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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Measurements by a Qubit Meter

The foregoing results can be illustrated for a TLS state measured by a qubit meter. For a TLS initially in the general state $\left|\psi_{\mathrm{S}}\right\rangle=c_g|g\rangle+c_g|e\rangle$ and a qubit meter in the state $|0\rangle$, a CNOT gate operation on $\left|\psi_{\mathrm{SM}}(0)\right\rangle=\left|\psi_{\mathrm{S}}\right\rangle|0\rangle$ yields the S-M correlated state
$$
\left|\psi_{\mathrm{SM}}\left(\tau_{\mathrm{M}}\right)\right\rangle=c_g|g 0\rangle+c_e|e 1\rangle
$$
The state (9.29) implies that the SP basis is ${|0\rangle,|1\rangle}$, whereas the general pointer basis is
$$
\left|R_0\right\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle, \quad\left|R_1\right\rangle=b^|0\rangle-a^|1\rangle
$$
with $|a|^2+|b|^2=1$.
According to (9.17),
$$
\left|\tilde{S}_0^{\prime}\right\rangle=a^* c_g|g\rangle+b^* c_e|e\rangle, \quad\left|\tilde{S}_1^{\prime}\right\rangle=b c_g|g\rangle-a c_e|e\rangle .
$$
Now
$$
\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ll}
|a|^2 & |b|^2 \
|b|^2 & |a|^2
\end{array}\right)
$$
and its determinant
$$
D=|a|^4-|b|^4=|a|^2-|b|^2=1-2|b|^2 .
$$
When $D \neq 0, c$ can be computed from (9.22), yielding
$$
\left|c_g\right|^2=\frac{p_0-|b|^2}{1-2|b|^2}, \quad\left|c_e\right|^2=\frac{p_1-|b|^2}{1-2|b|^2} .
$$
When $D=0,|a|^2=|b|^2=1 / 2$, that is, the pointer basis is of the form
$$
\left{\left(|0\rangle+e^{i \phi}|1\rangle\right) / \sqrt{2}, \quad\left(|0\rangle-e^{i \phi}|1\rangle\right) / \sqrt{2}\right},
$$
where $\phi$ is an arbitrary phase. Such pointer bases, lying in the $x y$-plane of the Bloch sphere, are all the bases that are unbiased with respect to the SP basis. Measurements employing these pointers do not provide information on the system, yielding instead the random results [see (9.28)]
$$
p_0=p_1=1 / 2
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Decoherence of Entangled System–Meter States

In the preceding section we disproved the statement (a) presented at the beginning of Section 9.1. Below we also disprove statement (b) therein.

Let us now account for the meter-bath (M-B) interaction via a term in the total Hamiltonian written in the interaction representation,
$$
H^{\mathrm{I}}(t)=H_{\mathrm{SM}}^{\mathrm{I}}(t)+H_{\mathrm{MB}}^{\mathrm{I}}(t)
$$
We assume that there is a nondegenerate meter variable $\hat{Q}$ that satisfies the backaction evasion condition for the M-B interaction,
$$
\left[\hat{Q}, H_{\mathrm{MB}}^{\mathrm{I}}(t)\right]=0 .
$$
This ensures that the eigenstates $\left|Q_n\right\rangle$ of $\hat{Q}$ are invariant under decoherence. The eigenstates $\left|Q_n\right\rangle$ are sometimes called “pointer states,” although the basis $\left{\left|Q_n\right\rangle\right}$ generally differs from the SP basis.

Still, let us consider first the case where the SP basis coincides with $\left{\left|Q_n\right\rangle\right}$. For simplicity, let us assume that the S-M interaction is much stronger (hence faster) than that of M-B. The whole process then consists of three stages. We may identify as stage 1 the entanglement of $\mathrm{S}$ and $\mathrm{M}$ in the Schmidt basis,
$$
\sum_n c_n\left|S_n\right\rangle \otimes|M\rangle \otimes|\phi\rangle \rightarrow \sum_n c_n\left|S_n\right\rangle \otimes\left|Q_n\right\rangle \otimes|\phi\rangle
$$
where $|\phi\rangle$ is the initial state of the bath B.

热力学代考

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Measurements by a Qubit Meter

上述结果可以用量子比特计测量的 TLS 状态来说明。对于最初处于一般状态的 TLS $\left|\psi_{\mathrm{S}}\right\rangle=c_g|g\rangle+c_g|e\rangle$ 和状态下的量子比特计 $|0\rangle$, 一 CNOT 门操作 $\left|\psi_{\mathrm{SM}}(0)\right\rangle=\left|\psi_{\mathrm{S}}\right\rangle|0\rangle$ 产生 SM 相关状态
$$
\left|\psi_{\mathrm{SM}}\left(\tau_{\mathrm{M}}\right)\right\rangle=c_g|g 0\rangle+c_e|e 1\rangle
$$
状态 (9.29) 意味着 SP 基础是 $|0\rangle,|1\rangle$ ,而一般指针基础是
$$
\left.\left|R_0\right\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle, \quad\left|R_1\right\rangle=b|0\rangle-a^{\mid} 1\right\rangle
$$
和 $|a|^2+|b|^2=1$
根据 (9.17),
$$
\left|\tilde{S}_0^{\prime}\right\rangle=a^* c_g|g\rangle+b^* c_e|e\rangle, \quad\left|\tilde{S}_1^{\prime}\right\rangle=b c_g|g\rangle-a c_e|e\rangle .
$$
现在
$$
\mathbf{E}=\left(\begin{array}{lll}
|a|^2 & |b|^2|b|^2 \quad|a|^2
\end{array}\right)
$$
及其行列式
$$
D=|a|^4-|b|^4=|a|^2-|b|^2=1-2|b|^2 .
$$什么时候 $D \neq 0, c$ 可以从 (9.22) 计算得出
$$
\left|c_g\right|^2=\frac{p_0-|b|^2}{1-2|b|^2}, \quad\left|c_e\right|^2=\frac{p_1-|b|^2}{1-2|b|^2} .
$$
什么时候 $D=0,|a|^2=|b|^2=1 / 2$ ,即指针基的形式为
在哪里 $\phi$ 是任意相。这样的指针库,位于 $x y$-布洛赫球面的平面,是所有相对于 SP 基无 偏的基。使用这些指针的测量不提供关于系统的信息,而是产生随机结果 [见 (9.28)]
$$
p_0=p_1=1 / 2
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Decoherence of Entangled System–Meter States

在上一节中,我们反驳了第 9.1 节开头提出的陈述 (a)。下面我们也反驳其中的陈述
(b) 。
现在让我们通过写在交互表示中的总哈密顿量中的一项来解释计量-浴 (MB) 交互,
$$
H^{\mathrm{I}}(t)=H_{\mathrm{SM}}^{\mathrm{I}}(t)+H_{\mathrm{MB}}^{\mathrm{I}}(t)
$$
我们假设有一个非退化的仪表变量 $\hat{Q}$ 满足 MB 交互的反作用规避条件,
$$
\left[\hat{Q}, H_{\mathrm{MB}}^{\mathrm{I}}(t)\right]=0
$$
这确保了本征态 $\left|Q_n\right\rangle$ 的 $Q$ 在退相干下是不变的。本征态 $\left|Q_n\right\rangle$ 有时被称为“指针状态”, 假设 SM 交互比 MB 交互更强(因此更快)。整个过程包括三个阶段。我们可以将纠缠 确定为第 1 阶段S和M在施密特基础上,
$$
\sum_n c_n\left|S_n\right\rangle \otimes|M\rangle \otimes|\phi\rangle \rightarrow \sum_n c_n\left|S_n\right\rangle \otimes\left|Q_n\right\rangle \otimes|\phi\rangle
$$
在哪里 $|\phi\rangle$ 是浴 B 的初始状态。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考

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