连续的。因此，如果光子在 $|u\rangle \rightarrow|e\rangle$ 转变被检测并且检恻结果被读出。如果结果末被读取，则测量是非选择性 的。连续测量也是如此。最后，如果末检恻到光子，则该过程是单一的，但对 TLS 演化 的影响与非选择性测量相同。Itano 等人在开创性实验中实施了这种模拟非选择性测量 的单一过程。(1990)。

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