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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Homogeneity and Isotropy
Optical and radio surveys of the sky confirm that the distribution of galaxies is the same in all directions. Also, the precise consistency of the CMBR confirms that, indeed, the universe is isotropic about our position on a large scale.
Based on the observations cosmologists introduced the following two postulates:
Weyl postulate: Let the galaxies be treated as particles (or points). The Weyl postulate states that the world lines of galaxies are recognized with a specific class of observers, known as fundamental observers, have a common point of intersection, form a bundle (or congruence) of geodesics. One can also describe a common time coordinate, which quantifies the proper time of each such observer.
Alternative: The Weyl postulate states that if one designates the world lines of galaxies as fundamental observers, then these world lines form a three bundle of nonintersecting geodesics orthogonal to a series of space-like hypersurfaces.
Now, we are interested in describing the Weyl postulate in terms of coordinate and metric of spacetime. Let us assume that galaxies, i.e., the particles are moving along nonintersecting world lines a, b, c, $\ldots$ which have no irregularities (see Fig. 99). We can also use $x^\mu(\mu=1,2,3)$ to label a typical world line in the three bundles of galaxy world lines. Here, the three coordinates $x^\mu$ are spacelike. Further, let the coordinate $x^0$ as time coordinate measures the proper time along each curve, $x^\mu=$ constant. Hence it is obvious that $x^0=$ constant is a usual spacelike hypersurface, which is orthogonal to the usual world line characterized by $x^\mu=$ constant. It is always possible to find a continuum from a discrete set of points (here galaxies) through smooth fluid approximation. Here we use four coordinate $x^i, i=0,1,2,3$ to describe space and time and in terms of these coordinates, we define the metric tensor as $g_{i k}$, where the line element is
$$
d s^2=g_{i k} d x^j d x^k
$$
According to Weyl postulate, the orthogonality condition yields
$$
g_{0 \mu}=0 .
$$
Also, the line $x^\mu=$ constant is a geodesic.
We know the geodesic equations as
$$
\frac{d^2 x^i}{d s^2}+\Gamma_{k l}^i \frac{d x^k}{d s} \frac{d x^I}{d s}=0
$$
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Robertson-Walker Metric
On the large scale (more than 100 million light years or so), the universe looks homogeneous and isotropic around us. At this scale, the density of galaxies is approximately the same and all directions from us appear to be equivalent. Using Weyl’s postulate one can write the general metric as
$$
d s^2=c^2 d t^2-h_{i j} d x^i d x^j, \quad(i, j=1,2,3)
$$
where the $h_{i j}$ are functions of $\left(t, x^1, x^2, x^3\right)$.
Now, we try to find the metric when the spacetime of the universe is homogeneous and isotropic. Let us consider two neighboring galaxies whose coordinates are $\left(x^1, x^2, x^3\right)$ and $\left(x^1+\Delta x^1, x^2+\right.$ $\left.\Delta x^2, x^3+\Delta x^3\right)$, respectively. The distance between two neighboring galaxies on the same hypersurface $t=$ constant is given by
$$
d \sigma^2=h_{i j} \Delta x^i \Delta x^j
$$
Consider three widely separated galaxies $A, B$, and $C$ shown in Fig. 100 at some time $t_i$. At a later time, $t$ another triangle $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ is formed by the same galaxies.
The postulate of homogeneity and isotropy at all points and directions on a particular hypersurface implies that two triangles must be similar and, also, the increase in length must be independent of the position and direction of the triangle. Three galaxies at $A, B, C$ at time $t_i$ expand away from each other to $A^1, B^1, C^1$ at time $t$ and the sides of the triangle are expanded by the same factor. Thus, the increase in distance $A B \rightarrow A^1 B^1$ be the same as $A C \rightarrow A^1 C^1$ (look at the expansion from the point of view of the observer in A). It follows that the expansion is controlled by a single function of time, i.e., the functions $h_{i j}$ must involve the time coordinate $t$ through a common factor $R^2(t)$. Hence the metric (11.2) takes the form
$$
d s^2=c^2 d t^2-R^2(t) \gamma_{i j} d x^i d x^j
$$
where $\gamma_{i j}$ are the functions of $\left(x^1, x^2, x^3\right)$ only.
Now we give our attention to the homogeneous and isotropic three space given by
$$
d \sigma^{1^2}=\gamma_{i j} d x^j d x^j
$$
This space must be a space of constant curvature (standard theorem of differential geometry).
广义相对论代考
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Homogeneity and Isotropy
对天空的光学和无线电测量证实，星系的分布在各个方向都是相同的。此外，CMBR 的 精确一致性证实，宇宙确实在大范围内关于我们的位置是各向同性的。
宇宙学家根据观测提出了以下两个假设:
Weyl 假设：将星系视为粒子 (或点) 。Weyl 假设指出，星系的世界线被一类特定的观 察者（称为基本观察者）所认可，它们有一个共同的交点，形成测地线束（或全等）。 人们还可以描述一个公共时间坐标，它量化每个这样的观察者的本征时间。
备选方案: Weyl 假设指出，如果将星系的世界线指定为基本观察者，那么这些世界线 将形成三束不相交的测地线，正交于一系列类空间超曲面。
现在，我们有兴趣用时空坐标和度量来描述 Weyl 假设。让我们假设星系，即粒子沿着 不相交的世界线 $a 、 b 、 c 、 \cdots$ 没有违规行为（见图 99）。我们也可以使用 $x^\mu(\mu=1,2,3)$ 在三束星系世界线中标出一条典型的世界线。在这里，三个坐标 $x^\mu$ 是 太空般的。进一步，让坐标 $x^0$ 由于时间坐标测量沿每条曲线的本征时间， $x^\mu=$ 持续 的。因此很明显 $x^0=$ 常量是一个通常的类空间超曲面，它与通常的世界线正交，其特 征是 $x^\mu=$ 持续的。通过光滑的流体近似，总是可以从一组离散的点 (这里是星系) 中 找到一个连续体。这里我们使用四个坐标 $x^i, i=0,1,2,3$ 为了描述空间和时间，并根 据这些坐标，我们将度量张量定义为 $g_{i k}$ ，其中线元素是
$$
d s^2=g_{i k} d x^j d x^k
$$
根据 Weyl 假设，正交性条件产生
$$
g_{0 \mu}=0
$$
另外，线 $x^\mu=$ 常量是测地线。
我们知道测地线方程为
$$
\frac{d^2 x^i}{d s^2}+\Gamma_{k l}^i \frac{d x^k}{d s} \frac{d x^I}{d s}=0
$$
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Robertson-Walker Metric
在大尺度上（超过 1 亿光年左右），宇宙在我们周围看起来是均匀且各向同性的。在这 个尺度上，星系的密度大致相同，从我们的所有方向看起来都是相等的。使用 Weyl 的 假设可以将一般度量写为
$$
d s^2=c^2 d t^2-h_{i j} d x^i d x^j, \quad(i, j=1,2,3)
$$
在哪里 $h_{i j}$ 是函数 $\left(t, x^1, x^2, x^3\right)$.
现在，我们试图找到宇宙时空均匀且各向同性时的度量。让我们考虑两个相邻的星系，
它们的坐标是 $\left(x^1, x^2, x^3\right)$ 和 $\left(x^1+\Delta x^1, x^2+\Delta x^2, x^3+\Delta x^3\right)$ ， 分别。同一超曲面 上两个相邻星系之间的距离 $t=$ 常数由下式给出
$$
d \sigma^2=h_{i j} \Delta x^i \Delta x^j
$$
考虑三个相隔很远的星系 $A, B$ ，和 $C$ 某时如图 $100 t_i$. 晩些时候， $t$ 另一个三角形 $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ 是由相同的星系形成的。
特定超曲面上所有点和方向的均匀性和各向同性假设意味着两个三角形必须相似，而且 长度的增加必须与三角形的位置和方向无关。三个星系在 $A, B, C$ 在时间 $t_i$ 相互扩展到 $A^1, B^1, C^1$ 在时间 $t$ 并且三角形的边以相同的因子扩展。因此，距离的增加 $A B \rightarrow A^1 B^1$ 和一样 $A C \rightarrow A^1 C^1$ (从A中观察者的角度看展开) 。因此，扩展由时 间的单个函数控制，即函数 $h_{i j}$ 必须涉及时间坐标 $\mathrm{t}$ 通过一个公因数 $R^2(t)$. 因此，度量 (11.2) 采用以下形式
$$
d s^2=c^2 d t^2-R^2(t) \gamma_{i j} d x^i d x^j
$$
在哪里 $\gamma_{i j}$ 是的功能 $\left(x^1, x^2, x^3\right)$ 仅有的。
现在我们关注由下式给出的齐次各向同性三空间
$$
d \sigma^{1^2}=\gamma_{i j} d x^j d x^j
$$
这个空间一定是一个常曲率空间 (微分几何标准定理)。
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